05函数的概念与性质（解答题提升题20题）-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（

这是一份05函数的概念与性质（解答题提升题20题）-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（，共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．（2022上·江苏南京·高一统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)设集合，若，求实数的取值范围．
2．（2021上·江苏扬州·高一统考期末）若函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有.如：函数的图象关于点中心对称，则对函数定义域中的任意，恒有.已知定义域为的函数，其图象关于点中心对称，且当时，，其中实数，为自然对数的底.
（1）计算的值，并求函数在上的解析式；
（2）设函数，对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
3．（2020上·江苏南通·高一统考期末）如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．
（1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由
（2）已知函数，其中且，，．
（ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；
（ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．
4．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知函数（，）是奇函数.
(1)若，对任意有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若，问是否存在实数使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
5．（2023上·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）对于定义域为的函数，区间。若满足条件：使在区间上的值域为，则把称为上的闭函数.若满足条件：存在一个常数，对于任意，如果，那么，则把称为上的压缩函数.
(1)已知函数是区间上的压缩函数，请写出一个满足条件的区间，并给出证明；
(2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，，使是区间上的闭函数，若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由；
(3)函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数，求满足题意的函数在上的一个解析式.
6．（2020上·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知函数.
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
7．（2018上·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考期末）若函数，
（1）若函数为奇函数，求m的值；
（2）若函数在上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数在上的最小值为，求实数m的值．
8．（2022上·江苏南京·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数，，的值；
(2)求不等式的解集.
9．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围．
10．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)区间是函数的黄金区间，求，的值
(2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值
11．（2022上·江苏常州·高一校考期末）已知定义在上的函数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)若对所有的恒成立，求实数m的取值范围.
12．（2022上·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）解决下列问题：
(1)若不等式对于恒成立，求实数的范围；
(2)函数，若存在使得成立，求实数的范围.
13．（2022上·江苏连云港·高一期末）已知a∈R，函数的图象经过点．
(1)求实数a的值；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)判断在区间上的单调性并证明．
14．（2022上·江苏连云港·高一期末）已知函数，．
(1)当时，求的最值；
(2)若的最小值为，求实数的值．
15．（2022上·江苏盐城·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)当时，求函数的解析式；
(2)解不等式．
16．（2022上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设函数的定义域为，对任意实数，有，且
(1)求证：；
(2)若时，，求证：在上单调递减.
17．（2022上·江苏连云港·高一统考期末）已知函数.
(1)解关于x的不等式
(2)若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围.
18．（2021上·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）（1）已知，a，b，，且，求的值；
（2）设是R上的奇函数，，当，，求
19．（2021上·江苏镇江·高一统考期末）已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性：
（2）用定义证明函数在上为减函数：
（3）已知，且，求x的值.
20．（2020上·江苏南通·高一统考期末）已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数在上有最大值为3，求实数m的值．
参考答案：
1．(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【分析】（1）按参数a分类讨论函数的奇偶性即可解决；
（2）把已知条件转化为成立，是本题关键入手点，接下来按x分类讨论去绝对值符号，保证新建函数最小值非负即可.
【详解】（1）时，，
对，
所以是上的奇函数；
当a≠0时，f(1)＝3＋3a，f(＋f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（2）因为，所以，
即(x＋1)3＋2(x＋1)＋3a|x＋1|≥＋2x＋3a|x|，
化简得，
因为，所以，
所以，
当时，，所以，
所以；
当时，，
即，
设，
，所以，
时，，
的对称轴方程为，
当时，即时，
在：上单调递增，
所以成立；
当，即时，成立，
所以恒成立；
当，即时，
在上单调递减，，
综上的取值范围为
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
2．（1），；（2）.
【解析】（1）根据题意有，令得；当时，，代入及化简即可；
（2）题意等价于的值域是值域的子集，讨论，情况下的值域是值域的子集成立时的范围.
【详解】（1）因为图象关于点中心对称，所以
则，即.
当时，，
则.
综上，.
（2）设在区间上值域为，
在的值域为，则.
因为对任意，总存在，
使得成立，所以.
①当时，.
当时，，
当时，，
所以值域为.
又因为，所以，，
所以，符合题意.
②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又图象关于点中心对称，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
因为，，
所以要使得，只需，解得.
又，所以.
综上，的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集.
3．（1）；见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析
【解析】（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数的等域区间；
（2）（ⅰ）当时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；
（ⅱ）由题意，根据，，判断函数为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间.
【详解】解：（1）函数存在等域区间，如；
（2）已知函数，其中且，，D
（ⅰ）当时，
若函数是上的等域函数，
当时，为增函数，
则得，此时．
当时，为减函数，
则，得，不满足条件．
即．
（ⅱ）证明：当，时，，即，
则为减函数，
假设函数存在等域区间，
则，
两式作差，
即，
，，，，，
则，
等式不成立，即函数不存在等域区间．
【点睛】本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题.
4．(1)
(2)不存在
【分析】先根据函数为奇函数得到，再结合函数的单调性，脱去得到在上恒成立，后根据二次函数恒成立得到实数的取值范围；
根据得到，利用，用换元法整理，再结合对数函数的单调性，得到真数的最值，后利用二次函数性质即可.
【详解】（1），
，
因为奇函数，所以，
得，
所以，
若，因，，
所以，
故在上单调递减.
因对任意，恒成立，
所以在上恒成立
设
当时，，此时函数在区间上单调递增，
则，得，
当时，，此时函数在对称轴，时取得最小值，
则，
得，
又因，此时无解.
当时，，此时函数在区间上单调递减，
则，得，
又因，此时无解.
综上，实数的取值范围为.
（2）若，则，
得，或（舍去）
所以.
设，
则，
当时，，
此时
，
故当时在上的最小值为1，
当时，在上的最大值为1，
设，
当时，函数在处取得最小值，
此时，得（舍去），
当时，函数的对称轴，函数在处取得最大值，
此时，解得（舍去）.
当时，函数的对称轴，函数在处取得最大值，
此时，
综上所述，不存在这样的实数.
【点睛】方法点睛：对于单调函数恒成立问题
若在上单调递增，，恒成立可转化为，
若在上单调递减，，恒成立可转化为.
5．(1)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解
(2)见详解
(3)（答案不唯一，符合题意即可），证明见详解
【分析】（1）取，，结合题意证明；
（2）假定存在，根据的定义域、值域以及零点，分，两种情况，结合函数的单调性、零点分析判断；
（3）取，，结合题意证明.
【详解】（1）设，则函数是区间上单调递增，
不妨设任意，令，则，故，
则，
∵，则，
∴，则，
故函数是区间上的压缩函数.
（2）不存在，理由如下：
假定存在实数，，使是区间上的闭函数，
函数的定义域为，值域为，且函数的零点为，则或，
当时，则在区间上单调递减，
则可得，整理得，两式相减得，不合题意，舍去；
当时，则在区间上单调递增，则可得，
即有两个零点，则，
故函数在区间上有两个零点，则必须满足，
解得，
∵函数的零点为，符合题意；
综上所述：若，不存在实数，，使是区间上的闭函数；
若，存在实数，，使是区间上的闭函数.
（3）若，则函数在区间上单调递增，且，
则函数在区间上的值域为，故函数是区间上的闭函数；
不妨设任意，令，
则，即，
则函数是上的压缩函数；
综上所述：函数是区间上的闭函数，且是上的压缩函数.
6．（1）1；（2）.
【分析】（1）根据计算得到，再验证得到答案.
（2）化简得到对恒成立，确定函数单调递减，利用单调性得到对恒成立，计算得到答案.
【详解】解：（1） 因为为奇函数且定义域为，则，即，所以.
当时，因为，满足条件为奇函数.故.
（2）由不等式对恒成立得对恒成立，因为为奇函数，所以对恒成立（*）.
在上任取，，且，则，
因为，所以，，，所以，即，
所以函数在区间上单调递减，所以（*）可化为对恒成立，即对恒成立.
令.因为的图象是开口向上的抛物线，
所以由对恒成立可得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力，属于较难题.
7．（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）由奇函数得到，代入计算得到答案.
（2）讨论，，三种情况，分别计算得到答案.
（3）根据（2）的讨论，分别计算函数的最小值，对比范围得到答案.
【详解】（1）是奇函数，定义域为
，令，得，
经检验：时，．
（2）①时，开口向上，对称轴为，
在上单调递增
②时，开口向下，对称轴为，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，．
③时，
函数在和上单调递增，则上单调递减，
在上不单调，不满足题意.
综上所述：的取值范围是．
（3）由（2）可知
①时，，在上单调递增，
解得或
②时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当即时，
解得：（舍）
当即时，
解得：，，
③时，
函数在和上单调递增，则上单调递减，
当时，
解得：（舍）
综上所述：或．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，最值，意在考查学生的分类讨论的能力和计算能力.
8．(1)，，；
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解；
（2）分段讨论求解一元二次不等式，最后再求并集即可.
【详解】（1）因为时，，
若，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
而时，，所以，，；
（2）由（1）知，
当时，等价于，即，解得或，
又，所以；
当时，等价于，即，解得，
又，所以；
综上，不等式的解集为.
9．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质求出函数的解析式，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）利用函数单调性的定义进行判断证明即可；
（3）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，∴，则有
由得，∴，
又，∴，，；
（2）任取，，
∵，∴，，且，，
∴，∴，在上单调递增；
（3）由（2）知在上单调递增，∴，
．
令，则有
令，，，∴．
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二次函数的性质是解题的关键.
10．(1)，
(2)
【分析】(1)根据函数增减性，判断求出，;
(2) 在和上均为增函数，将其转化为是方程的两个同号的实数根，结合二次函数与韦达定理求解问题.
【详解】（1）因为区间是函数的黄金区间，是增函数，
所以，解得；
（2）由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，
所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，
即是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，
注意到，则只要
所以或，
而由韦达定理知，
所以
，
其中或，
所以当时，取得最大值.
11．(1)奇函数
(2)
【分析】（1）由赋值法与奇偶性的定义判断，
（2）先判断的单调性，然后转化为最值问题列式求解，
【详解】（1）取，得解得，
取，得，所以为奇函数
（2）任取且，则，
因为当时，，
所以，所以，
又因为为奇函数，所以，所以，
所以是定义在上的减函数，
所以在上的最大值为，
由题意得，
即对所有的恒成立，
令则，解得或，
故的取值范围为
12．(1)
(2)
【分析】对于（1），，
分两种情况讨论可得答案；
对于（2），存在使得等价于，其中.
【详解】（1）.
①当时，有，则符合题意；
②当时，有.
综上，实数的范围是.
（2）存在使得等价于，其中.
又.
①当，在上单调递增，
则，得此时；
②当时，在在单调递减，在
上单调递增，则
或，结合，可知此时不存在；
③当时，在上单调递减，
则，结合，得此时不存在.
综上：实数的范围是
13．(1)2；
(2)奇函数，证明见解析；
(3)减函数，证明见解析.
【分析】（1）把给定点的坐标代入函数解析式求出a值作答.
（2）利用奇函数定义推理判断作答.
（3）利用函数式判断单调性，再利用函数单调性定义推理作答.
【详解】（1）因函数的图象经过点，则，解得，
所以实数a的值2.
（2）由（1）知，，函数定义域为，是奇函数，
，
所以函数是奇函数.
（3）函数在上是减函数，
，
，因，则，，
因此，即，
所以函数在上是减函数.
14．(1)，；
(2)或.
【分析】（1）把代入后结合二次函数在区间上的单调性即可求解最值；
（2）由已知结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论进而求解即可.
【详解】（1）时，，

关于对称，
当时，单调递减，当时，单调递增．
，，
∴．
（2），
对称轴为，函数图象开口向上，
①当时，在上单调递增，
所以，即，∴；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，无解；
③当时，在上单调递减，
所以，即，∴，
综上，当时，或．
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据函数为偶函数求解；
（2）由函数解析式确定函数的单调性，再由偶函数性质建立不等式求解即可.
【详解】（1）当时，则，
又是偶函数，故；
（2）当时，单调递增，时，单调递减，
且函数为偶函数，
故，
即．
化简得，
解得，
故不等式的解集为.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先可得，然后分别令、可证明；
（2）令可得，然后结合条件和单调性的定义可证明.
【详解】（1）令，可得，
由，解得，
令可得，
化简得，
令可得
所以，
综上，；
（2）因为，所以时，
又因为，所以时，时，
任取，
令可得，
因为，
所以
所以上式可化为，所以函数在上单调递减.
17．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）分，，，，讨论即得；
（2）由题可得对于任意的，有恒成立，然后分类讨论求函数最值即得.
【详解】（1）当时，，不等式的解集为；
当时，由可得；
方程的根为，2，
当时，，不等式的解集为}；
当时,
当时，即，不等式的解集为；
当时，即，不等式的解集为或}；
当时，即，不等式的解集为或.
（2）由，得，
所以对于任意的，有恒成立
设函数，对称轴为，
①当，即，时取得最小值，
，
解得，
所以.
②当，即，函数g(x)在单调递减，
所以时取得最小值，，解得，
所以.
综上有①，②得.
18．（1）9；（2）1.
【分析】（1）令，是奇函数，由得到，进而得到求解；
（2）∵函数满足，转化为，得到函数周期为4的周期函数求解.
【详解】（1）令，
则是奇函数，所以，
因为，
所以，
因为是奇函数，，所以，
；
（2）∵函数满足，
，
∴函数周期为4的周期函数，
故，
因为，，
所以.
19．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）或.
【解析】（1）由已知得函数的定义域关于原点对称，再由，可得结论；
（2）任取，作差，判断其差的符号，可得证；
（3）由三角函数的值域和（1），（2）的结论可得在也是减函数，由此可得，解之可得答案．
【详解】解.（1）奇函数；证明：
函数，定义域，关于原点对称，又，
故为奇函数；
（2）任取，
，
因为，，，所以，
则，
所以在上为减函数.
（3），，，
又在R上为奇函数且在为减函数，所以在也是减函数，
所以，
又，则或.
【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
1、在区间D上，任取，令；
2、作差；
3、对的结果进行变形处理；
4、确定符号的正负；
5、得出结论．
20．（1）（2）
【解析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间上即可；
（2）由题意，分类讨论，当时和当时分别求值，再回代检验是否为最大值.
【详解】解：（1）对于函数，开口向上，对称轴，
当在上单调递增时，，解得，
当在上单调递减时，，解得，
综上，．
（2）由题意，函数在或处取得最大值，
当时，解得，此时3为最小值，不合题意，舍去；
当时，解得，此时3为最大值，符合题意．
综上所述，．
【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.