14函数与数学模型-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份14函数与数学模型-江苏省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（苏教版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·江苏南通·高一统考期末）冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，.试估计（ ）年以后将会有一半的臭氧消失.
A．267B．277C．287D．297
2．（2022上·江苏连云港·高一校考期末）2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国GDP年均增长7.8%，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，我国GDP要实现比2000年翻两番的目标，需要经过（ ）（参考数据：lg2≈0.301 0，lg1.078≈0.032 6，结果保留整数)
A．17年B．18年C．19年D．20年
3．（2022上·江苏南通·高一统考期末）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知天狼星的绝对星等为1.45，老人星的绝对星等为﹣5.53，在地球某地测得天狼星的目视星等为﹣1.45，老人星的目视星等为﹣0.73，则观测者与天狼星和老人星间的距离比约为（ ）（100.54≈0.288，101.54≈34.67）
A．0.288B．0.0288C．34.67D．3.467
4．（2022上·江苏镇江·高一统考期末）在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在以下四个函数模型中，，为常数，最能反映，间函数关系的可能是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021上·江苏泰州·高一统考期末）2020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅｡据科学家们测算：火箭的最大速度至少达11.2千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空｡若火箭的最大速度v(单位：米/秒)､燃料的质量M(单位：吨)和嫦娥五号探测器的质量m(单位：吨)近似满足函数关系式V=当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为（ ）顺利送入外太空.
A．9B．99C．999D．9999
6．（2021上·江苏南通·高一统考期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额－综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等，税率与速算扣除数见表：
老王全年综合所得收入为200000元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么老王全年应缴纳综合所得个税为（ ）
A．1279.2元B．1744元C．3079.2元D．7744元
7．（2021上·江苏南通·高一统考期末）在一种新型流行病疫情防控中，病毒检测是确诊患病与否的有效快捷手段.某医院在成为病毒检测的定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第16天每个检测对象平均耗时为16小时，第64天和第67天每个检测对象平均耗时均为8小时，则第25天每个检测对象平均耗时大致为（结果精确到个位）（ ）
A．16小时B．13小时C．9小时D．8小时
8．（2020上·江苏连云港·高一统考期末）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器集到如下一组数据：
在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021上·江苏镇江·高一统考期末）为了提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为了新时代的要求.假设某地2020年全年用于垃圾分类的资金为500万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元的年份是（ ）(参考数据：，)
A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年
10．（2021上·江苏淮安·高一统考期末）新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，其中指数增长率，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的10倍需要的时间约为（）（ ）
A．4天B．6天C．8天D．10天
11．（2021上·江苏南京·高一统考期末）有一组实验数据如下表所示：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
12．（2021上·江苏扬州·高一统考期末）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2023上·江苏常州·高一统考期末）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过 次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）
14．（2022上·江苏常州·高一校考期末）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数,基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间（单位:天）的变化规律,指数增长率r与,近似满足.有学者基于已有数据估计出.据此,在新冠肺炎疫情初始段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 天.(ln 2=0.69,答案保留一位小数)
15．（2022上·江苏南通·高一统考期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ．
①定义域为R；
②；
③f(﹣2)＞f(1)．
16．（2022上·江苏南京·高一统考期末）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度(单位：)满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为 ．
17．（2020上·江苏连云港·高一统考期末）某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0．25%，已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中e是自然数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则 ；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为 .（参考数据：）
18．（2020上·江苏扬州·高一校考期末）已知物体初始温度是,经过分钟后物体温度是，且满足，（为室温，是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的的热水，在室温下，温度降到需要分钟，那么降温到时，需要 分钟.
三、解答题
19．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
20．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值（单位：EXP）与游玩时间 （单位：小时）满足关系式： ；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；
③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.
(1)当时，写出累计经验值E与游玩时间 的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；
(2)该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围.
21．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）“硬科技”是以人工智能､航空航天､生物技术､光电芯片､信息技术､新材料､新能源､智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入､持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿､最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产x百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
22．（2022上·江苏常州·高一校考期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为6万元，每年生产万件，需另投入流动成本为万元，且，每件产品售价为12元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)求年产量为多少万件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润值．
23．（2022上·江苏盐城·高一校考期末）新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2021年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元． 每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2021年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2021年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
24．（2022上·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：
该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：
(1)分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量与销售单价的关系、进货浮动价与日销售量的关系；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数】
(2)运用第一问中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，每件产品的利润最大？【注：单件产品的利润=单件售价-进货浮动价+进货固定价】
25．（2022上·江苏南通·高一统考期末）某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额y（单位：千元）与销售人数n（n∈N）之间满足．已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为x，每月线下门店和线上销售总额为w（单位：千元），
(1)求w关于x的函数关系式；
(2)线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？
26．（2022上·江苏常州·高一统考期末）为进一步推进“快递进村”工程，加大农村综合物流服务供给力度，使得快递服务“三农”成果更加丰硕，让广大农民可以享受到更加便捷高效的快递服务，我市某乡镇农业产业园联合多家快递企业计划在该镇建一矩形物流中转站．按照规划要求，需要将中转站设计为内部物流工作区（图中阴影部分）和四周物流车辆通行区，已知内部物流工作区的面积需要平方米，四周车道的宽分别需要米和米，如图所示．
(1)设工作区的长（单位：米，且），求中转站的占地面积关于的函数；
(2)为了使中转站占地面积最小，问：工作区的长和宽该如何设计？
27．（2022上·江苏镇江·高一统考期末）我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12800元的价格购入一批风能发电机.经测算，每台发电机每年的发电收益约7200元，已知每台发电机使用年后的累计维修保养费用为元，且满足关系式（，为常数）.已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1000元，前2年每台的累计维修保养费用为2400元.设每台发电机使用年后的总利润为元.
(1)求关于的函数关系式；
(2)问每台发电机在第几年的年平均利润最大？（注：年平均利润总利润年数）
0
2
4
6
1.01
1.11
1.99
10.03
81.96
729.36
级数
全年应纳税所得额所在区间（单位：元）
税率（%）
速算扣除数
1
3
0
2
10
2520
3
20
16920
4
25
31920
5
30
52920
6
35
85920
7
45
181920
1
2
3
4
5
8
0.5
1.5
2.08
2.5
2.85
3.5
1.9
3.0
4.0
5.1
6.1
1.5
4.0
7.5
12.0
18.0
1
2
3
4
5
6
…
(人数)
…
6
…
36
…
216
…
销售单价（单位：百元）
4
5
6
7
8
日销售量（单位：件）
110
100
90
80
70
日销售量（单位：件）
120
100
90
60
45
进货浮动价（单位：百元）
0.75
0.9
1
1.5
2
参考答案：
1．B
【分析】由可得，，求解整理可得，代入数值，即可解出.
【详解】令可得，，即，
则有，解得.
所以，估计年以后将会有一半的臭氧消失.
故选：B.
2．C
【分析】设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，列指数式方程求解即可．
【详解】解：假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标．
根据题意，得89442×(1＋7.8%)x＝89442×4，即，
故，
故约经过19年，我国GDP就能实现比2000年翻两番的目标.
故选：C.
3．B
【分析】利用题中的数据，设出地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，即可解出．
【详解】设地球与天狼星的距离为d1，地球与老人星的距离为d2，
由题意可得，
所以，
所以，
，
故选：B．
4．B
【分析】根据增长快慢确定正确选项.
【详解】根据表格提供数据可知，函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合.
故选：B
5．B
【解析】由题意可知，计算的值.
【详解】由条件可知千米/秒米/秒，
则，
，则，

所以当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为时，顺利送入外太空.
故选：B
6．B
【解析】先根据已知求出专项扣除总额，然后再求出应纳税所得额，进而可以求出个税税额．
【详解】解：专项扣除总额为：元，
应纳税所得额为：元，
个税税额为：元，
故选：B
7．B
【解析】根据题中条件，先确定，得出，求出和，进而即可得出结果.
【详解】因为第n天，每个检测对象平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为，其中为定值，
又第64天和第67天每个检测对象平均耗时均为8小时，所以，，
又第16天每个检测对象平均耗时为16小时，所以，，解得，代入可得，所以，
因此第25天每个检测对象平均耗时为小时，
故选：B.
8．C
【解析】根据选项中函数的递增特征进行判断即可.
【详解】根据数据可以知道：
当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；
当自变量增加到8时，y的增加也不是很多，所以不符合指数的增加特征，排除B；
当x增加时，y是缓慢增加，并没有靠近一常数的特征，所以排除D.
故选：C
9．C
【解析】设经过年后，市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元，列出投入的资金与的函数关系，利用对数的运算性质解不等式，即可得解.
【详解】设经过年后的投入资金为万元，则，
令，即，所以，
所以

所以第7年即2027年市用于垃圾分类的资金开始不低于1600万元.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于指数函数增长模型，常用到公式（其中为原有量，为增长率，为增长年份），求解指数函数过程中，常会用到指对数转换来求解.
10．B
【解析】设所需时间为，可得，解出即可.
【详解】设所需时间为，
则，则，
，
.
故选：B.
11．B
【解析】先画出实验数据的散点图，结合各选项中的函数特征可得的选项.
【详解】实验数据的散点图如图所示：
4个选项中的函数，只有B符合，
故选：B.
12．B
【解析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.
【详解】解：因为，，所以，
对于，令，则故
当或时，，所以，即
所以，
将两边同时取底数为4的指数得
因为
所以
故选：B.
【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
13．9
【分析】根据题意列不等式，运算求解即可.
【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，
则，解得，
∵，则的最小值为9，
故至少经过9次过滤才能达到市场要求.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：
（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；
（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；
（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．
14．1.8/
【分析】根据题意建立感染病例数增加1倍时时间差的等式,根据及求出,代入即可求得结果.
【详解】解:由题知在新冠肺炎疫情初始段,
记第天累计感染病例数为,
当第天累计感染病例数为,即,
两边取对数有:,即,
因为,
,
所以,
故,
综上: 在新冠肺炎疫情初始段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为1.8天.
故答案为:1.8
15．f(x)＝(答案不唯一)
【分析】由性质②可判断出该函数可以为幂函数，由此再结合其余两个条件即可写出满足条件的函数解析式．
【详解】因为函数f（x）要满足，结合基本初等函数的解析式的特征，可取f（x）=，
函数f(x)＝的定义域为R，
满足，
且．
故答案为：f(x)＝(答案不唯一)．
16．37.5/
【分析】由已知条件得出，，，代入等式，求出，再代入即可得出结论.
【详解】由题知，，，
所以，，可得，
再经过28分钟后，该物体的温度为
，
故答案为：37.5.
17． 11
【解析】根据污染物的残留数量P与过滤时间之间的函数关系和 4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，由，求得k，设经过t小时后能够按规定排放废气，由，利用对数运算求得t，再减去4个小时即可.
【详解】当时，，
当时，，
即，所以，
设经过t小时后能够按规定排放废气，
即，即，
所以
解得
所以正整数n的最小值为15-4=11，
故答案为：，11
18．
【解析】根据已知条件求得的值，由此求得温到时，需要的时间.
【详解】由于“从发电厂出来的的热水，在室温下，温度降到需要分钟”，所以，解得.则降温到时，需要，解得分钟.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查待定系数法求函数解析式，属于基础题.
19．(1)，
(2)11个
【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.
【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意．
（2）设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
20．(1)，（EXP）.
(2)
【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算；
（2）根据题意可得当时，恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算.
【详解】（1）由题意可得：当时，则，且；
当时，则；
当时，则；
综上所述：.
若，则，所以（EXP）.
（2）由（1）可得：，则，
由题意可得：当时，恒成立，
整理得对任意恒成立，
因为的开口向上，对称轴，
则时，取到最小值，
可得，解得，
所以实数的取值范围为.
21．(1)；
(2)当年产量为30百台时公司获利最大，且最大利润为800万元.
【分析】(1)根据利润、成本、收入之间的关系分类讨论即可；
(2)当时，结合二次函数的性质求出函数的最大值；当时，利用基本不等式求出函数的最大值，再比大小，即可求解.
【详解】（1）当时，
.
当时，
，
所以；
（2）当时，
，
所以当时，(万元).
当时，
(万元)，
当且仅当即时，等号成立.
因为，
所以当年产量为30百台时，公司获利最大，且最大利润为800万元.
22．(1)
(2)8万件，万元
【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系式，即可求得结果；
（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可．
【详解】（1）因为每件产品售价为12元，则万件产品销售收入为万元，依题意得，
当时，，
当时，，
所以；
（2）①当时，，
即当时，取得最大值11；
②当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，
即当时取得最大值，
因为，故当年产量为8万元时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
23．(1)；
(2)当x＝80时，即2021年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3 540万元
【分析】（1）由所给的模型写出函数式，需分段求解；
（2）分别由二次函数的性质和基本不等式求得最大值后比较大小即可得出答案.
【详解】（1）当时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2 500-2＝－10x2＋400x－2 502；
当时，L(x)＝9×100x－901x－＋6 200－2 500＝3700－，
所以
（2）当时，
L(x)＝－10(x－20)2＋1498，所以当x＝20时，L(x)max＝1498；
当时，
L(x)＝3 700－≤3 700－2＝3 540
(当且仅当x＝，即x＝80时，“＝”成立)．
因为3 540>1498，
所以当x＝80时，即2021年生产80百辆时，该企业获得利润最大，
且最大利润为3 540万元．
24．(1)，
(2)售价定为元时，单件产品的利润最大，为元
【分析】（1）观察表中的数据，选择函数模型，将数据代入即可；
（2）先求出利润P的表达式，运用基本不等式求解.
【详解】（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，
所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设
由解得 即
又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，
考虑其为一个反比例函数关系，设由题意可得
于是 ；
（2）由可得，设单件产品的利润为百元，
则
因为， 所以，
所以
又
当且仅当即时等号成立，
所以 ， 单件产品售价定为元时，单件产品的利润最大，为元；
综上， ， ，单件产品售价定为元时，单件产品的利润最大，为元.
25．(1)；
(2)线上安排40人时，合作社月销售额最大，最大值为1100千元.
【分析】（1）对线上销售人数进行分类，即可表示出w的函数关系式；
（2）利用二次函数、对勾函数的性质，分别求各分段上的最大值，再进行比较即可解出．
【详解】（1）由题意，当时，；
当时，，
所以；
（2）由（1）知：当时，单调递增，则当x＝20时w取最大值900；
当时，，当且仅当，即x＝40时取等号，
综上，线上安排40人时合作社月销售额最大，最大值为1100千元．
26．(1)，；
(2)设计工作区的长为米，宽为米，占地面积最小.
【分析】（1）利用矩形的面积公式可求得，由可解出的取值范围，进而可得出中转站的占地面积关于的函数，及其该函数的定义域；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立求出的值，进而可求得、的长，由此可得出结论.
【详解】（1）解：因为，且的面积平方米，所以，
因为，所以，解得，
面积，.
（2）解：，
当且仅当时，即当，等号成立，此时，，
答：设计工作区的长为米，宽为米，占地面积最小.
27．(1)，
(2)第8年的年平均利润最大.
【分析】（1）首先根据题意得到，解方程组得到，再根据题意即可得到函数的解析式.
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题知：，解得，
所以.
，.
（2）设平均利润，所以，
所以.
当且仅当，即时取等号.
所以每台发电机在第8年的年平均利润最大.