广东省广州市2024届高三上学期12月调研考试（零模）数学（B）试卷（Word版附解析）

这是一份广东省广州市2024届高三上学期12月调研考试（零模）数学（B）试卷（Word版附解析），共30页。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，，则（ ）
A 1B. 2C. D.
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则的值为（ ）
A B. C. D. 2
8. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 图中a的值为0.015
B. 样本的第25百分位数约为217
C. 样本平均数约为198.4
D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108
10. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 是奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则______.
14. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.
16. 已知函数恰有两个零点，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
18. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角余弦值.
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
22. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
2024届广州市高三年级调研测试
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件求得，即可计算模长.
【详解】∵，，∴，，
∴.
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得，进而求得.
【详解】由，解得，所以，
而，所以，
所以.
故选：A
3. 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.
【详解】由向量，，
若与共线，则，所以，
，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：C
4. 已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.
【详解】的定义域为，
由于是奇函数，所以，
所以
.
故选：B
5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】，，
由于为等差数列，所以，
所以
，也符合，
所以，
所以数列的前项和为.
故选：D
6. 直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.
【详解】由题易知直线恒过，
圆化为标准方程得，
即圆心为，半径，
圆心到距离，
所以在圆内，

则直线与圆交点弦最大值为直径即8，
最小时即为圆心到直线距离最大，
即时，此时，
所以的取值范围为.
故选：D
7. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.
【详解】，
，
，分子分母同时除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故选：B
8. 若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的零点、的极值点的情况列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】，，
的开口向上，对称轴为，与轴的交点为，
当时，在区间上，，单调递增，
没有极值点，所以，
要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根，
则需，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间求得的极值点.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 图中a的值为0.015
B. 样本的第25百分位数约为217
C. 样本平均数约为198.4
D. 在被调查的用户中，用电量落在内的户数为108
【答案】AC
【解析】
【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.
【详解】对A，，
所以，故A正确；
对B设样本的第25百分位数约为，，
则
，
所以，故B错误；
对C，样本平均数为：，
故C正确；
对D，用电量落在内的户数为：
，故D错误.
故选：AC
10. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A. 若的两条渐近线相互垂直，则
B. 若的离心率为，则的实轴长为
C. 若，则
D. 当变化时，周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；
B选项，若的离心率为，
解得，所以实轴长，故B错误；
C选项，若，则，
整理得，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ）
A. 奇函数
B. ，
C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则
D. 若在区间上单调递减，则或
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.
【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心，
所以，且①，B选项正确.
则，
所以
，
由于是奇数，所以是偶函数，
A选项错误.
C选项，，
将代入得：
，
整理得，
由于在区间上有且仅有条对称轴，
所以，解得，由于，所以，
对应，所以C选项正确.
D选项，在区间上单调递减，
，
将代入得：
，
整理得，
则，解得，而，所以或，
时，，符合单调性，
时，，不符合单调性，所以舍去
所以，所以D选项错误.
故选：BC
12. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值.
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
故.
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，故平面，A正确；
B选项，取的中点，连接，
因为M，N，P分别是棱，，的中点，
所以，又，
所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形，
其中边长为，故面积为，B正确；

C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为，
又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，
即为点Q的轨迹，
其中，由对称性可知，，
故半径，
故点Q的轨迹长度为，C错误；
D选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点，
所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，
不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值，
该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切，
由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为，
，故，即，解得，
故球的半径的最大值为，D正确.
故选：ABD
【点睛】立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，轴，若（O为坐标原点）的面积为2，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据所给条件，可得，再令得，带入面积公式，计算即可得解.
【详解】由，令得，
所以，
所以，.
故答案为：
14. 的展开式中的系数为______（用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.
【详解】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
15. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.
【详解】
如图根据题意，平面，
所以即与平面所成角，则，
又因为，，
所以，则,
又，即三角形为直角三角形，
取中点，则为三角形外接圆圆心，
取中点，则，且，
所以，即为三棱锥的外接球球心，
其半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
16. 已知函数恰有两个零点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.
【详解】因为，
所以
令，则，令，
故当时，函数为增函数，
当时，函数为减函数，
即当时函数有最小值，
若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符；
若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点，
设交点为，且，即，
所以当或时，即，此时函数为增函数，
当时，即，此时函数为减函数，
依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，
所以或，
化简得或，所以，
故答案为：.
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数的交点个数问题求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求得.
（2）根据分组求和法求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，
当时，，
当时，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，也符合.
所以.
【小问2详解】
由（1）得，所以
.
18. 如图，在四棱锥中，，，，三棱锥的体积为.
（1）求点到平面的距离；
（2）若，平面平面，点在线段上，，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等体积法求得点到平面的距离；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
设点到平面距离为，
则，
由题可知，
所以，
所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
取的中点，连接，因为，
又平面平面且交线为，平面，，
所以平面，由（1）知.
由题意可得，
所以，所以.
以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
依题意，
所以.
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且.
（1）求证：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为，结合诱导公式及可证.
（2）根据及，结合诱导公式和二倍角余弦公式将化为，先求出角A的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得，，由余弦定理得，
所以，又，所以.
又，，所以或，
所以或，
又，所以，所以，得证.
【小问2详解】
由（1）知，所以，
又，所以
，
因为，所以，所以，
因为函数在单调递增，
所以，
所以的取值范围为.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用，求出切线的斜率，然后求解所以曲线在处的切线方程．
（2）由，令，则，故在上为减函数，讨论 和时函数的单调性，即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
，由切点为，
，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
小问2详解】
由，令
则，
故在上为减函数．
又，
①当时，，故在上为增函数，
所以恒成立，故符合题意；
②当时，由于，
由且当时，
根据零点存在定理，必存在，使得，
由于在上为减函数，
故当时，，时，
故在上为增函数，
在上为减函数
所以当时，，故在上不恒成立，
所以不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题．本题的关键有：
（1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；
（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为和.
21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
【答案】（1）分布列详见解析
（2）买个
【解析】
【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得的分布列.
（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.
【小问1详解】
由题意可知所有可能取值为，
,
所以的分布列如下：
【小问2详解】
设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为.
依题意，可取.
方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元.
方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用元.
方案3：购买个盲盒时，
当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，
总费用，，
当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物，
总费用，
所以元.
方案4：购买个盲盒时，
当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，，
当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，
则总费用，
当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，
总费用，
所以元.
对比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小，
故应该一次性购买个吉祥物盲盒.
22. 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意设出，根据以PF为直径的圆与圆内切列出方程，化简即可得到P的轨迹为曲线E的方程.
（2）先证直线恒过定点，然后求出点H轨迹，进而求出的最小值.
【小问1详解】
设，则的中点，
根据题意得，即，
整理得，
化简得点的轨迹方程
【小问2详解】
设，先证直线恒过定点，理由如下：
由对称性可知直线的斜率不为0，所以可设直线，
联立直线与，,
则，①
，②
所以，令，得点横坐标，
同理可得点横坐标，
故，
将代入上式整理得：
，
将②代入得，
若，则直线，恒过不合题意；
若，则，恒过，
因为直线恒过，且与始终有两个交点，
又，，垂足为H，
所以点H轨迹是以为直径的半圆（不含点，在直线下方部分），
设中点为C，则圆心，半径为1，
所以，当且仅当点H在线段上时，
所以的最小值为.
【点睛】方法点睛：根据圆锥曲线中直线间几何关系求动点的轨迹方程，注意转化思想的应用；