高中人教B版 (2019)7.2.3 同角三角函数的基本关系式综合训练题

这是一份高中人教B版 (2019)7.2.3 同角三角函数的基本关系式综合训练题，共6页。试卷主要包含了化简＋ eq \f)的结果是，下列计算或化简结果正确的是等内容，欢迎下载使用。

A．－ eq \f(3,5) B．－ eq \f(4,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5)
2．已知角α的终边上有一点P的坐标是(3t，4t)，其中t≠0，则 eq \f(sin α＋2cs α,sin α－cs α)＝( )
A．－2 B． eq \f(10,7)
C．2 D．10
3．化简( eq \f(1,sin α)＋ eq \f(1,tan α))(1－cs α)的结果是( )
A．sin α B．cs α
C．1＋sin α D．1＋cs α
4．已知tan α＝－ eq \f(1,2)，α∈( eq \f(π,2)，π)，则sin α－2cs α＝________．
5．已知sin α＝ eq \f(2m－5,m＋1)，cs α＝－ eq \f(m,m＋1)，且α为第二象限角，则m的值为________．
6．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－ eq \r(3)， eq \r(6)).
(1)求tan θ；
(2)求 eq \f(sin2θ－4cs2θ,3sinθcs θ)的值．
7．(多选)下列计算或化简结果正确的是( )
A． eq \f(2tan αcs α,sin α)＝2
B．若sin θcs θ＝ eq \f(1,2)，则tan θ＋ eq \f(cs θ,sin θ)＝2
C．若tan x＝ eq \f(1,2)，则 eq \f(2sin x,cs x－sin x)＝1
D．若α为第一象限角，则 eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋ eq \f(sinα,\r(1－cs2α))＝2
8．(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．sin θ－cs θ＝－ eq \f(7,5) B．cs θ＝－ eq \f(3,5)
C．tan θ＝－ eq \f(3,4) D．θ∈( eq \f(π,2)，π)
9．(多选)若 eq \f(\r(1－sin2θ)－\r(1－cs2θ),\r(1＋2sinθcs θ))＝1，则角θ的取值范围可能为( )
A．( eq \f(π,2)， eq \f(3π,4)) B．( eq \f(3π,4)，π)
C．(－ eq \f(π,2)，－ eq \f(π,4)) D．(－ eq \f(π,4)，0)
10．若tan α＋ eq \f(1,tan α)＝3，则sin αcs α＝________，tan2α＋ eq \f(1,tan2α)＝________．
11．若3sinα＋cs α＝0，则cs2α＋2sinα·cs α的值为________．
12．若sin A＝ eq \f(4,5)，则 eq \f(5sin A＋8,15cs A－7)的值为________．
13．已知α为第二象限角，则cs α eq \r(1＋tan2α)＋sinα· eq \r(1＋\f(1,tan2α))＝________．
14．已知sinθ－cs θ＝ eq \f(1,2)，求sin3θ－cs3θ的值．
15.是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
7．2.3 同角三角函数的基本关系式
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为α是第二象限角，sinα＝eq \f(3,5)，且sin2α＋cs2α＝1，所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))\s\up12(2))＝－eq \f(4,5).故选B.
2．答案：D
解析：由三角函数的定义可得tanα＝eq \f(4t,3t)＝eq \f(4,3)，因此，eq \f(sinα＋2csα,sinα－csα)＝eq \f(tanα＋2,tanα－1)＝eq \f(\f(4,3)＋2,\f(4,3)－1)＝10.故选D.
3．答案：A
解析：原式＝(eq \f(1,sinα)＋eq \f(csα,sinα))(1－csα)＝eq \f(（1＋csα）（1－csα）,sinα)＝eq \f(1－cs2α,sinα)＝sinα，故选A项．
4．答案：eq \r(5)
解析：因为tanα＝－eq \f(1,2)＝eq \f(sinα,csα)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2α＋cs2α＝1,\f(sinα,csα)＝－\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinα＝\f(\r(5),5),csα＝－\f(2\r(5),5)))，所以sinα－2csα＝eq \f(\r(5),5)－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝eq \r(5).
5．答案：4
解析：由sin2α＋cs2α＝1得，(eq \f(2m－5,m＋1))2＋(－eq \f(m,m＋1))2＝1，∴m＝4或eq \f(3,2)，又∵α为第二象限角，∴sinα>0，csα<0，把m的值代入检验得m＝4.
6．解析：(1)∵角θ的终边经过点P(－eq \r(3)，eq \r(6))，
由三角函数的定义知，tanθ＝eq \f(\r(6),－\r(3))＝－eq \r(2).
(2)∵csθ≠0，∴eq \f(sin2θ－4cs2θ,3sinθcsθ)＝eq \f(tan2θ－4,3tanθ)＝eq \f(\r(2),3).
关键能力综合练
7．答案：ABD
解析：A正确，eq \f(2tanαcsα,sinα)＝eq \f(2sinα,csα)·eq \f(csα,sinα)＝2；B正确，tanθ＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(sinθ,csθ)＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(1,sinθcsθ)＝2；C不正确，eq \f(2sinx,csx－sinx)＝eq \f(2tanx,1－tanx)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,2))＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝eq \f(csα,csα)＋eq \f(sinα,sinα)＝2.综上，A、B、D正确，故选ABD.
8．答案：BD
解析：因为θ∈(0，π)，则sinθ>0，所以，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＋csθ＝\f(1,5),sin2θ＋cs2θ＝1,sinθ>0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(4,5),csθ＝－\f(3,5)))，所以，sinθ－csθ＝eq \f(7,5)，tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝－eq \f(4,3)，θ∈(eq \f(π,2)，π).故选BD.
9．答案：BD
解析：依题意，eq \f(\r(1－sin2θ)－\r(1－cs2θ),\r(1＋2sinθcsθ))
＝eq \f(\r(cs2θ)－\r(sin2θ),\r(sin2θ＋cs2θ＋2sinθcsθ))＝eq \f(|csθ|－|sinθ|,\r(（sinθ＋csθ）2))
＝eq \f(|csθ|－|sinθ|,|csθ＋sinθ|)，则eq \f(|csθ|－|sinθ|,|csθ＋sinθ|)＝1，由给定选项知，角θ终边不在坐标轴上，θ为第二象限角或第四象限角，从而有csθ与sinθ异号，若θ为第二象限角，则eq \f(|csθ|－|sinθ|,|csθ＋sinθ|)＝eq \f(－csθ－sinθ,|csθ＋sinθ|)，csθ＋sinθ<0，θ∈(eq \f(3π,4)，π)，若θ为第四象限角，则eq \f(|csθ|－|sinθ|,|csθ＋sinθ|)＝eq \f(csθ＋sinθ,|csθ＋sinθ|)，csθ＋sinθ>0，θ∈(－eq \f(π,4)，0).故选BD.
10．答案：eq \f(1,3) 7
解析：因为tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(1,csαsinα)＝3，所以sinαcsα＝eq \f(1,3).又tan2α＋eq \f(1,tan2α)＝(tanα＋eq \f(1,tanα))2－2＝9－2＝7，所以tan2α＋eq \f(1,tan2α)＝7.
11．答案：eq \f(3,10)
解析：由3sinα＋csα＝0，得csα≠0，tanα＝－eq \f(1,3).所以cs2α＋2sinα·csα＝eq \f(cs2α＋2sinα·csα,1)＝eq \f(cs2α＋2sinα·csα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1＋2tanα,tan2α＋1)＝eq \f(1－\f(2,3),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(3,10).
12．答案：6或－eq \f(3,4)
解析：因为sinA＝eq \f(4,5)>0，所以角A是第一或第二象限角．
当A是第一象限角时，csA＝eq \r(1－sin2A)＝eq \f(3,5)，
所以eq \f(5sinA＋8,15csA－7)＝eq \f(5×\f(4,5)＋8,15×\f(3,5)－7)＝6；
当A是第二象限角时，csA＝－eq \r(1－sin2A)＝－eq \f(3,5)，
所以eq \f(5sinA＋8,15csA－7)＝eq \f(5×\f(4,5)＋8,15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－7)＝－eq \f(3,4).
13．答案：0
解析：原式＝csαeq \r(\f(sin2α＋cs2α,cs2α))＋sinα·eq \r(\f(sin2α＋cs2α,sin2α))＝csα·eq \f(1,|csα|)＋sinα·eq \f(1,|sinα|).因为α是第二象限角，所以sinα>0，csα<0，所以csα·eq \f(1,|csα|)＋sinα·eq \f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0，即原式＝0.
14．解析：由sinθ－csθ＝eq \f(1,2)，得(sinθ－csθ)2＝eq \f(1,4)，
即1－2sinθcsθ＝eq \f(1,4)，
所以sinθcsθ＝eq \f(3,8)，sin3θ－cs3θ＝(sinθ－csθ)·(sin2θ＋sinθcsθ＋cs2θ)＝eq \f(1,2)×(1＋eq \f(3,8))＝eq \f(11,16).
核心素养升级练
15．解析：设这两个锐角为A，B，∵A＋B＝90°，∴sinB＝csA，
所以sinA，csA为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sinA＋csA＝－\f(3k,4)，①,sinAcsA＝\f(2k＋1,8)，②))
将②代入①2，整理得9k2－8k－20＝0，
解得k1＝2，k2＝－eq \f(10,9).
当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，因为Δ<0，所以方程无解；当k＝－eq \f(10,9)时，sinAcsA＝－eq \f(11,72)<0，所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾，所以不存在满足条件的实数k.
必备知识基础练
进阶训练第一层
关键能力综合练
进阶训练第二层
核心素养升级练
进阶训练第三层