2024届四川省成都市石室阳安中学高三上学期12月月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省成都市石室阳安中学高三上学期12月月考数学（文）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合中至少有3个元素，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为中到少有个元素，即集合中一定有三个元素，所以，故选C.
【解析】1.集合的运算；2.对数函数的性质.
2．设，其中是实数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据复数相等求得，进而求得
【详解】依题意，所以，
所以.
故选：B
3．已知，命题，，则
A．是假命题，
B．是假命题，
C．是真命题，
D．是真命题，
【答案】D
【详解】试题分析：，当，，因此是减函数，所以，，命题是真命题，是：，故选D．
【解析】命题的真假，命题的否定．
4．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的倍，已知这座塔共有盏灯，请问塔顶有几盏灯？”( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将题目转化为已知等比数列公比与前7项和，求首项问题，代入等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】根据题意可得，这座塔每层灯的数目为等比数列，其中、，
根据等比数列求和公式可得，
解得，即塔顶有3盏灯.
故选：A.
5．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．B．3C．7D．4
【答案】A
【分析】先求得点坐标，然后利用基本不等式求得的最小值.
【详解】对于函数，
当时，，所以，
则，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A
6．函数的图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】函数 当 时 ，在 函数递减，在 函数递增，
故选A
7．一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是80cm3．则图中的x等于（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】C
【分析】把三视图还原后得到该几何体为上面是一个四棱锥，下面是一个正方体，且四棱锥的右侧面与正方体的右侧面在同一个平面内．利用正方体与四棱锥的体积计算公式即可得出．
【详解】把三视图还原后，该几何体为一个组合体：上面是一个四棱锥，下面是一个正方体，且四棱锥的右侧面与正方体的右侧面在同一个平面内．
∴该几何体的体积是80=43+，解得x=3．
故选：C．
8．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由结合二倍角的降幂公式化简可得出结论.
【详解】，即，
即，即，化简可得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式化简，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9．已知P为拋物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义可知，到抛物线准线的距离等于到抛物线焦点的距离，
根据圆的几何性质可知，当三点共线时，
点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，
最小值为.
故选：C
10．若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中的芝麻数约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，利用几何概型得出芝麻落在区域Γ内的概率，进而可得答案.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中三角形ABC及其内部，
不等式表示的区域如下图中的圆及其内部：
由图可得，A点坐标为点坐标为坐标为点坐标为.
区域即的面积为，
区域的面积为圆的面积，即，
其中区域和区域不相交的部分面积即空白面积，所以区域和区域相交的部分面积，
所以落入区域的概率为.
所以均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为.
故选:A.
11．已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的一点，关于坐标原点的对称点为，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】根据点坐标可得点的坐标，进而得到点的坐标，根据即可求得离心率.
【详解】如图所示：
因为的中点在轴上，
故的横坐标为，代入双曲线方程，
可得，又在第二象限，即有，
点关于原点的对称点为，则，
而，点是的中点，则，
由于三点共线，则有，即，
化简得，故离心率.
故选：D
12．函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为
A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形
【答案】D
【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．
【详解】函数的导数，
则，
则，则，
则，
，
，
，即，
则，得，
，即，
则，则，
则，
则，
即是等腰钝角三角形，
故选D．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．
二、填空题
13．已知平面向量与 的夹角为，且，，则 ．
【答案】
【分析】利用平方的方法来求得正确答案.
【详解】由两边平方得，
，
解得.
故答案为：
14．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为；③离心率为；④一个顶点坐标为．选择一个条件可求得椭圆方程为的有 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】由椭圆方程得值，得椭圆顶点坐标，离心率等值，再判断．
【详解】只需保证，，即可，
且椭圆的顶点坐标为，，离心率为，
故①②③可求得椭圆方程为．
故答案为：①②③
15．若满足约束条件，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】画出可行域，目标函数的几何意义是一个斜率，结合图象可求.
【详解】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．

表示可行域内的点与点连线的斜率，
由，解得，即；
由，解得，即，
因此可得，
结合图象可得的取值范围为．
故答案为：
16．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：
①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；
②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；
③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；
④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①②③
【解析】对①，由线面平行的性质可判断正确；
对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；
对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；
对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；
【详解】对于①，因为平面，所以，，，又，
所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若，，，平面，
∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，
∴，，∴体积为，∴②正确；
对于③，设内心是，则平面，连接，
则有，又内切圆半径，
所以，，故，
∴三棱锥的体积为，∴③正确；

对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，
在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，
∴④不正确，
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcs2 +acs2 = c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．
【答案】（1）见解析（2）
【详解】试题分析：(1)先根据二倍角公式降次，再根据正弦定理将边化为角，结合两角和正弦公式以及三角形内角关系化简得sinB+sinA=2sinC ，最后根据正弦定理得a+b=2c (2)先根据三角形面积公式得ab=8，再根据余弦定理解得c．
试题解析：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：
即，
∴sinB+sinA+sinBcsA+csBsinA=3sinC∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC…∴sinB+sinA=2sinC ∴a+b=2c
∴a，c，b成等差数列．
（Ⅱ）…,
c2=a2+b2﹣2abcsC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4c2﹣24．…∴c2=8得
18．“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照，，，分组，得到如下频率分布直方图根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
(1)求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
(2)从这100名购物金额不少于万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
【答案】(1)万元
(2)
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【详解】（1）购物金额在的频率为，
购物金额在的频率为，
购物金额在的频率为，
所以购物者获得电子优惠券金额的平均数为：
万元.
（2）购物金额在的频率为，
购物金额在的频率为，
所以购物金额在的有人，记为，
购物金额在的有人，记为，
从中任取人，基本事件有
，
，
，
，共种，
其中两人都在的有：
，
所以这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率为.
19．如图，在四面体 中， ， ，点分别是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：若平面平面，且，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面；
（2）根据锥体体积计算公式求得三棱锥的体积．
【详解】（1）由于，是的中点，所以，
由于点分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于，平面，
所以平面，由于平面，所以平面平面；
（2）由于平面平面，且交线为，
平面，所以平面，
，，
所以.
20．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）由题意得，解方程组可求出的值，从而可求得椭圆C的标准方程；
（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再结合可求出的值，从而可求出直线方程
【详解】（1）由题意得：，解得
∴椭圆的标准方程是
（2）当直线的斜率不存在时，，
，不符合题意
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，
由消整理得：
，
解得或
，
∴
∵
∴
解得，满足
所以存在符合题意的直线，其方程为.
21．已知函数（ ）．
（1）当时，求 的图象在处的切线方程；
（2）若函数在 上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象与 轴有两个不同的交点，且 ，
求证：（其中 是的导函数）．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）先求函数的导数 ，确定切线的斜率和切点的坐标，写出切线的点斜式方程;（2）由题设知 ，利用其导数研究函数 在区间上的单调性与极值和区间端点外的函数值，结合函数图象的示意图确定函数 在上有两个零点的条件：
，解出实数 的取值范围；
（3）设的图象与轴交于两个不同的点所以方程 的两个根为，则 ，两式相减得 结合
消去可得： ，以下只需要用构造法证明 即可．
试题解析：解：（1）当时， ， ，切点坐标为 ，
切线的斜率，则切线方程为 ，即 ．
（2），则 ，
∵，故时， ．当 时，；当 时， ．
故在 处取得极大值 ．
又， ， ，则 ，
所以，在上的最小值是
在 上有两个零点的条件是，解得
所以实数的取值范围是
（3）因为的图象与 轴交于两个不同的点
所以方程的两个根为，则 ，两式相减得
，又 ，则
下证（*），即证明
即证明 在 上恒成立
因为又 ，所以
所以，在上是增函数，则，从而知
故，即 成立
【解析】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、构造法解决函数不等式的综合问题．
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线.
（1）将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线，请写出直线，和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线经过点且，与曲线交于点，求的值.
【答案】(1)，；(2)2.
【详解】试题分析：（1）利用极坐标和直角坐标的关系可得直角坐标方程为，根据伸缩变化法则可得的方程为；（2）写出直线的参数方程为，联立直线和曲线，根据参数的几何意义结合韦达定理可得结果.
试题解析：(1)因为，所以的直角坐标方程为；
设曲线上任一点坐标为，则，所以，
代入方程得： ，所以的方程为.
(2)直线：倾斜角为，由题意可知，
直线的参数方程为（为参数），
联立直线和曲线的方程得，.设方程的两根为，则，由直线参数的几何意义可知，.
23．已知函数．
(1)解不等式；
(2)记函数的值域为M，若，证明：．
【答案】(1) (2)见解析
【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得最小值，即得值域为，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.
【详解】（1）依题意，得
于是得或或
解得.
即不等式的解集为.
（2），
当且仅当时，取等号，
∴.
原不等式等价于.
∵，∴， . ∴.
∴.
【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
购物金额（单位：万元）分组
发放金额（单位：万元）
50
100
200