2022-2023学年江西师范大学附属中学高一下学期第三次月考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年江西师范大学附属中学高一下学期第三次月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,m) , b=(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m=( )
A. −8B. −6C. 6D. 8
2.已知▵ABC的顶点坐标分别为A1,1、B3,2、C4,5，则▵ABC的面积为
( )
A. 3B. 52C. 5 52D. 5
3.已知e为单位向量，a=6，向量a，e的夹角为3π4，则a在e上的投影向量是
( )
A. 2 3eB. 0C. −3 2eD. −2 3e
4.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+csinB=a，b=6，则a+2bsinA+2sinB=( )
A. 4B. 6C. 4 2D. 6 2
5.若fx=ln12x−1+m+n为 奇函数，则n=( )
A. 2B. −2C. ln2D. −ln2
6.已知函数fx=2sin2ωx+φω∈N+,φ<π2的最小正周期T∈3π4,3π2，将函数fx的图象向右平移π6个单位长度，所得图象关于原点对称，则下列关于函数fx的说法错误的是
( )
A. 函数fx的图象关于直线x=−5π12对称
B. 函数fx在π6,π2上单调递减
C. 函数fx在0,13π12上有两个极值点
D. 方程fx=1在0,π上有3个解
7.已知ω>0，函数f(x)=3sin (ωx+π4)−2在区间π2,π上单调递减，则ω的取值范围是
( )
A. 0,12B. 0,2C. 12,34D. 12,54
8.已知▵ABC中，AB=4AC=8，且λ2AB+2−2λACλ∈R的最小值为2 3，若P为边AB上任意一点，则PB⋅PC的最小值是
( )
A. −514B. −494C. −916D. −2516
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=3,−1，b=1,2，下列结论正确的是
( )
A. 与b同向共线的单位向量是 55,2 55
B. a与b的夹角余弦值为 25
C. 向量a在向量b上的投影向量为15,25
D. a−15b⊥b
10.已知fx=2cs2ωx+φ(其中ω>0，−π2<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
( )
A. ω=4
B. φ=−π6
C. 函数fx在区间π12,π4单调递减
D. 若f12α−π12=13，且α∈0,π4，则sinα−csα= 306
11.已知向量a=1, 3，b=csθ,sinθ0≤θ≤π，则下列命题正确的是
( )
A. 若a⊥b，则tanθ=− 33
B. 若b在a上的投影向量为−14a，则向量a与b的夹角为2π3
C. 若b与a共线，则b为12, 32或− 62,− 32
D. 存在θ，使得a−b=a+b
12.在▵ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccsB+bcsC=a2，则下列说法正确的是
( )
A. 若B+C=2A，则▵ABC面积的最大值为 34
B. 若A=π4，且▵ABC只有一解，则b的取值范围为0,1
C. 若C=2A，且▵ABC为锐角三角形，则c的取值范围为 2, 3
D. O为▵ABC的外心，则BC⋅BO=12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a− 3csinA=bsinB−csinC，若▵ABC外接圆面积为π，则▵ABC面积的最大值为 ．
14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，其中sinC=3sinA，B=60∘，b= 7.若B的角平分线BD交AC于点D，则BD= ．
15.如图，在边长为2的等边▵ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近点D)，点F为BC的中点，则EF⋅AC= ．
16.已知f(x)满足f(x)=f(x+8)，当x∈[0,8),fx=4sinπx4,x∈0,42x−8,x∈4,8，若函数g(x)=f2(x)+af(x)−a−1在x∈[−8,8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=2，b=4，且a+b=2 3．
(1)求a与b的夹角；
(2)若2a−b⊥a+kb，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,B>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23(纵坐标不变)，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移π36个单位，得到函数y=g(x)的图象，若x∈[0,π2]，求函数y=g(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知在△ABC中，其角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足bcsC+ 3bsinC=a+c．
(1)若b= 3，求△ABC的外接圆半径;
(2)若a+c=4 3，且BA⋅BC=6，求△ABC的内切圆半径．
20.(本小题12分)
已知函数fx=lg33x+1．
(1)若fx=lg35x−4x+1，求x的值；
(2)若函数F(x)=fx−x−lg3a⋅3x−aa∈R有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sinB−sinCsinB+sinC=sinAsinC,A≠C．
(1)求证：B=2C；
(2)若a=2，求三角形ABC面积的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(−π<φ<0,ω>0)的图象关于直线x=π6对称，且两相邻对称中心之间的距离为π2．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数，求|a|的最小值．
(3)若关于x的方程f(x)+lg2k=0在区间[0,π2]上总有实数解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于较易题．
求出向量 a+b 的坐标，根据向量垂直的坐标表示列式计算，可得答案．
【解答】
解：由题意得 a+b=1,m+3,−2=4,m−2 ，
因为 a+b⊥b ，所以 a+b⋅b=0 ，
即 (4,m−2)⋅(3,−2)=12−2(m−2)=0 ，所以 m=8 ，
故选：D
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量在平面几何中的应用，向量数量积的坐标运算，三角形面积公式，属于基础题．
利用平面向量数量积的坐标运算可求得 csA 的值，再利用同角三角函数的基本关系求出 sinA 的值，最后利用三角形的面积公式可求得 ▵ABC 的面积．
【解答】
解：因为 ▵ABC 的顶点坐标分别为 A1,1 、 B3,2 、 C4,5 ，则 AB=2,1 ， AC=3,4 ，
所以， csA=AB⋅ACAB⋅AC=2×3+1×4 5×5=2 55 ，则 A 为锐角，
所以， sinA= 1−cs2A= 1−2 552= 55 ，
因此， S▵ABC=12AB⋅ACsinA=12× 5×5× 55=52 ．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查投影向量，属于基础题．
根据投影向量定义计算即可．
【解答】
解： e 为单位向量，则 e=1 ，
则向量 a 在向量 e 上的投影向量为 ．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
根据三角形内角和定理，结合诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可．
【解答】
解：因为 bcsC+csinB=a ，由正弦定理可得 sinBcsC+sinCsinB=sinA ，
则 sinBcsC+sinCsinB=sinπ−B−C ，
sinBcsC+sinCsinB=sinB+C⇒sinBcsC+sinCsinB=sinBcsC+csBsinC ∴sinCsinB=csBsinC ， ∵sinC≠0 ， ∴sinB=csB ，
∴tanB=1 ， ∵B 为 ▵ABC 内角， ∴B=π4，
，则 a=6 2sinA ， b=6 2sinB ， ∴a+2bsinA+2sinB=6 2sinA+2×6 2sinBsinA+2sinB=6 2 ，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，属于一般题．
利用奇函数的定义分类讨论求解即可．
【解答】
解：因为函数 fx 为奇函数，
所以 fx 的定义域关于原点对称．
若 m=0 ，则 fx 的定义域xx≠12 不关于原点对称，
所以 m≠0,fx 的定义域为 xx≠12 且 x≠12−12m ，
从而 12−12m=−12 ，解得 m=12 ．
所以 fx=ln12+12x−1+n ，定义域为 xx≠±12 ．
令 f0=0 ，
得 ln12+n=0,n=ln2 ．
经检验， fx=ln12+12x−1+ln2 为奇函数，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的对称性，周期性，图象的平移变换，属于中档题．
由题可得 ω=1 ， φ=π3 ．
A选项，将 x=−5π12 代入 fx=2sin2x+π3 ，验证其值是否为 ±2 可判断选项；
B选项，由 y=2sinx 在 2π3,4π3 上的单调性可判断选项；
C选项，由 y=2sinx 在 π3,5π2 上的极值点可判断选项；
D选项，验证 2sinx=1 在 π3,7π3 上是否有3个解可判断选项．
【解答】
解：由题 2π2ω∈3π4,3π2⇒ω∈23,43⇒ω=1 ．
fx 的图象向右平移 π6 个单位长度后对应的解析式为y= 2sin(2x+φ−π3) ，因其过原点，则 φ−π3=kπ,k∈Z⇒φ=π3+kπ,k∈Z ，结合 φ<π2 ，可得 φ=π3 ．
A选项， f−5π12=2sin−π2=−2 ，则 fx 的图象关于直线 x=−5π12 对称，故A正确；
B选项， x∈π6,π2 时， 2x+π3∈2π3,4π3 ，因 (2π3,4π3)⊆(π2,3π2) ， y=2sinx 在 π2,3π2 上单调递减，则 fx 在 π6,π2 上单调递减，故B正确．
C选项， x∈0,13π12 时， 2x+π3∈π3,5π2 .令 2x+π3=π2+kπ,k∈Z ，
因 π2,3π2∈π3,5π2 ， 2sinπ2=2,2sin3π2=−2 ，则函数 fx 在 0,13π12 上有两个极值点，故C正确；
D选项， x∈0,π 时， 2x+π3∈π3,7π3 .由 2sinx=1,x∈π3,7π3 ，可得 x=5π6,x=13π6 ，则方程 fx=1 在 0,π 上有2个解，故D错误．
故选：D
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查利用正弦型函数的单调性解决参数问题，属于中档题．
利用整体思想及正弦函数的单调性可求解．
【解答】
解：由题知函数最小正周期为T=2πω，则，
已知ω>0，当x∈[π2,π]时，，
又函数f(x)在区间[π2,π]上单调递减，
故，则12⩽ω⩽54．
即ω∈12,54．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于较难题．
设 AD=4AC ，由题可得 G 、 B 、 D 三点共线，进而可得 AG 的最小值为 A 到 BD边上的高，根据几何关系求出 ∠BAD=π3 ，将 PB⋅PC 化成 PM2−14BC2 ，通过几何关系求出 PM 的最小值即可．
【解答】
解：设 AD=4AC ，于是 AB=AD=8 ，
令 λAB+4−4λAC=λAB+1−λAD=AG ，
∵ λ+1−λ=1 ，则 B ， G ， D 共线，
故 AGmin=4 3 ，
由图可得，当 AG⊥BD 时， AG 有最小值，
又∵ AB=4AC=8 ， AD=4AC=8 ，
∴ ，即 ∠ABD=∠ADB=π3,∠BAD=π3 ，
即 ▵ABD 为等边三角形．
由余弦定理， BC2=AB2+AC2−2ABACcs∠BAC=82+22−2×8×2×12=52 ，
设M为BC中点，
PB⋅PC=PM−12BC⋅PM+12BC=PM2−14BC2 ，
∴当 PM 取最小值时， PB⋅PC 有最小值，
∵ P 为边 AB 上任意一点，
∴当 PM⊥AB 时， PM 有最小值，
设 PM⊥AB ，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E ，则 CE=ACsin∠BAC= 3 ，
又∵ PM//EC ， PM 为 ▵BCE 的中位线，
∴ PM=12CE= 32 ，即 PMmin= 32 ，
∴ PB⋅PCmin=34−14×52=−494 ．
故选：B．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查向量的模、向量的夹角、向量垂直的判断与证明、向量的数量积、投影向量(平面向量)，属于基础题．
根据单位向量的概念判断选项A，根据向量的数量积判断选项B，根据投影向量的概念判断选项C，根据向量垂直数量积为0判断选项D.
【解答】
解：因为a=(3,−1)，b=(1,2)，
所以b= 5,a= 10，
所以与b同向共线的单位向量是bb= 55,2 55，故A正确；
因为a·b=3×1+−1×2=1，
所以a与b的夹角余弦值为
cs=a·bab=1 10× 5= 210，故B错误；
因为a·bb=1 5= 55，
所以向量a在向量b上的投影向量为
55·bb= 55× 55,2 55=15,25，故C正确；
因为(a−15b)·b=a·b−15b2=1−15×5=0，
所以(a−15b)⊥b，故D正确，
故选ACD.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查由部分图象求三角函数解析式，判断余弦型函数的单调性，三角恒等变换，属于一般题．
根据图象可确定 fx 最小正周期，从而求得 ω=2 ，知A错误；根据五点作图法可求得 φ ，知B正确；利用余弦型函数单调性的判断方法可知C正确；由已知等式可求得 sinαcsα ，根据同角三角函数平方关系及 α 的范围，可确定D错误．
【解答】
解：对于A，由图象可知： fx 的最小正周期 T=2×π6+π12=π2 ， ∴2ω=2πT=2ππ2=4 ，
解得： ω=2 ，A错误；
对于B，由五点作图法可知： 2ω×−π12+φ=−π3+φ=−π2+2kπk∈Z ，
∴φ=−π6+2kπk∈Z ，又 −π2<φ<0 ， ∴φ=−π6 ，B正确；
对于C，由AB得： fx=2cs4x−π6 ，
当 x∈π12,π4 时， 4x−π6∈π6,5π6 ， ∴fx 单调递减，C正确；
对于D， ∵f12α−π12=2cs2α−π2=2sin2α=13 ， ∴sinαcsα=12sin2α=112 ，
∴sinα−csα2=sin2α−2sinαcsα+cs2α=1−16=56 ，
∵α∈0,π4 ， ∴sinα−csα<0 ， ∴sinα−csα=− 306 ，D错误．
故选：BC．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、投影向量、向量平行(共线)关系的坐标表示，属于中档题．
根据 a⊥b 得到 csθ+ 3sinθ=0 ，即可判断A选项；根据投影向量得到 −14a=cs ⟨a,b⟩2a ，即可判断B选项；设b=λ, 3λ，根据 b 与 a 共线和 b=1 得到λ=±12 ，根据 0≤θ≤π 可得 λ=12 ，即可得到 b 的坐标，即可判断C选项；假设 a−b=a+b 成立，可得到 λ=−12 ，与 sinθ≥0 矛盾，即可判断D选项．
【解答】
解：对于A，若 a⊥b ，则有 csθ+ 3sinθ=0 ，即 tanθ=− 33 ，A正确；
对于B， a=2 ， b=1 ，已知b 在 a 上的投影向量为 −14a=|b|cs ⟨a,b⟩⋅a|a|=cs ⟨a,b⟩2⋅a ，
所以 csa,b=−12 ，∵ ⟨a,b⟩∈[0,π] ，∴ a,b=2π3 ，B正确；
对于C，若 b 与 a 共线，设 b=λ, 3λ ，
所以有 λ2+3λ2=1 ，解得 λ=±12 ，
因为 b=csθ,sinθ0≤θ≤π ， sinθ≥0 ，
∴ λ=12 ，所以 b=12, 32 ，C不正确；
对于D，若 a−b=a+b 成立，则 a 与 b 反向，
所以 λa=b ， b=λ, 3λ λ<0 ， λ2+3λ2=1 ，
解得 λ=±12 ，即有 λ=−12 ，
则 sinθ= 3λ<0 ，与 sinθ≥0 矛盾，故D不正确．
故选：AB．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
对于A，由正弦定理可得 a ，根据 B+C=2A 求出 A ，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；
由正弦定理得 sinB= 22b ，利用 sinB=1 可判断B；
求出 B=π−3A ，利用 ▵ABC 为锐角三角形得 A 的范围，由正弦定理得 c=2csA ，求出 c 的范围可判断C；
作OD⊥BC 交 BC 于D 点，则 D 点为 BC 的中点，设 ∠OBD=α 可得 cs α=BDBO ，利用数量积公式计算BC⋅BO可判断D．
【解答】
解：对于A，由正弦定理可得 sinCcsB+sinBcsC=sinA=asinA ，
因为 0若 B+C=2A ，且 B+C+A=π ，所以 A=π3 ，
由余弦定理得 csA=csπ3=b2+c2−a22bc=b2+c2−12bc ，
由 b>0,c>0 ，可得 b2+c2=bc+1≥2bc ，即 bc≤1 ，当且仅当b=c时等号成立，
则 ▵ABC 面积 12bcsinA≤12× 32= 34 ，所以 ▵ABC 面积的最大值为 34 ，故A正确；
对于B，若 A=π4 ，且 a=1 ，由正弦定理得 bsinB=1sinπ4 ，
所以 sinB=bsinπ4= 22b ，当 sinB=1 时即 22b=1 ，所以 b= 2 时有一解，故B错误；
对于C，若C=2A，所以 B=π−A−2A=π−3A ，且 ▵ABC 为锐角三角形，
所以 0由正弦定理 asinA=csinC 得 c=1×sinCsinA=sin2AsinA=2csA∈ 2, 3 ，故C正确；
对于D，如图作 OD⊥BC 交 BC 于 D 点，则 D 点为 BC 的中点，且 BC=1 ，
设 ∠OBD=α ，所以 cs α=BDBO ，
所以 BC⋅BO=BC⋅BOcsα=BC⋅BO×BDBO=BC⋅BD=12BC2=12 ，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】2+ 34
【解析】【分析】
本题考查三角形面积公式、正余弦定理，基本不等式的应用，属于一般题．
利用正弦定理的边角互化和余弦定理求出角 B=π6 ，再利用基本不等式和三角形面积公式求解．
【解答】
解：由已知及正弦定理得 a2− 3ac=b2−c2 ，所以 a2+c2−b2= 3ac ，
所以 csB=a2+c2−b22ac= 32 ，又 B∈0,π ，所以 B=π6 ．
由 ▵ABC 的外接圆面积为 π ，得外接圆的半径 R= 1．
由正弦定理得 b=2RsinB=1 ，
所以 a2+c2−1= 3ac ，所以 a2+c2= 3ac+1≥2ac ，解得 ac≤2+ 3 ，
所以 ▵ABC 的面积 S=12acsinB=14ac≤2+ 34 ，当且仅当 a=c 时等号成立．
故答案为： 2+ 34 ．
14.【答案】3 34
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题．
由角平分线性质及正弦边角关系得 CDAD=ac 、 CD=b4 ，应用余弦定理求得 c=3 ，在△BCD 中应用余弦定理求 BD ，正弦边角关系确定最终 BD 的长度．
【解答】
解：由题设 ∠ABD=∠CBD=∠ABC2=30∘ ，则 CDAD=BCAB=ac ，
又 sinC=3sinA ，则 c=3a ，故 CDAD=13 ，
又 b= 7 ，即 CD=14AC=b4= 74 ，
在△ABC 中，由余弦定理知： b2=a2+c2−2accsB=7 ，即 7a2=7 ，
得 a=1 ，故 c=3 ，
在△BCD 中，由余弦定理知： CD2=BD2+a2−2a⋅BDcs30∘ ，
故 16BD2−16 3BD+9= (4BD−3 3)(4BD− 3)=0 ，
故 BD=3 34 或 BD= 34 ，
又 csinC=bsin∠ABC⇒sinC=3 2114>sin∠CBD=12 ，
即 BD>CD ，故 BD=3 34，
故答案为： 3 34．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积和线性运算，属于基础题．
利用向量的线性运算得 EF⋅AC=−23BD⋅AC+12BC⋅AC ，再利用数量积的计算公式计算即可．
【解答】
解：在边长为2的等边 ▵ABC 中， BD 为中线，则 BD⊥AC ，
EF⋅AC=EB+BF⋅AC=−23BD+12BC⋅AC=−23BD⋅AC+12BC⋅AC=12BC⋅AC =12×2×2×cs60∘=1 ．
故答案为：1
16.【答案】(−9,−5)
【解析】【分析】
本题考查函数的零点，函数的周期性，数形结合思想，属于中档题．
根据函数的周期，作出函数在 [−8,8] 上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题，数形结合，可得答案．
【解答】
解：由题意知 f(x) 满足 f(x)=f(x+8) ，故 f(x) 是以8为周期的函数，
结合 fx=4sinπx4,x∈0,42x−8,x∈4,8 ，作出函数在 [−8,8] 上的图象，如图所示：
因为 g(x)=f2(x)+af(x)−a−1=f(x)−1f(x)+(a+1) ，
故 g(x)=0 时，即 f(x)=1 或 f(x)=−(a+1) ，
则 g(x) 在 [−8,8] 上恰有八个不同的零点，等价于 f(x) 的图象和直线 y=1,y=−(a+1) 有八个不同的交点，
由图象可知， y=1 和 f(x) 的图象有6个不同的交点，
则 y=−(a+1) 和 f(x) 的图象需有2个不同的交点，即 4<−(a+1)<8 ，
故 −9则实数 a 的取值范围为 (−9,−5) ，
故答案为： (−9,−5)．
17.【答案】解：(1)因为 a+b2=a2+2a⋅b+b2=a2+2a⋅b+b2=4+2a⋅b+16=12 ，
所以 a⋅b=−4 ．
设 a 与 b 的夹角为 θ(θ∈[0,π]) ，
则 csθ=a⋅ba⋅b=−42×4=−12 ，又 θ∈[0,π] ，所以 θ=2π3 ，
故 a 与 b 的夹角为 2π3 ．
(2)因为 2a−b⊥a+kb ，所以 2a−b⋅a+kb=0 ，
即 2a2+2ka⋅b−a⋅b−kb2=0 ，即 2a2+2ka⋅b−a⋅b−kb2=0 ，
所以 8−4(2k−1)−16k=0 ，即 12−24k=0 ，解得 k=12 ．

【解析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，向量的数量积与向量的垂直关系，属于较易题．
(1)根据数量积的运算律得到 a⋅b ，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解；
(2)依题意可得 2a−b⋅a+kb=0 ，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值．
18.【答案】解：(1)根据函数图象可得2A=3−(−1)=4，
∴A=2，3+(−1)=2B， ∴B=1，
，
得，∴ω=43，
又∵f(π6)=3，∴2sin(43×π6+φ)+1=3，∴sin(29π+φ)=1，
∴29π+φ=π2+2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<π2，∴φ=518π，
∴f(x)=2sin(43x+518π)+1；
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的23(纵坐标不变)得到，再向下平移一个单位得到y=2sin (2x+518π)，再向左平移π36个单位得到，
∴g(x)=2sin(2x+π3) ，
当x∈[0,π2]时，π3≤2x+π3≤43π ，
∴− 32≤sin(2x+π3)≤1，
∴g(x)∈[− 3,2]，即g(x)值域为[− 3,2]．
【解析】本题主要考查y=Asin(ωx+φ)+B的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
(1)由函数的图象顶点纵坐标可得A=2，B=1，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，从而求得函数的解析式；
(2)根据题意可得g(x)=2sin(2x+π3)，由x∈[0,π2]，得π3≤2x+π3≤43π，利用正弦函数的性质即可得到结果．
19.【答案】解：(1)因为bcsC+ 3bsinC=a+c，
所以bcsC+ 3bsinC−a−c=0，
所以sinBcsC+ 3sinBsinC−sinA−sinC=0，
因为A+B+C=π，
所以sinBcsC+ 3sinBsinC−sin(B+C)−sinC=0，
所以 3sinBsinC−csBsinC−sinC=0，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以sin(B−π6)=12，
因为B∈(0,π)，所以B−π6=π6，
所以B=π3，外接圆半径2R=bsinB=2.所以R=1；
(2)因为BA⋅BC=6，由题可知B=π3，所以ac=12，
又因为b2=a2+c2−2accsB，a+c=4 3可得b=2 3，
故S=12ac⋅sinB=3 3．
设△ABC的内切圆半径为r，
则S=12(a+b+c)r=3 3，得r=1．

【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形，求三角形外接圆与内切圆的半径，属于中档题．
(1)由题意结合正弦定理、两角和差公式化简可得B的值，再利用正弦定理求外接圆半径即可；
(2)根据数量积求得ac，再利用余弦定理求解b，利用等面积法求解内切圆半径．
20.【答案】解：(1)原方程等价于lg33x+1=lg35x−4x+1，即3x+1=5x−4x+1，
可化为45x+35x=1．
令φ(x)=45x+35x，则φ(x)是减函数，
又φ(2)=1，所以x=2．
(2)令F(x)=0得lg3(3x+1)=x+lg3a(3x−1)，
所以a(3x−1)>0，且3x+1=3x⋅a(3x−1)=a(32x−3x)，
整理得a⋅32x−(a+1)3x−1=0，
令t=3x，则g(t)=at2−(a+1)t−1有且仅有一个零点，
①当a>0时，x>0，此时，t∈(1,+∞)且g(t)开口向上，
a·12−(a+1)·1−1=−2<0，
所以g(t)在(1,+∞)上有且仅有一个零点；
②当a<0时，x<0，此时，t∈(0,1)且g(t)开口向下且对称轴方程为t=12(1+1a)，因为a·02−(a+1)·0−1=−1<0，a·12−(a+1)·1−1=−2<0 ，故要使g(t)在0,1上有且仅有一个零点，
只要0<121+1a<1且Δ=(a+1)2+4a=a2+6a+1=0，可得a=−3−2 2符合条件；综上：a∈{−3−2 2}∪(0,+∞)．

【解析】本题考查函数的零点，考查复合型指数函数，属于一般题．
(1)原方程可化为45x+35x=1，结合φ(x)=45x+35x是减函数，且φ(2)=1可得答案；
(2)利用换元法转化为g(t)=at2−(a+1)t−1有且仅有一个零点，再分别分析开口向上和向下的情况，得出答案．
21.【答案】解：(1)证明：由正弦定理可得 b2=ac+c2 ，又 b2=a2+c2−2accsB ，
所以 ac+c2=a2+c2−2accsB ，
整理得 a−c=2ccsB ，
则sinA−sinC=2sinCcsB，
即有 sinBcsC+csBsinC−sinC=2sinCcsB ，
所以 sinBcsC−csBsinC=sinC ，即 sinB−C=sinC ，
∵B,C∈0,π2 ，
∴−C∈−π2,0 ，
则 B−C∈−π2,π2 ，
所以 B−C=C ，所以B=2C ．
(2)由(1)得 B=2C ，因为 a=2 ，
由 2sinA=bsinB=csinC ，得 c=2sinCsinA ，
设三角形 ABC 的面积为 S ，
则 S=12acsinB=csinB=2sinCsin2CsinA
=2sinCsin2Csin(2C+C)=2sinCsin2Csin2CcsC+cs2CsinC=2csCsinC+cs2Csin 2C
=21tanC+1tan2C=43tanC−tanC ，
在锐角三角形ABC 中， 0所以 C∈π6,π4 ，所以 tanC∈ 33,1 ，设 t=tanC ，则 t∈ 33,1 ，
记 y=3t−t,t∈ 33,1 ，易知函数 y=3t−t 在 t∈ 33,1 上单调递减，
所以 y∈2,8 33 ，所以 S=4y∈ 32,2 ，即三角形 ABC 面积的取值范围 32,2 ．

【解析】本题考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于较难题．
(1)先根据正弦定理得 b2=ac+c2 ，然后结合余弦定理化简整理得 sinB−C=sinC ，解方程即可证明；
(2)先利用正弦定理表示出 c=2sinCsinA ，结合面积公式得出 S=43tanC−tanC ，利用 C 的范围及函数的单调性进行求解．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(−π<φ<0,ω>0)
两相邻对称中心之间的距离为π2
则T=2πω=π，解得ω=2．
函数的图象关于直线x=π6对称，
则2⋅π6+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ+π6，
由于−π<φ<0，则φ=−5π6，
故函数的关系式为f(x)=2sin(2x−5π6)．
所以T=2π2=π．
令−π2+2kπ≤2x−5π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
解得π6+kπ≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，
函数的单调递增区间为：[π6+kπ,kπ+2π3](k∈Z)．
(2)函数g(x)=f(x+a)=2sin(2x+2a−5π6)为偶函数，
则2a−5π6=kπ+π2(k∈Z)，
解得2a=kπ+4π3(k∈Z)，
当k=−1时，|a|min=π6．
(3)关于x的方程f(x)+lg2k=0在区间[0,π2]上总有实数解，
即lg2k=−f(x)在区间[0,π2]上总有交点，
由于0≤x≤π2，
则−5π6≤2x−5π6≤π6，
则−1≤−2sin(2x−5π6)≤2，
即−1≤lg2k≤2，
解得12≤k≤4．
故k的取值范围是12≤k≤4．
【解析】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，求参数的取值范围问题的应用．
(1)利用已知条件和函数的性质求出函数的解析式，进一步确定周期和单调区间．
(2)利用正弦型函数的性质和奇偶性确定a的最小值．
(3)将问题转化为lg2k=−f(x)在区间[0,π2]上总有交点，根据正弦型函数的性质确定参数的取值范围．