03简单几何体（多面体与旋转体）-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版20

这是一份03简单几何体（多面体与旋转体）-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版20，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023上·上海闵行·高二校考期末）如图，已知平面截球所得截面圆的半径为，该球面的点到平面的最大距离为3，则球的体积为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023下·上海嘉定·高二统考期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
4．（2023下·上海杨浦·高二统考期末）如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（ ）

A．2B．3C．D．4
5．（2022上·上海徐汇·高二位育中学校考期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（ ）
A．8：27B．2：13C．4：943D．2：9
6．（2023上·上海浦东新·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆
B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥
二、填空题
7．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）底面半径为3，高为4的圆柱和圆锥的表面积的比值为 ．
8．（2023上·上海静安·高二校考期末）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为9，则原圆锥的母线长 ．
9．（2023上·上海静安·高二校考期末）圆锥底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为 ．
10．（2024上·上海宝山·高二校考期末）已知球的表面积为，则该球的体积为 ．
11．（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 .
12．（2023上·上海·高二上海市延安中学校考期末）若球的半径为5，则其表面积为 .
13．（2024上·上海·高二统考期末）若用与球心距离为3的平面截球体所得的圆面半径为4，则球的体积为 .
三、解答题
14．（2023上·上海·高二校联考期末）将一个边长为2的正六边形（图1）沿对折，形成如图2所示的五面体，其中，底面是正方形．
(1)求二面角的大小．
(2)如图3，点分别为棱上的动点．求周长的最大值．
15．（2023上·上海闵行·高二校考期末）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.
(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”的外接球的表面积.
16．（2022上·上海杨浦·高二校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
参考答案：
1．D
【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果.
【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为，
易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为，
所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，
由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：，
所以，故，则球的直径为6.
故选：D
2．D
【分析】根据条件求出球的半径即可.
【详解】依题意得：截面圆半径，设球的半径为，则球心到截面圆的距离.
如图，由勾股定理得：，解得，所以球的体积为.
故选：D.

3．C
【分析】设球心为，连接，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出.
【详解】设球心为，连接，由，
所以和均为等边三角形，
所以，
所以，当且仅当共面时取等号，如图所示，
此时取得最大值，
在中，由余弦定理得
，
所以，
所以的最大值为，
故选：C
4．D
【分析】根据球的几何性质，利用截面距及球半径由勾股定理计算即可求得截面圆半径.
【详解】如图所示，为球面上一点，则，
球心到平面的距离为3，即，且，
则小圆的半径长即为，
在中，由勾股定理可得，解得.
故选：D
5．A
【分析】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算.
【详解】设两球的半径分别为，则，∴，
所以两球的体积比为；
故选：A.
6．B
【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.
【详解】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，故A错误.
底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B正确.
用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误.
以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，故D错误.
故选：B
7．
【分析】根据题意分别计算圆柱和圆锥的表面积，然后计算比值即可.
【详解】结合题意可得：圆柱的表面积是由上下底面和侧面构成，
则圆柱的表面积.
圆锥的表面积是由底面和侧面构成，易知圆锥的母线，
所以圆锥的表面积，
所以该圆柱和圆锥的表面积的比值为.
故答案为：.

8．
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】由题意可得，几何体如下图所示：
取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且，
设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得，
即原圆锥的母线长为.
故答案为：.
9．
【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.
【详解】因底面半径为3，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：.则扇形面积即圆锥侧面积为：.
故答案为：
10．
【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可.
【详解】设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为：
.
故答案为：.
11．
【分析】根据条件，利用球的体积公式得到，再利用球的表面积公式即可求出结果.
【详解】设熔化后铸成的球的半径为，因为熔化前后球的体积不会发生变化，
所以，得到，故球的表面积为.
故答案为：.
12．
【分析】由球的表面积公式即可求得结果.
【详解】球的表面积.
故答案为：.
13．/
【分析】利用球的截面小圆性质，求出求半径及体积.
【详解】依题意，球的半径，所以球的体积.
故答案为：
14．(1)；
(2).
【分析】（1）正六边形中连接交于，进而得到为二面角的平面角，根据已知及余弦定理求其大小即可.
（2）将面、面、面展开得到平面展开图，讨论是否平行，结合图形对所有可能的移动路径进行分析知分别与重合时三角形周长最大；
【详解】（1）正六边形中连接交于，则，
所以沿对折后，有，故为二面角的平面角，
又底面是正方形，正六边形边长为2，则，
所以，故锐二面角大小为.
（2）将面、面、面展开，得到如下展开图，
若，则分别与重合，此时周长；
若不平行，如图示，
路径，过作，连接并延长交于点，
得到路径，路径，路径，
设路径的长度为且，结合图形、三角形三边关系判断知，
所以分别与重合，周长最大为，
综上所述：周长的最大值为.
15．(1)证明见解析，4
(2)
【分析】（1）根据平面，且是矩形，可证明四棱锥是“阳马”，根据锥体的体积公式可求其体积；
（2）根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解.
【详解】（1）因为长方体中，平面，且是矩形，
所以四棱锥中，底面是矩形，且侧棱底面，
所以四棱锥是一个“阳马”，
体积；
（2）长方体的外接球即为四棱锥的外接球，
因为，.
长方体的对角线长为，
则长方体的外接球的半径，
该“阳马”外接球的表面积为.
16．(1)
(2)26400克
【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；
（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.
【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
由球体的体积为：，
圆柱体积为：，
所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，
圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，
3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶克.