【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题01 集合及其运算（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 集合的概念与元素特性
1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
3、元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．
知识点2 元素与集合的关系
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
2、常见数集的记法与关系图
知识点3 集合的表示方法
1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.
2、描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
知识点4 集合间的基本关系
1、子集、真子集、相等、空集
2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
知识点5 集合的基本运算
1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合与的并集.
记作：，即.
2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合与的交集.
记作：，即.
3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
考点剖析
考点1 判断元素与集合的关系
【例1】（2023秋·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】显然都是实数，①正确，②错误；
是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误，
所以正确的个数为2.故选：B
【变式1-1】（2023秋·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知集合，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
因为，，，，所以C正确，ABD错误，故选：C
【变式1-2】（2023秋·高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得所以，故选：A
【变式1-3】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合且，则下列判断不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据集合可知，
集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数；
对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确；
对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确；
对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确；
对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误；故选：D
【变式1-4】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【解析】在A中，当时，显然不成立．
对于B，当，其平方数仍为整数, 显然不成立；
对于C,当，其绝对值仍为有理数, 正确；
对于D项,当，其立方仍为实数，正确.故选：AB.
考点2 根据元素与集合的关系求参数
【例2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，且，
所以，即，解得或.故选：A.
【变式2-1】（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为且，所以且，解得.故选：B.
【变式2-2】（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知集合中的最大元素为，则实数 .
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以，解得或，
显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．
故答案为：
【变式2-3】（2023秋·甘肃·高一校考阶段练习）（多选）已知集合，若，则实数a的可能取值为（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】AB
【解析】当，即时，，符合题意；
当，即时，不符合题意；
当，即或时．若，不符合题意；
若，，符合题意．故选:AB．
【变式2-4】（2023·江苏·高一专题练习）（多选）已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（ ）
A． B． C． D．或或
【答案】AB
【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确；
对于B，当时，，满足题意，B正确；
对于C，当时，，不合题意，C错误；
对于D，由ABC知：或，D错误.故选：AB.
考点3 根据集合中元素个数求参数
【例3】（2022·全国·高一专题练习）若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,
【答案】C
【解析】，∴方程无解，即，
解得：，则实数的范围为，故选：C.
【变式3-1】（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（ ）
A．6 B． C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，
即集合中有8个元素，符合题意，故A可选，
当时，满足的有6，3，2，1，，，，，
即集合中有8个元素，符合题意，故B可选，
当时，满足的有8，4，2，1，，，，，
即集合中有8个元素，符合题意，故C可选，
当时，满足的有9，3，1，，，，
即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，故选：ABC．
【变式3-2】（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）（多选）已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】ABD
【解析】当时，，解得，所以，符合题意；
当时，由题意，得，解得或.故选：ABD
【变式3-3】（2023秋·河南商丘·高一校考阶段练习）若集合中有2个元素，求k的取值范围．
【答案】且．
【解析】由题意得且，解得且.
故实数k的取值范围为且．
【变式3-4】（2022秋·湖南长沙·高一校考阶段练习）已知全集，.
（1）若中有个元素，求实数的值；
（2）若中有四个元素，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由中有个元素，集合中有两个元素，
即方程有两个不等的实根，，
则，且，，
则，；
（2）由中有四个元素，则集合中有且只有一个元素，
则方程有且只有一个实数根，
则，且，
则，.
考点4 集合相等及其应用
【例4】（2023秋·贵州遵义·高一校考阶段练习）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】CD
【解析】对于A，是点集，是数集，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，
，故D正确.故选：CD.
【变式4-1】（2022秋·全国·高一阶段练习）（多选）下列集合中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，，A不满足条件；
对于B选项，，B满足条件；
对于C选项，，C满足条件；
对于D选项，，D不满足条件.故选：BC.
【变式4-2】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知集合，，，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为集合，，，
所以，即，
所以，因为，所以的值为.故选：A .
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）已知实数集合若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，
得到或
又根据集合互异性，可知，解得或（舍），
所以故选:A.
【变式4-4】（2023秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】根据题意,,故，则,
则，由集合的互异性知且，
故，则， 即或（舍），
当时，，符合题意，
所以.故选：B.
考点5 判断集合与集合之间的关系
【例5】（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．A
【答案】CD
【解析】因为集合，
所以根据子集及真子集的定义可知A .故选：CD.
【变式5-1】（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知全集，若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
又，则或，
因此，，不是的子集，
，即ABC错误，D正确.故选：D
【变式5-2】（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意，则存在，使得，显然，因此，
但，而，所以是的子集也是真子集，四个选项中只有C正确，故选：C．
【变式5-3】（2021秋·高一课时练习）已知集合，，则M，P之间的关系为（ ）
A．M=P B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
，
所以.故选：B.
【变式5-4】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合，，，则，，的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
，
，
且，，，，
，，所以.故选：B
考点6 根据集合之间的关系求参数
【例6】（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】ABD
【解析】由，得到或，即，
因为，由，
当时，无解，此时，满足题意，
当时，得到，所以或，得到或，故选：ABD.
【变式6-1】（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
若，则，解得，符合题意；
若时，则解得．
综上，实数m的取值范围是．故选:C．
【变式6-2】（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，，所以，得到，故选：A.
【变式6-3】（2023·上海·高一专题练习）已知，.
（1）若是的子集，求实数的值；
（2）若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）因为，
若是的子集，则，
所以，解得.
（2）若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，得，解得，
所以，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
【变式6-4】（2022秋·河南商丘·高一校考阶段练习）已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，，已知，
由.
（2）,
若，则，解得.
考点7 求集合的子集与真子集
【例7】（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【解析】因为，
又，
所以，所以的真子集有个.故选：B
【变式7-1】（2023秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）设集合，，记，则集合的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】.
集合的真子集个数是：.故选：C.
【变式7-2】（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为，，所以，
所以集合的真子集的个数为，故选：C
【变式7-3】（2023秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）满足的集合的个数有（ ）个
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同时含有4,5,6.
由此可得到满足条件的集合A的个数就是集合的真子集个数，共有个.故选：B
【变式7-4】（2023秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）（多选）若{1,2}⊆B {1,2,3,4}，则B=（ ）
A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}
【答案】ABC
【解析】∵{1,2}⊆B{1,2,3,4}，
∴B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}，故选：ABC
考点8 空集的运算及其性质
【例8】（2022秋·河北承德·高一校考期末）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【解析】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，故选：D
【变式8-1】（2022秋·吉林·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：，选项A错误；
对于B：是无理数，，选项B错误；
对于C：是它本身的子集，即，选项C正确；
对于D：仅当A为空集时，成立，否则不成立，选项D错误．故选：C．
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，则．
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；
由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；
由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；
由于，则或，故④不正确；
综上，正确的说法有0个.故选：A.
【变式8-3】（2023秋·江西新余·高一校考开学考试）（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A． B．⫋ C． D．
【答案】BC
【解析】对选项A，由不是的元素，故A错误；
对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故⫋，B正确；
对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确；
对选项D，由不是的元素，D错误.故选：BC.
【变式8-4】（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵，∴，解得，
因此实数k的取值范围是.
故答案为：.
考点9 集合的交并补综合运算
【例9】（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，得，所以，故选：B
【变式9-1】（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以．故选：D
【变式9-2】（2023春·甘肃平凉·高二校考阶段练习）设已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以，
所以，
又，所以.故选：A
【变式9-3】（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】，，
， 故A不正确；
，故B不正确；
或，
或或，故C不正确；
或，故D正确.故选：D.
【变式9-4】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知集合，，实数集为全集.
（1）求，； （2）求.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）因为，，
所以；
（2）或，
所以或.
考点10 根据集合的运算结果求参数
【例10】（2023秋·全国·高一专题练习）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【解析】由集合或，得，
又集合且，
则2或，即或.故选：B.
【变式10-1】（2022春·四川南充·高一校考开学考试）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又，且，
所以，即实数的取值范围为.故选：D
【变式10-2】（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知集合，，若，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【解析】由不等式，分解因式可得，解得或，
即或，，
由，.
故答案为：.
【变式10-3】（2023秋·浙江台州·高一统考期末）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若，则，
因为，所以；
（2）由题，得，由，得，
若，则，得，
若，即时，则有，或，得或，
综上，
【变式10-4】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知集合，集合.
（1）求；
（2）设，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，；（2）
【解析】（1）依题意，集合，集合，
所以或，.
（2）由（1）得或，
而且，
所以，解得，所以的取值范围是.
考点11 Venn图的应用
【例11】（2023秋·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习）已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题图可知，阴影部分表示的集合是，
因为，可得，
所以.故选：D.
【变式11-1】（2022秋·河北保定·高一校考阶段练习）已知全集 ，集合 ， ，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，则.
故阴影部分表示的集合是.故选：C
【变式11-2】（2023秋·全国·高一专题练习）如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知，阴影部分在集合M中，且在集合P中，但不在集合S中，
故阴影部分所表示的集合是．故选：C．
【变式11-3】（2023秋·四川眉山·高一校考开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】选项A，，则，故A正确；
选项B，，则，故B错误；
选项C，，，
则，故C错误；
选项D，，，
则，故D正确.故选：AD
【变式11-4】（2023秋·江苏扬州·高三统考开学考试）（多选）已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，
对于A：由，可得，A正确；
B：由于，故，B错误；
C：因为，，则，C正确；
D：由于，故，D错误．故选：AC．
考点12 集合的新定义问题
【例12】（2023秋·高一课时练习）已知集合，定义集合运算，则 .
【答案】
【解析】由题意知，集合则a与b可能的取值为0，2，3，
∴的值可能为0，2，3，4，5，6，∴
故答案为：
【变式12-1】（2023秋·宁夏·高一校考阶段练习）已知集合，，定义集合，则中元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】，，
由，
得可取，可取，
所以有个元素.故选：D.
【变式12-2】（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）设集合M是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，则称t为集合M的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】A选项，对于任意，显然，使得，
即0为集合的聚点，A正确；
B选项，对于任意，不妨令，因为，解得，
因为在集合中不存在，故B错误；
C选项，对于任意，存在且，即且时，使得，
即0为集合的聚点，C正确；
D选项，令时，，
对于任意，总存在足够大的使得，
故0为集合的聚点，D正确.故选：ACD
【变式12-3】（2023秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】“孤立元”为的集合为，，，，
“孤立元”为的集合为，，
“孤立元”为的集合为，
“孤立元”为的集合为，，
“孤立元”为的集合为，，，，
综上：满足题意的集合有13个.故选：D
【变式12-4】（2023秋·全国·高一专题练习）若X是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
（1）；
（2）对于的任意子集，当且时，有；
（3）对于的任意子集.当且时，有，则称是集合的一个“——集合类”.
例如： {∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合的一个“——集合类”.
已知，则所有含的“M——集合类”的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解析】依题意知，中至少含有这几个元素：，{b，c}，{a，b，c}，将它看成一个整体；
剩余的{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}；
①{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加0个的集合为{，{b，c}，{a，b，c}}，1种，
②{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加1个的集合为{，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，
{、{b}，{b，c}，{a，b，c}}，{、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共3种，
③{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加2个的集合共3种，
即{b}、{c}；{c}、{a，c}；{b}、{a，b}3种添加方式，
④{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加3个的集合共4种，
即{a}、{b}、{a，b}；{a}、{c}、{a，c}；{b}、{c}、{a，b}；{b}、{c}、{a，c}，
共4种添加方式，
⑤{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}5个中添加4个的集合共0种，
⑥{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加5个的集合共1种，
综上含的“M——集合类”的个数为12种.故选：D
过关检测
1．（2023秋·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】是实数，①正确；是无理数，不是有理数，②错误；
是整数，③错误；是无理数，不是自然数，④正确．
正确的个数为2个，故选：B.
2．（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）若集合，则集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由，即，
所以集合中的元素个数为5个，故选：C.
3．（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，且，
所以，即实数的取值范围是.故选：C
4．（2022秋·河南三门峡·高一校考阶段练习）对任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】空集表示无任何元素的集合，所以，①错误；
由交集性质知：，②正确；
由并集性质知，，③正确；
是自然数集，是实数集，所以，④错误.
综上：只有②③正确.故选：B
5．（2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）若则满足条件的集合A的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】因为，
所以或或或或或或或，
即满足条件的集合的个数为8，故选：B．
6．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合，，全集，则以下集合（ ）是空集
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，由得，
故，，，，
仅D选项符合题意．故选：D
7．（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）（多选）考查下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村； B．直角坐标系中横､纵坐标相等的点；
C．不小于3的自然数； D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.
【答案】BCD
【解析】A中“最美”标准不明确，不符合确定性，
B,C,D选项中的元素标准明确，均可构成集合.故选:BCD.
8．（2023·全国·高一专题练习）（多选）集合，则下列关系错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
时，表示所有奇数，表示所有整数，
所以且，所以CD正确.故选：AB
9．（2023·全国·高一专题练习）（多选）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则．下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】由性质①，若，则没有意义，所以，，则，所以B选项正确.
由性质②，若，而，则，与上述分析矛盾，所以，A选项正确.
若，则；若，则，所以C选项正确.
由，得，则，所以D选项错误.故选：ABC
10．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，若，则
【答案】3或
【解析】，，
，解得或，
经检验知或.
11．（2023秋·四川眉山·高一校考开学考试）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】0
【解析】因为，且，所以，
则有，
所以，且，得，
所以，
12．（2023秋·辽宁抚顺·高一校考阶段练习）已知集合中有8个子集，则的一个值为 .
【答案】4或9（写出一个即可）
【解析】集合中有8个子集，
由知，集合中有三个元素，则有三个因数，
因为，，
除1和它本身外，还有1个，所以的值可以为4，9.
故答案为：4或9（写出一个即可）
13．（2022秋·天津·高一统考期中）已知全集，集合，集合或.
（1）计算和；
（2）计算和.
【答案】（1） ，或
（2）=；或
【解析】（1）因为，或，
所以，或.
（2）因为，或，
所以或，，
所以=；或.
14．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，求：
（1）当时，中至多只有一个元素，求的取值范围；
（2）当满足什么条件时，集合为空集．
【答案】（1）或；（2）或
【解析】（1）由题意得，方程可化为，
①当时，方程可化为，得，所以，符合题意，
②当时，
因为中至多只有一个元素，所以，解得，
综上所述，的取值范围为或；
（2）①当时，方程可化为，因为为空集，所以，
②当时，因为为空集，所以，
综上所述，当或时，集合为空集．
15．（2023秋·陕西榆林·高一校考阶段练习）设集合，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若且，求实数的值.
【答案】（1）5；（2）
【解析】（1）由题可得，由，得.
从而，是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，所以，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
图形语言
基本关系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（则）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合A，B的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集