【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题06+复数的四则运算（六大考点）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：复数代数形式的加、减运算
考点二：复数加减法的几何意义
考点三：复数模的综合问题
考点四：复数代数形式的乘法运算
考点五：复数代数形式的除法运算
考点六：在复数范围内解方程
知识点一、复数的加减运算
1、复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．
2、复数的加法运算律：
交换律：
结合律：
知识点二、复数的加减运算的几何意义
1、复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．
知识点诠释：
复数复平面内的点平面向量
知识点三、复数的乘除运算
1、乘法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
2、乘法运算律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
1、复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．
设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是，
由于，所以和的和就是与复数对应的向量．
知识点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理
考点剖析
考点一：复数代数形式的加、减运算
例1．（2024·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例2．（2024·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例3．（2024·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
变式1．（2024·安徽蚌埠·高二校考阶段练习）已知，，为实数，若，求
变式2．（2024·高一课时练习）复数满足，求.
考点二：复数加减法的几何意义
例4．（2024·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ．
例5．（2024·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ．
例6．（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为 ．
变式3．（2024·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考）已知，则 的最小值是 ．
变式4．（2024·山东日照·高一校联考期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 .
变式5．（2024·高二课时练习）复平面上，，对应的点分别为，，已知，且，是坐标原点，则在复平面内是 （锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）.
考点三：复数模的综合问题
例7．（2024·新疆伊犁·高一校联考期末）设是虚数单位，若复数满足，则 ．
例8．（2024·河北唐山·高一统考期末）若复数，，则 .
例9．（2024·广东佛山·高一统考期末）设复数、，满足，，则 ．
变式6．（2024·上海杨浦·高一校考期末）若复数和复数满足，，，则 .
变式7．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考）已知复数满足，则 .
变式8．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设复数、满足，，，则 ．
考点四：复数代数形式的乘法运算
例10．（2024·上海青浦·高三校考）已知为虚数单位，若复数满足，则 .
例11．（2024·湖南湘西·高一统考期末） .（为虚数单位）
例12．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）设复数满足，则的实部为 ．
变式9．（2024·湖北·高一校联考）若复数z的虚部小于0，且，则 ．
考点五：复数代数形式的除法运算
例13．（2024·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
例14．（2024·陕西榆林·高一校考）已知复数，，则在复平面内对应的点位于第 象限.
例15．（2024·江苏扬州·高一统考）实数满足，则 ．
变式10．（2024·上海·高三专题练习）若，，则实数，应满足的条件为 .
变式11．（2024·全国·高一随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点六：在复数范围内解方程
例16．（2024·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
例17．（2024·全国·高一课堂例题）在复数集C内解下列方程：
(1)；
(2)．
例18．（2024·高一单元测试）根据要求完成下列问题：
(1)关于的方程有实根，求实数的值；
(2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.
变式12．（2024·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知复数，，.
(1)若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是方程的一个根，求实数的值.
变式13．（2024·青海海东·高一统考阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中．
(1)若m＝1，求；
(2)若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及．
变式14．（2024·上海嘉定·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值.
变式15．（2024·高一单元测试）已知i是虚数单位，，.
(1)求的值；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
过关检测
一、单选题
1．（2024·陕西西安·高三统考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．2C．D．10
2．（2024·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）复平面内，复数(为虚数单位)，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2024·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）已知复数满足：，则（ ）
A．1B．2C．D．3
5．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·云南保山·高一校考）下列命题中，正确的个数为（ ）
①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是；
②复数是的根，则；
③若复数是关于的方程的一个根，则；
④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
A．B．C．D．
7．（2024·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考）设复数，则的的虚部是（ ）
A．3B．2C．-3D．-2
二、多选题
9．（2024·辽宁·高三校联考）若复数，则（ ）
A．的共轭复数
B．
C．复数的实部与虚部相等
D．复数在复平面内对应的点在第四象限
10．（2024·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限B．
C．D．
11．（2024·重庆·高三西南大学附中校考）复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限B．是一个纯虚数
C．D．
12．（2024·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考）已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．
三、填空题
13．（2024·广东佛山·高一统考竞赛）设复数满足，则 .
14．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考）复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ．
15．（2024·上海奉贤·高二校联考）如果都是实数，关于的方程有一个根，则
16．（2024·广东东莞·高一东莞实验中学校考）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
四、解答题
17．（2024·新疆喀什·高一统考期末）计算：
(1)；
(2).
18．（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
19．（2024·陕西西安·高一期末）已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
20．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）（1）在复数范围内因式分；
（2）计算：是虚数单位．
21．（2024·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值；
（2）i是虚数单位，，，若，求复数z．
22．（2024·山东日照·高二统考）已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．
(1)求复数z的模；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．