【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题03+两条直线的位置关系-练习.zip

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一．两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行．
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即．
证明如下：
设两条直线的斜率分别为．
如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即．
∴，∴．
反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么．
由于，∴．又两条直线不重合，∴．
在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为：
与平行的充要条件：存在，使得，，且
二．两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直．
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即．
证明如下：
设两条直线与的倾斜角分别为与．
如果，这时．否则，则，与相矛盾．
设（如下图），
图（1）的特征是与的交点在x轴上方；
图（2）的特征是与的交点在x轴下方；
图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有．
∵，的斜率分别是，且，∴．
∴． ∴，即．
反过来，若，即．
不失一般性，设，则，即，
∴．
在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为：
与垂直的充要条件： ；
【注意】斜率法：
和垂直；
三、两直线重合
在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为：
与重合的充要条件：存在，使得，，且
四、两直线相交
在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为：
与相交的充要条件： ；
在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为：
则与的法向量为： ，；若夹角为；
所以，；
【注意】还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否？
两直线的位置关系的判断方法：直线.
（1）向量法：
和相交；
和平行；
和重合.
（2）斜率法：
和相交；
和平行；
和重合.
注；应用此法的前提是两直线斜率均存在；
五.两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离．
3．两条平行直线间的距离公式的推导
对于两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）．
在直线上任取一点，则点到的距离即为与之间的距离，则．
∵点在直线上，∴，即．
∴两条平行直线， （其中A与B不同时为0，且）之间的距离为．
六．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法．
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0，
①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0；
②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0；
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；
④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0．
两条直线的平行关系（共7小题）
1、已知直线方程l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0，则l1与l2的关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交 D．以上答案都不对
2、设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3.（2023春·上海市控江中学高一下期末） 已知常数，直线：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.（2023春·上海市崇明·一模）已知方程组无解，则实数的值等于 .
5.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________.
6．（2021秋•嘉定区校级期末）已知直线l1：（a﹣3）x+（4﹣a）y+1＝0与l2：2（a﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则a＝ ．
7．（2022·上海海洋大学附属大团高级中学高三阶段练习）已知直线，，若，则的值是___________.
两条直线的垂直关系（共4小题）
1.（2023春·上海市徐汇区·三模）已知直线，，若，则 .
2.（2023春·上海市长宁区·三模）已知直线和，若，则 .
3．（2022秋•宝山区校级期中）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
4.（2023春上海市·模拟预测）已知直线，若，则实数a的值是 ．
5．（2022·上海市向明中学高二期末）已知两直线，，若，则实数______．
三、两条直线的相交关系（共4小题）
1.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是______．
2.（2023春上海市·嘉定·一模）直线与直线的夹角大小为 .
3.（2023秋·上海市嘉定区·阶段练习）直线与直线的夹角的正弦值为 .
4．（2020·上海市行知中学高二期中）已知直线，过点的直线与直线夹角为，则直线的直线方程是_________.
四、两条平行直线间的距离（共7小题）
1．（2022秋•虹口区期中）已知m∈R，直线l1：x﹣y+7＝0，l2：mx+y﹣1＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 ．
2．（2022秋•杨浦区校级期中）已知平行直线l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y+4＝0，则l₁，l₂的距离为 ．
3．（2022•徐汇区校级开学）已知直线l1：3x+ay+1＝0，l2：（a+2）x+y+a＝0，当l1∥l2时，则直线l1与l2之间的距离是 ．
4．（2022春•杨浦区校级期中）设m∈R，已知直线l1：（m+1）x+my+2﹣m＝0，过点（1，2）作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是 ．
5．（2022春•杨浦区校级期中）若直线l1：ax+2y+a﹣1＝0与直线l2：2x+ay+3﹣a＝0平行，则l1与l2之间的距离为 ．
6．（2022春•嘉定区校级月考）两条平行直线l1：12x﹣my+m＝0，l2：4x﹣3y﹣1＝0之间的距离为 ．
7．（2022秋•虹口区校级月考）已知两条直线l1：ax+3y﹣3＝0.1，l2：2x+6y+1＝0，若l1∥l2，则直线l1与l2之间的距离d＝ ．
五．直线关于直线对称（共1小题）
1.（2023·上海市静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
六．两直线位置关系的综合应用（共3小题）
1.（2023秋上海市·浦东新区·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为 .
2．（2022·上海·高三专题练习）已知，，求当为何值时，与相交、平行或重合．
3.（2023春·上海市控江中学高一下期末）已知直线：.
（1）若直线：求直线与直线的夹角；
（2）若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程.
一、填空题
1、已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为
2、过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是
3、若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.
4、直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为______________．
5、直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直；则数a的取值为
6、与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是
7、过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是
8、经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为
9、已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．
10.（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）已知直线l1:(m+3)x+5y=5−3m，l2:2x+(m+6)y=8，若l1//l2，则m的值是___________.
11.（2022春·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）已知直线l1:x+my−2=0与直线l2:m−2x+3my+2m=0互相垂直，则实数m的值为__________.
12．（2022秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知线段PQ两端点的坐标分别为P(−1,1)和Q(2,2)，若直线l恒过(0,−1)，且与线段PQ有交点，则l的斜率k的取值范围是_____．
二、单选题
13、已知则夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
14、设a，b，c分别是△ABC中内角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直
15.（2023春·上海市黄浦区·二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
16.（2023春·上海市松江区·二模）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
三、解答题
17、若三条直线l1：7x－y－9＝0，l2：x＋y－7＝0，l3：x＋my－27＝0不能围成三角形，求实数m的值．
18、已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
19．（2022秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）已知直线l1:2x+y−3=0.
(1)若直线l2与直线l1垂直，且过点1,1，求直线l2的方程；
(2)若直线l3与直线l1平行，且过点1,1，求直线l3的方程.
20、根据下列条件，分别求直线方程：
（1）经过点A(3,0)且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程；
（2）经过直线x－y－1＝0与2x＋y－2＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程；
21、已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
（1）点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线方程；
22.（2022春·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD的顶点A0,2和C4,6,AB所在直线的方程为x+2y−4=0.
(1)求对角线BD所在直线方程；
(2)已知直线l过点P2,1，与直线AB的夹角为arccs55，求直线l的方程.
（以上所求方程都以直线的一般式方程作答）
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