【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 高一下开学考试卷（测试范围：三角）-练习.zip

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一．填空题（共12小题）
1．（2021春•奉贤区期中）角可以换算成 弧度．
【分析】利用等于弧度，计算即可．
【解答】解：，
所以可以换算成弧度．
故答案为：．
【点评】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，是基础题．
2．的值为 ．
【分析】直接利用二倍角公式以及诱导公式化简求解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
3．已知，，则 ．
【分析】根据同角的三角函数关系式以及余弦函数的倍角公式即可得到结论．
【解答】解：，，
平方得，
即，
，，
则，
解得，
，，
，
，
，，
则，
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据同角的三角函数关系式以及余弦函数的倍角公式是解决本题的关键．
4．（2021•黄浦区开学）若，则 ．
【分析】由两角和及两角差的余弦公式展开整理，可得代数式的值．
【解答】解：因为，
又因为
；
故答案为：．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式及两角和，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
5．（2021秋•石首市校级月考）已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为 4 ．
【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为，
由于弧度，可得，
由于扇形的周长为，
所以，解得，弧长，
所以扇形的面积为．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（2022•奉贤区校级开学）已知，则 ．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解：，
两边平方可得：，
，则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7．（2021•黄浦区开学）在中，若，则 ．
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：中，，
，
又，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
8．（2023•汉滨区校级模拟）已知，若，则的最小值为 ．
【分析】根据题意，利用同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式，将已知等式化简整理，可得，进而得到，然后利用二次函数的性质，求出的最小值．
【解答】解：根据题意，可得：
，
由，可知，因此，
所以，
即，可得，整理得．
因为，，所以，，
所以，
而，故，可得的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式、二次函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
9．（2022春•诏安县校级期中）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ，， ．
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：在中，，，
则，即，
，，，
则角为钝角或角为钝角，
若角是钝角，
则，即，
故，
若角是钝角，
则，即，解得．
综上所述，的取值范围是，，．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
10．（2022春•郑州期中）如图所示，在平面四边形中，已知，，，，则的最大值为 56 ．
【分析】由余弦定量求得，再由余弦定理表示出，的关系，然后结合基本不等式得最大值．
【解答】解：中，，
中，由，得，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为56．
故答案为：56．
【点评】本题考查余弦定理在三角形中的应用，属中档题．
11．（2021•焦作模拟）已知的内角，，的对边分别为，，．若，则的最小值为 ．
【分析】由已知结合二倍角公式及正弦余弦定理进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，，
则，
所以，当且仅当时取等号，
故，即最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．
12．（2021•黄浦区开学）在中，若存在△，满足，则称△是的一个“友好三角形”，若等腰三角形存在“友好三角形”，则其顶角大小为 ．
【分析】设等腰三角形中，，由新定义可得，，，，则，再结合诱导公式化简求值即可．
【解答】解：不妨设等腰三角形中，，且，均为锐角，
由已知可得，，，，
则，且，均为锐角，
所以（舍，或，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题以新定义为载体，考查三角函数的化简求值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题）
13．（2022•奉贤区校级开学）下列终边相同的角是
A．与，B．与，
C．与，D．与，
【分析】根据奇数与偶数的表示法即可得出．
【解答】解：与都表示奇数，
与，表示终边相同的角．
故选：．
【点评】本题考查了奇数与偶数的表示法、终边相同的角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（2020秋•凤凰县校级月考）已知为锐角的内角，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．充要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】锐角三角形内角的范围，通过与的关系，由充要条件的定义判断即可．
【解答】解：为锐角的内角，则，
，所以；，成立；
所以为锐角的内角，则“”是“”的充分必要条件．
故选：．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，训练掌握三角形内角的正弦函数值与角的对应关系，属于基础题．
15．（2021•黄浦区开学）在中，已知，则下列结论正确的为
A．B．
C．D．
【分析】根据，化简可得，再逐项分析即可得到答案．
【解答】解：，
，
又，
，即，
，
对于，，不一定等于1，选项错误；
对于，，当时等号成立，选项错误，
对于，，不一定等于1，选项错误；
对于，，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（2021•黄浦区开学）在中，内角、、所对边边长分别为、、，若，则的大小是
A．B．C．D．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得的值，可得：，，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得，解得，分类讨论可求的值．
【解答】解：，
由正弦定理可得：，分
，可得：，分
可得：，，
，
，分
解得：，或，分
当，舍去；
当，，
当，则，则，，矛盾，
综上，．分
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．
三．解答题（共5小题）
17．已知，且，，求与．
【分析】由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为，可得，
又，，
所以，
所以，
，
所以．
【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（2021•黄浦区开学）已知，均为锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】根据平方关系和是锐角即可得出，再利用基本关系式即可得出，利用两角和的正切公式即可得出，利用基本关系式可得，，利用两角和的余弦公式展开即可得出．
【解答】解：（1）法一，，，．
，解得．
联立，解得．
．
法二：令，那么，
由得：
（2）由（1）可得．
【点评】本题中考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．
19．（2021•黄浦区开学）在中，、、分别为角、、所对应的边，已知，，．
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的值．
【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理可求得的值；
（2）根据平方关系求得，再根据商数关系得解．
【解答】解：（1）由余弦定理可得，，
，
由正弦定理可得，，则；
（2），且为钝角，
，
．
【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的运用以及同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（2022•闵行区校级开学）在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点．
（1）已知点，将绕原点顺时针旋转到，求点的坐标；
（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
（3）若，两点的纵坐标分别为正数，，且，求的最大值．
【分析】（1）设，，可得，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解；
（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，即可求得的值；
（3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式求得的最大值．
【解答】解：（1）点，将绕原点顺时针旋转到，
设，，所以，
可得，
，
的坐标为，．
（2）角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，
，且，求得，则，，
则．
（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设在第一象限，则在第二象限，
根据题意可得、，且，，
，，
，
即，
平方可得，，当且仅当时，取等号．
，当且仅当时，取等号，
故当时，取得最大值为．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，两角和差的三角公式，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（2022•闵行区校级开学）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点、、，并且，，（如图，游客要在内喂鱼，希望面积越大越好．设（米，用表示面积，并求出的最大值；
（2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在、、上取点、、，建造正走廊（不考虑宽度）（如图，游客希望周长越小越好．设，用表示的周长，并求出的最小值．
【分析】（1）通过三角形，求出，设，，求出，，表示出三角形的面积，利用二次函数求出最值．
（2）设边长为，，，利用正弦定理求出的表达式，求出的最小值，的最小值．
【解答】解：（1）直角三角形，，米，米
．
，
，，
设，，，，
，，，
，
当时，；
（2）设边长为，，，
，，，
在三角形中，，
．
的最小值为，
的最小值是．
【点评】本题考查三角形的面积的求法，三角函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力．