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江苏版高考物理一轮复习第5章素养6变力做功的分析与计算课时学案
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这是一份江苏版高考物理一轮复习第5章素养6变力做功的分析与计算课时学案，文件包含核心素养部编版语文三年级下册-2燕子第2课时课件pptx、核心素养部编版语文三年级下册-2燕子第2课时教学设计含反思docx、核心素养部编版语文三年级下册-2燕子第2课时分层作业含答案docx、核心素养部编版语文三年级下册-2燕子第2课时导学案docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共46页， 欢迎下载使用。
(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。
[解析] (1)将圆弧eq \x\t(AB)分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°、W2＝Fl2cs 37°…Wn＝Flncs 37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·eq \f(1,6)·2πR≈376.8 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cs 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。
[答案] (1)376.8 J (2)－136.8 J
[即时训练]
1．(图像法)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
甲 乙
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
A [物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图像与坐标轴围成的面积表示F做的功可知，物块运动至x＝0.4 m处时F做的功W＝3.5 J，而此过程物块克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知W－Wf＝Ep，则此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。]
2．(微元法)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法不正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－eq \f(1,2)F阻πL
C [如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影L，所以WG＝mgL，故A正确；因为拉力FT在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WFT＝0，故B正确；F阻所做的总功等于每个小弧段上F阻所做功的代数和，即WF阻＝－(F阻Δx1＋F阻Δx2＋…)＝－eq \f(1,2)F阻πL，故C错误，D正确。]
3．(平均值法求变力做功)(2023·天一中学期末)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(eq \r(3)－1)d B．(eq \r(2)－1)d
C.eq \f(\r(5)－1d,2) D．eq \f(\r(2),2)d
B [铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝eq \x\t(F)1d＝eq \f(kd,2)d①
W＝eq \x\t(F)2d′＝eq \f(kd＋kd＋d′,2)d′②
联立①②式解得d′＝(eq \r(2)－1)d，故选B。]
4．(等效转化法)人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°。当人匀速提起物体由A点沿水平方向运动L＝2 m而到达B点时，绳与水平方向成30°角。则人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
[解析] 人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F＝mg，而物体上升的高度等于滑轮右侧绳子的伸长量ΔL，设定滑轮的高度为h，由几何关系易得L＝eq \f(h,tan 30°)－eq \f(h,tan 60°)
可得ΔL＝eq \f(h,sin 30°)－eq \f(h,sin 60°)
解得ΔL≈1.46 m
人对绳子做的功为：W＝mgΔL＝500×1.46 J＝730 J。
[答案] 730 J
课时分层作业(十四) 功和功率
(对应学生用书第419页)
题组一 功的分析与计算
1．如图所示，两箱相同的货物，现要用电梯将它们从一楼运到二楼，其中图甲是利用扶梯台式电梯运送货物，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速地运送货物，下列关于两电梯在运送货物时说法正确的是 ( )
甲 乙
A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功
B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功
C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功
D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功
D [在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，选项C错误；题图乙中，货物受到的支持力与履带式自动电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，故选项A、B错误，D正确。]
2.如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离a、b分别为0.9 m 和0.6 m。若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率约为(g取10 m/s2)( )
A．430 J,7 W B．4 300 J,70 W
C．720 J,12 W D．7 200 J,120 W
B [设重心上升的高度为h，根据相似三角形可知，每次俯卧撑中，有eq \f(h,0.4)＝eq \f(0.9,0.9＋0.6)，即h＝0.24 m。一次俯卧撑中，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以一分钟内克服重力做的总功为W总＝NW＝4 320 J，功率P＝eq \f(W总,t)＝72 W，故选项B正确。]
题组二 功率的分析与计算
3.(2022·如东高级中学一模)如图所示，小物块甲从竖直固定的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
D [两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gR)，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，重力对甲做功的瞬时功率为零，重力对乙做功的瞬时功率大于零，D正确。]
4．(2022·浙江6月选考)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m 的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5 m/s2 的匀减速运动，到达平台时速度刚好为零，则提升重物的最短时间为( )
A．13.2 s B．14.2 s
C．15.5 s D．17.0 s
C [以最大加速度向上匀加速到匀加速能达到的最大速度，功率达到额定功率时，保持功率不变达到最大速度，最后以最大加速度做匀减速运动减速到零所需时间最短。重物向上提升的最大加速度a1＝eq \f(F－mg,m)＝5 m/s2，匀加速过程的最大速度v＝eq \f(P,F)＝4 m/s，匀加速上升的时间为t1＝eq \f(v,a1)＝0.8 s，匀加速上升的高度h1＝1.6 m；重物能达到的最大速度为vm＝eq \f(P,mg)＝6 m/s，以最大加速度减速上升的时间t2＝eq \f(vm,a2)＝1.2 s，上升高度为h2＝3.6 m；则以恒功率上升的高度h3＝80 m，恒功率上升过程有Pt3＝mgh3＋eq \f(1,2)m(veq \\al(2,m)－v2)，解得t3＝13.5 s，则提升重物的最短时间为t＝t1＋t2＋t3＝15.5 s，C正确。]
5.(2023·江苏东海高中高考模拟)如图所示，从某高度以初速度v0水平抛出一个质量为m的小球，在小球未落地的过程中，其速度v、速度变化量Δv、重力的功率P和重力的功W与时间t的关系图像，正确的是( )
A B C D
C [小球t时刻的速度为v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，由数学知识知，t＝0时，v≠0，所以v-t图像不过原点，故A错误；由Δv＝at＝gt分析可知，Δv-t图像是过原点的直线，故B错误；重力的功率P＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，P与t成正比，P-t图像是过原点的直线，故C正确；重力的功W＝mgh＝mg·eq \f(1,2)gt2，W-t是过原点的开口向上的抛物线，故D错误。]
题组三 机车启动问题
6．水平路面上的汽车以恒定功率P做加速运动，所受阻力恒定，经过时间t，汽车的速度刚好达到最大，在t时间内( )
A．汽车做匀加速直线运动
B．汽车加速度越来越大
C．汽车克服阻力做的功等于Pt
D．汽车克服阻力做的功小于Pt
D [根据P＝Fv知，随着速度增大牵引力减小，根据牛顿第二定律得a＝eq \f(F－Ff,m)，加速度减小，故A、B错误；牵引力做功W＝Pt，根据动能定理知，克服阻力做的功小于牵引力做的功，即小于Pt，故C错误，D正确。]
7．(2023·苏州中学模拟)提高物体(例如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与物体运动速率的平方成正比，即Ff＝kv2，k是阻力因数)。当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动的速率增大到2vm，则下列办法可行的是 ( )
A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0
B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到eq \f(k,4)
C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0
D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到eq \f(k,16)
C [物体匀速运动时，牵引力与阻力相等，由P＝Fvm＝Ffvm＝kveq \\al(3,m)，要使物体运动的速率增大到2vm，阻力因数不变时，需使发动机额定功率增大到8P0，故A错误，C正确；发动机额定功率不变时，需使阻力因数减小到eq \f(k,8)，故B、D错误。]
8．一辆CRH2型动车组的总质量M＝2.0×105 kg，额定输出功率为4 800 kW。假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为270 km/h，受到的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．该动车组以最大速度行驶时的牵引力为6.4×104 N
B．从题中给出的数据可算出k＝1.0×103 N·s/m
C．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组受到的阻力为1.6×104 N
D．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为2 400 kW
A [最大速度为vm＝270 km/h＝75 m/s，根据P＝Fv，得该动车组以最大速度行驶时的牵引力为F＝eq \f(P,vm)＝eq \f(4 800×103,75) N＝6.4×104 N，故A正确；当牵引力与阻力相等时，速度达到最大，则有F＝Ff＝kvm，解得k＝eq \f(F,vm)＝eq \f(6.4×104,75) N·s/m＝853.3 N·s/m，故B错误；当匀速行驶的速度为v＝eq \f(vm,2)时，则有F′f＝kv＝853.3×eq \f(75,2) N＝3.2×104 N，此时牵引力F′＝F′f＝3.2×104 N，动车组输出功率P′＝F′v＝3.2×104×eq \f(75,2) W＝1 200 kW，故C、D错误。]
9.一辆汽车从t＝0时刻开始，以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，至t时刻牵引力做的功为W，其eq \f(W,t)-t图像如图所示，则由图像可知( )
A．t＝1 s时汽车发动机的输出功率为20 kW
B．汽车牵引力大小为5×103 N
C．汽车加速度大小为8 m/s2
D．1～2 s内牵引力做的功为2.5×104 J
B [汽车以v0＝2 m/s的初速度做匀加速直线运动，时间t内牵引力做的功W＝Fx＝F×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0t＋\f(1,2)at2))＝Fv0t＋eq \f(1,2)Fat2，则eq \f(W,t)＝eq \f(1,2)Fat＋Fv0，由图像可得纵轴截距Fv0＝1×104 J/s，解得牵引力F＝5×103 N，选项B正确；图线斜率为eq \f(1,2)Fa＝eq \f(3－1,2)×104 J/s2，解得加速度a＝4 m/s2，选项C错误；t＝1 s 时汽车的速度为v1＝v0＋at1＝6 m/s，此时发动机的输出功率为P＝Fv1＝3.0×104 W，选项A错误；1～2 s内汽车的位移为x＝v1t2＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)＝8 m，1～2 s 内牵引力做的功为W＝Fx＝4.0×104 J，选项D错误。]
10．(2023·苏州市调研)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
A [在0-t1时间内，如果匀速，则v-t图像是与时间轴平行的直线；如果是加速，根据P＝Fv，牵引力减小；根据F－Ff＝ma，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即F1＝Ff，汽车开始做匀速直线运动，此时速度v1＝eq \f(P1,F1)＝eq \f(P1,Ff)；所以0～t1时间内，v-t图像先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线；在t1～t2时间内，功率突然增加，故牵引力突然增加，是加速运动，根据P＝Fv，牵引力减小；再根据F－Ff＝ma，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即F2＝Ff，汽车开始做匀速直线运动，此时速度v2＝eq \f(P2,F2)＝eq \f(P2,Ff)。所以在t1～t2时间内，即v-t图像也先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线，A正确。]
11.如图所示，固定在水平面上的斜面倾角为θ＝30°，物体P和Q叠放在斜面上，一起由静止开始沿斜面下滑。已知P与斜面间动摩擦因数为μ1＝eq \f(\r(3),9)，P与Q间动摩擦因数为μ2＝eq \f(\r(3),6)，P和Q质量分别为2m和m，重力加速度为g。求：
(1)经过时间t，重力对P做功的瞬时功率；
(2)经过时间t，物体P对Q的摩擦力所做的功。
[解析] (1)因为μl<μ2，所以P、Q一起下滑，对P、Q应用牛顿第二定律可知P、Q沿斜面下滑的加速度a＝gsin θ－μ1gcs θ
应用速度公式可知经过时间t，P、Q的速度为v＝at
又P＝Fv
可知重力对P做功的功率为PG＝(2mgsin θ)v
解得PG＝eq \f(1,3)mg2t。
(2)在时间t内P运动位移x＝eq \f(1,2)at2
对Q，应用牛顿第二定律有mgsin θ－Ff＝ma
摩擦力对Q做功为W＝－Ffx
解得W＝－eq \f(1,36)mg2t2。
[答案] (1)eq \f(1,3)mg2t (2)－eq \f(1,36)mg2t2
12.在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的F-eq \f(1,v)图像(图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BC均为直线)。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线ABC，求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移大小。
[解析] (1)图线AB表示牵引力F不变，即F＝8 000 N，阻力Ff不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽车做匀速直线运动。
由题图可知：当达到最大速度vmax＝40 m/s时，牵引力为Fmin＝2 000 N
由平衡条件Ff＝Fmin可得Ff＝2 000 N
由公式P＝Fminvmax 得额定功率P＝8×104 W。
(2)匀加速运动的末速度vB＝eq \f(P,F)，代入数据解得
vB＝10 m/s
汽车由A到B做匀加速运动的加速度为
a＝eq \f(F－Ff,m)＝2 m/s2
设汽车由A到B所用时间为t1，由B到C所用时间为t2、位移为x，则t1＝eq \f(vB,a)＝5 s，t2＝35 s－5 s＝30 s
B点之后，对汽车由动能定理可得Pt2－Ffx＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，代入数据可得x＝75 m。
[答案] (1)8×104 W (2)75 m
13．(2023·昆山模拟)质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间。
[解析] (1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s。
(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，
则有P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s。
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)，在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s。
[答案] (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
方法
举例说明
对应图
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl·(1－cs θ)＝0，得WF＝mgl(1－cs θ)
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝Ff·2πR
功率法
汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中，牵引力做功WF＝Pt
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,sin α)－\f(h,sin β)))
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力做功W＝eq \x\t(F)(x2－x1)
图像法
一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
(1)拉力F做的功；
(2)桥面对物块的摩擦力做的功。
[解析] (1)将圆弧eq \x\t(AB)分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cs 37°、W2＝Fl2cs 37°…Wn＝Flncs 37°，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcs 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcs 37°·eq \f(1,6)·2πR≈376.8 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cs 60°)＝－240 J，因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知WF＋WG＋Wf＝0
所以Wf＝－WF－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J。
[答案] (1)376.8 J (2)－136.8 J
[即时训练]
1．(图像法)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4 m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
甲 乙
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
A [物块与水平面间的摩擦力为Ff＝μmg＝1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图像与坐标轴围成的面积表示F做的功可知，物块运动至x＝0.4 m处时F做的功W＝3.5 J，而此过程物块克服摩擦力做功Wf＝Ffx＝0.4 J。由功能关系可知W－Wf＝Ep，则此时弹簧的弹性势能为Ep＝3.1 J，选项A正确。]
2．(微元法)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法不正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－eq \f(1,2)F阻πL
C [如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影L，所以WG＝mgL，故A正确；因为拉力FT在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WFT＝0，故B正确；F阻所做的总功等于每个小弧段上F阻所做功的代数和，即WF阻＝－(F阻Δx1＋F阻Δx2＋…)＝－eq \f(1,2)F阻πL，故C错误，D正确。]
3．(平均值法求变力做功)(2023·天一中学期末)用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为( )
A．(eq \r(3)－1)d B．(eq \r(2)－1)d
C.eq \f(\r(5)－1d,2) D．eq \f(\r(2),2)d
B [铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W＝eq \x\t(F)1d＝eq \f(kd,2)d①
W＝eq \x\t(F)2d′＝eq \f(kd＋kd＋d′,2)d′②
联立①②式解得d′＝(eq \r(2)－1)d，故选B。]
4．(等效转化法)人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图所示，开始时绳与水平方向的夹角为60°。当人匀速提起物体由A点沿水平方向运动L＝2 m而到达B点时，绳与水平方向成30°角。则人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
[解析] 人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，而由于匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F＝mg，而物体上升的高度等于滑轮右侧绳子的伸长量ΔL，设定滑轮的高度为h，由几何关系易得L＝eq \f(h,tan 30°)－eq \f(h,tan 60°)
可得ΔL＝eq \f(h,sin 30°)－eq \f(h,sin 60°)
解得ΔL≈1.46 m
人对绳子做的功为：W＝mgΔL＝500×1.46 J＝730 J。
[答案] 730 J
课时分层作业(十四) 功和功率
(对应学生用书第419页)
题组一 功的分析与计算
1．如图所示，两箱相同的货物，现要用电梯将它们从一楼运到二楼，其中图甲是利用扶梯台式电梯运送货物，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速地运送货物，下列关于两电梯在运送货物时说法正确的是 ( )
甲 乙
A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功
B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功
C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功
D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功
D [在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，选项C错误；题图乙中，货物受到的支持力与履带式自动电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，故选项A、B错误，D正确。]
2.如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离a、b分别为0.9 m 和0.6 m。若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率约为(g取10 m/s2)( )
A．430 J,7 W B．4 300 J,70 W
C．720 J,12 W D．7 200 J,120 W
B [设重心上升的高度为h，根据相似三角形可知，每次俯卧撑中，有eq \f(h,0.4)＝eq \f(0.9,0.9＋0.6)，即h＝0.24 m。一次俯卧撑中，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以一分钟内克服重力做的总功为W总＝NW＝4 320 J，功率P＝eq \f(W总,t)＝72 W，故选项B正确。]
题组二 功率的分析与计算
3.(2022·如东高级中学一模)如图所示，小物块甲从竖直固定的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，重力对乙做功的瞬时功率大于重力对甲做功的瞬时功率
D [两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gR)，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，重力对甲做功的瞬时功率为零，重力对乙做功的瞬时功率大于零，D正确。]
4．(2022·浙江6月选考)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为300 N的提升装置，把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m 的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5 m/s2 的匀减速运动，到达平台时速度刚好为零，则提升重物的最短时间为( )
A．13.2 s B．14.2 s
C．15.5 s D．17.0 s
C [以最大加速度向上匀加速到匀加速能达到的最大速度，功率达到额定功率时，保持功率不变达到最大速度，最后以最大加速度做匀减速运动减速到零所需时间最短。重物向上提升的最大加速度a1＝eq \f(F－mg,m)＝5 m/s2，匀加速过程的最大速度v＝eq \f(P,F)＝4 m/s，匀加速上升的时间为t1＝eq \f(v,a1)＝0.8 s，匀加速上升的高度h1＝1.6 m；重物能达到的最大速度为vm＝eq \f(P,mg)＝6 m/s，以最大加速度减速上升的时间t2＝eq \f(vm,a2)＝1.2 s，上升高度为h2＝3.6 m；则以恒功率上升的高度h3＝80 m，恒功率上升过程有Pt3＝mgh3＋eq \f(1,2)m(veq \\al(2,m)－v2)，解得t3＝13.5 s，则提升重物的最短时间为t＝t1＋t2＋t3＝15.5 s，C正确。]
5.(2023·江苏东海高中高考模拟)如图所示，从某高度以初速度v0水平抛出一个质量为m的小球，在小球未落地的过程中，其速度v、速度变化量Δv、重力的功率P和重力的功W与时间t的关系图像，正确的是( )
A B C D
C [小球t时刻的速度为v＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \r(v\\al(2,0)＋gt2)，由数学知识知，t＝0时，v≠0，所以v-t图像不过原点，故A错误；由Δv＝at＝gt分析可知，Δv-t图像是过原点的直线，故B错误；重力的功率P＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，P与t成正比，P-t图像是过原点的直线，故C正确；重力的功W＝mgh＝mg·eq \f(1,2)gt2，W-t是过原点的开口向上的抛物线，故D错误。]
题组三 机车启动问题
6．水平路面上的汽车以恒定功率P做加速运动，所受阻力恒定，经过时间t，汽车的速度刚好达到最大，在t时间内( )
A．汽车做匀加速直线运动
B．汽车加速度越来越大
C．汽车克服阻力做的功等于Pt
D．汽车克服阻力做的功小于Pt
D [根据P＝Fv知，随着速度增大牵引力减小，根据牛顿第二定律得a＝eq \f(F－Ff,m)，加速度减小，故A、B错误；牵引力做功W＝Pt，根据动能定理知，克服阻力做的功小于牵引力做的功，即小于Pt，故C错误，D正确。]
7．(2023·苏州中学模拟)提高物体(例如汽车)运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减小阻力因数(设阻力与物体运动速率的平方成正比，即Ff＝kv2，k是阻力因数)。当发动机的额定功率为P0时，物体运动的最大速率为vm，如果要使物体运动的速率增大到2vm，则下列办法可行的是 ( )
A．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到2P0
B．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到eq \f(k,4)
C．阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0
D．发动机额定功率不变，使阻力因数减小到eq \f(k,16)
C [物体匀速运动时，牵引力与阻力相等，由P＝Fvm＝Ffvm＝kveq \\al(3,m)，要使物体运动的速率增大到2vm，阻力因数不变时，需使发动机额定功率增大到8P0，故A错误，C正确；发动机额定功率不变时，需使阻力因数减小到eq \f(k,8)，故B、D错误。]
8．一辆CRH2型动车组的总质量M＝2.0×105 kg，额定输出功率为4 800 kW。假设该动车组在水平轨道上运动时的最大速度为270 km/h，受到的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv，g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．该动车组以最大速度行驶时的牵引力为6.4×104 N
B．从题中给出的数据可算出k＝1.0×103 N·s/m
C．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组受到的阻力为1.6×104 N
D．当匀速行驶的速度为最大速度一半时，动车组的输出功率为2 400 kW
A [最大速度为vm＝270 km/h＝75 m/s，根据P＝Fv，得该动车组以最大速度行驶时的牵引力为F＝eq \f(P,vm)＝eq \f(4 800×103,75) N＝6.4×104 N，故A正确；当牵引力与阻力相等时，速度达到最大，则有F＝Ff＝kvm，解得k＝eq \f(F,vm)＝eq \f(6.4×104,75) N·s/m＝853.3 N·s/m，故B错误；当匀速行驶的速度为v＝eq \f(vm,2)时，则有F′f＝kv＝853.3×eq \f(75,2) N＝3.2×104 N，此时牵引力F′＝F′f＝3.2×104 N，动车组输出功率P′＝F′v＝3.2×104×eq \f(75,2) W＝1 200 kW，故C、D错误。]
9.一辆汽车从t＝0时刻开始，以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，至t时刻牵引力做的功为W，其eq \f(W,t)-t图像如图所示，则由图像可知( )
A．t＝1 s时汽车发动机的输出功率为20 kW
B．汽车牵引力大小为5×103 N
C．汽车加速度大小为8 m/s2
D．1～2 s内牵引力做的功为2.5×104 J
B [汽车以v0＝2 m/s的初速度做匀加速直线运动，时间t内牵引力做的功W＝Fx＝F×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v0t＋\f(1,2)at2))＝Fv0t＋eq \f(1,2)Fat2，则eq \f(W,t)＝eq \f(1,2)Fat＋Fv0，由图像可得纵轴截距Fv0＝1×104 J/s，解得牵引力F＝5×103 N，选项B正确；图线斜率为eq \f(1,2)Fa＝eq \f(3－1,2)×104 J/s2，解得加速度a＝4 m/s2，选项C错误；t＝1 s 时汽车的速度为v1＝v0＋at1＝6 m/s，此时发动机的输出功率为P＝Fv1＝3.0×104 W，选项A错误；1～2 s内汽车的位移为x＝v1t2＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)＝8 m，1～2 s 内牵引力做的功为W＝Fx＝4.0×104 J，选项D错误。]
10．(2023·苏州市调研)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变。下列描述该汽车的速度随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
A [在0-t1时间内，如果匀速，则v-t图像是与时间轴平行的直线；如果是加速，根据P＝Fv，牵引力减小；根据F－Ff＝ma，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即F1＝Ff，汽车开始做匀速直线运动，此时速度v1＝eq \f(P1,F1)＝eq \f(P1,Ff)；所以0～t1时间内，v-t图像先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线；在t1～t2时间内，功率突然增加，故牵引力突然增加，是加速运动，根据P＝Fv，牵引力减小；再根据F－Ff＝ma，加速度减小，是加速度减小的加速运动，当加速度为0时，即F2＝Ff，汽车开始做匀速直线运动，此时速度v2＝eq \f(P2,F2)＝eq \f(P2,Ff)。所以在t1～t2时间内，即v-t图像也先是平滑的曲线，后是平行于横轴的直线，A正确。]
11.如图所示，固定在水平面上的斜面倾角为θ＝30°，物体P和Q叠放在斜面上，一起由静止开始沿斜面下滑。已知P与斜面间动摩擦因数为μ1＝eq \f(\r(3),9)，P与Q间动摩擦因数为μ2＝eq \f(\r(3),6)，P和Q质量分别为2m和m，重力加速度为g。求：
(1)经过时间t，重力对P做功的瞬时功率；
(2)经过时间t，物体P对Q的摩擦力所做的功。
[解析] (1)因为μl<μ2，所以P、Q一起下滑，对P、Q应用牛顿第二定律可知P、Q沿斜面下滑的加速度a＝gsin θ－μ1gcs θ
应用速度公式可知经过时间t，P、Q的速度为v＝at
又P＝Fv
可知重力对P做功的功率为PG＝(2mgsin θ)v
解得PG＝eq \f(1,3)mg2t。
(2)在时间t内P运动位移x＝eq \f(1,2)at2
对Q，应用牛顿第二定律有mgsin θ－Ff＝ma
摩擦力对Q做功为W＝－Ffx
解得W＝－eq \f(1,36)mg2t2。
[答案] (1)eq \f(1,3)mg2t (2)－eq \f(1,36)mg2t2
12.在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103 kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的F-eq \f(1,v)图像(图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BC均为直线)。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线ABC，求：
(1)该汽车的额定功率；
(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s达到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移大小。
[解析] (1)图线AB表示牵引力F不变，即F＝8 000 N，阻力Ff不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s，此后汽车做匀速直线运动。
由题图可知：当达到最大速度vmax＝40 m/s时，牵引力为Fmin＝2 000 N
由平衡条件Ff＝Fmin可得Ff＝2 000 N
由公式P＝Fminvmax 得额定功率P＝8×104 W。
(2)匀加速运动的末速度vB＝eq \f(P,F)，代入数据解得
vB＝10 m/s
汽车由A到B做匀加速运动的加速度为
a＝eq \f(F－Ff,m)＝2 m/s2
设汽车由A到B所用时间为t1，由B到C所用时间为t2、位移为x，则t1＝eq \f(vB,a)＝5 s，t2＝35 s－5 s＝30 s
B点之后，对汽车由动能定理可得Pt2－Ffx＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，代入数据可得x＝75 m。
[答案] (1)8×104 W (2)75 m
13．(2023·昆山模拟)质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间。
[解析] (1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s。
(2)当达到最大速度vm时，加速度为零，
则有P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s。
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)，在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2≈15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s。
[答案] (1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
方法
举例说明
对应图
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgl·(1－cs θ)＝0，得WF＝mgl(1－cs θ)
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3…)＝Ff·2πR
功率法
汽车以恒定功率P在水平路面上运动t时间的过程中，牵引力做功WF＝Pt
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,sin α)－\f(h,sin β)))
平均
力法
弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中(在弹性限度内)，克服弹力做功W＝eq \x\t(F)(x2－x1)
图像法
一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0
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