2022-2023学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(2i)2=( )
A. −1B. −2C. −4D. 4
2.已知A(3,2)，B(−5,−1)，若AC=CB，则点C的坐标为( )
A. (−1,12)B. (−1,32)C. (1,12)D. (1,32)
3.在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1C1与BD所成角的大小为( )
A. 120∘
B. 90∘
C. 60∘
D. 45∘
4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是( )
A. “都是白球”与“至少有一个白球”B. “恰有一个白球”与“都是红球”
C. “都是白球”与“都是红球”D. “至少有一个白球”与“都是红球”
5.已知两条不同的直线a，b和平面α，若a⊥α，则“b⊥α”是“a//b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0、|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(π6)=( )
A. 32B. − 22C. 0D. 22
8.已知数据x1，x2，x3…，xn的平均数为x−，方差为s2，在这组数据中加入一个数x−后得到一组新数据，其平均数为x−′，方差为s′2，则( )
A. x−′>x−B. s′2>s2C. x−′9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术⋅商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱(堑堵).如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
10.设M为平面四边形ABCD所在平面内的一点，MA=a，MB=b，MC=c，MD=d.若a+c=b+d且a⋅c=b⋅d，则平面四边形ABCD一定是( )
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，复数z=1+i对应的点为Z，则|OZ|=______
12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了______ 人.
13.在△ABC中，a=8，b=7，c=3，则∠B=______ ；tan(A+C)=______ .
14.把函数f(x)=sin(2x+π3)图象上的所有点向右平行移动π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)的一个对称中心坐标为______ .
15.如图，在△ABC中，设AB=4，BC=a，∠B的平分线和AC交于D点，点E在线段BC上，且满足BE：EC=3：2，设AE=k1AB+k2AC(k1,k2∈R)，则k1+k2=______ ；当a=______ 时，DE//AB.
16.如图1，四棱锥P−ABCD是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器(容器材料厚度不计)，底面ABCD为平行四边形，现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰好经过CDEF，其中E，F分别为棱PA，PB的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：
①没有水的部分始终呈棱锥形
②有水的部分始终呈棱柱形
③棱AB始终与水面所在平面平行
④水的体积与四棱锥P−ABCD体积之比为5：8
其中所有正确结论的序号为______ .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin2x+2 3cs2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,π4]上的最大值和最小值.
18.(本小题13分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量相互独立.
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；
(Ⅱ)用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于55kg的概率；
(Ⅲ)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？(直接写出结果)
19.(本小题14分)
在△ABC中，已知sinA= 3sinB，∠C=π6.
(Ⅰ)求证：b=c；
(Ⅱ)在①ac= 3；②csinA=3；③c2=ab这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求b的值和△ABC的面积.
20.(本小题15分)
已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，∠DAB=90∘，CD=12AB，平面PAD⊥平面ABCD，M是PB的中点.
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)求证：CM//平面PAD；
(Ⅲ)设棱PC与平面ADM交于点N，求PNNC的值.
21.(本小题15分)
设m，n∈N*，已知由自然数组成的集合S={a1,a2,…，an}(a1X=x11x12⋯x1mx21x22⋯x2m⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnm，其中xij=1,ai∈Sj0,ai∉Sj，
设d(ai)=xi1+xi2+⋯+xim(i=1,2,⋯,n)，令d(S)是d(a1)，d(a2)，…d(an)中的最大值.
(Ⅰ)若m=3，S={1,2,3}，且X=101011100，求S1，S2，S3及d(S)；
(Ⅱ)若S={1,2,…，n}，集合S1，S2，…，Sn中的元素个数均相同，若d(S)=3，求n的最小值；
(Ⅲ)若m=7，S={1,2,…，7}，集合S1，S2，…，S7中的元素个数均为3，且Si∩Sj≠⌀(1≤i答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(2i)2=4i2=−4.
故选：C.
利用复数运算法则直接求解．
本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：A(3,2)，B(−5,−1)，AC=CB，
设C(x,y)，则(x−3,y−2)=(−5−x,−1−y)，
∴x−3=−5−xy−2=−1−y，解得x=−1y=12，
则点C的坐标为(−1,12).
故选：A.
设C(x,y)，则由向量坐标运算法则得(x−3,y−2)=(−5−x,−1−y)，由此能求出点C的坐标．
本题考查向量坐标运算法则、向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由图可知，BD//B1D1，
异面直线A1C1与BD所成角，即异面直线A1C1与B1D1所成角，
由正方形的性质可知，A1C1⊥B1D1，
故异面直线A1C1与BD所成角的大小为90∘.
故选：B.
根据已知条件，推得所求角为异面直线A1C1与B1D1所成角，再结合正方形的性质，即可求解．
本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球的所有情况有：一个白球，一个红球；两个白球；两各红球，
A：至少有一个白球包括两个白球和一个白球，一个红球，A不符合题意；
B：恰有一个白球与都是红球为互斥事件，但不是对立事件；
C：都是白球和都是红球为互斥事件，但不是对立事件；
D：至少有一个白球包括一个白球，一个红球和两个白球，与都是红球对立．
故选：D.
由已知分析各选项中的事件关系即可判断．
本题主要考查了对立事件的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：若“a⊥α，b⊥α”⇒“a//b”，是充分条件，
若“a⊥α，a//b”⇒“b⊥α”，是必要条件，
所以若a⊥α，则“b⊥α”是“a//b”的充要条件．
故选：C.
根据充分必要条件的定义结合线面垂直的判定定理进行判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查线面关系，熟练掌握线面，线线平行、垂直的性质及判定是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得，恰有一人命中的概率为0.6×(1−0.5)+(1−0.6)×0.5=0.2.
故选：C.
根据相互独立事件的乘法公式计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
7.【答案】B
【解析】解：T=4×(2π3−π3)=4π3=2πω，∴ω=32，
则f(x)=sin(32x+φ)，又(π3,0)对应于y=sinx的第一个点，
则有32×π3+φ=0，∴φ=−π2，满足|φ|<π，
∴f(x)=sin(32x−π2)，则f(π6)=sin(−π4)=−sinπ4=− 22.
故选：B.
根据图象确定T，ω，φ，再计算f(π6)即可．
本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可知，x1+x2+…+xn=nx−，(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2=ns2，
所以x−′=x1+x2+⋯+xn+x−n+1=nx−+x−n+1=x−，
s′2=1n+1[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2+(x−−x−)2]=1n+1(ns2+0)=nn+1s2，
所以s′2故选：D.
根据平均数和方差的计算公式求解．
本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：根据同底面的柱体的体积公式与锥体的体积公式易得：
所求体积之比为13.
故选：B.
根据柱体的体积公式与锥体的体积公式，即可得解．
本题考查柱体的体积公式与锥体的体积公式的应用，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：由条件可得：MA+MC=MB+MD，
∴MA−MB=MD−MC，即BA=CD，
∴AB//CD且AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵a+c=b+d且a⋅c=b⋅d，
∴(a+c)2=(b+d)2，
∴a2+c2=b2+d2，即MA2+MC2=MB2+MD2，
∴MA2−MB2=MD2−MC2，
∴(MA+MB)⋅(MA−MB)=(MD+MC)⋅(MD−MC)，
即(MA+MB)⋅BA=(MD+MC)⋅CD，
∵BA=CD，∴(MA+MB−MD−MC)⋅CD=0，
即(DA+CB)⋅CD=0，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA=CB，
∴2DA⋅CD=0，
∴DA⊥CD，即∠D为直角，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选：C.
由平面向量的线性运算和条件得BA=CD，从而得四边形ABCD为平行四边形，再由a+c=b+d两边同时平方，利用条件化简后可得DA⊥CD，从而选出答案．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题．
11.【答案】 2
【解析】解：z=1+i对应的点为Z，
则Z(1,1)，
O为坐标原点，
则OZ=(1,1)，
故|OZ|= 12+12= 2.
故答案为： 2.
根据已知条件，结合复数的几何意义，先求出Z点的坐标，再结合向量模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
12.【答案】30
【解析】解：因为某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．共计3000+6000+6000=15000人，
又总样本量为150，
则抽样比为15015000=1100，
则在高中生中抽取了3000×1100=30人．
故答案为：30.
根据分层抽样的定义可解．
本题考查分层抽样的定义，属于基础题．
13.【答案】π3 − 3
【解析】解：在△ABC中，a=8，b=7，c=3，
则csB=a2+c2−b22ac=82+32−722×8×3=12，
∵B∈(0,π3)，
∴B=π3，
∴tan(A+C)=tan(π−B)=−tanB=− 3.
故答案为：π3；− 3.
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．
14.【答案】(0,0)，答案不唯一．
【解析】解：把函数f(x)=sin(2x+π3)图象上的所有点向右平行移动π6个单位长度，
得到函数g(x)=sin(2x−π3+π3)=sin2x的图象，
令2x=kπ，k∈Z，求得x=kπ2，k∈Z，
可得g(x)的对称中心坐标为(kπ2,0)，k∈Z.
故函数的图象的一个对称中心为(0,0)，
故答案为：(,0,0)，答案不唯一．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求出g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
15.【答案】183
【解析】解：由BE：EC=3：2，可得BE=35BC，
故AE=AB+BE=AB+35BC
=AB+35(AC−AB)
=25AB+35AC，
则k1+k2=1；
由题意，BD为∠ABC的角平分线，
则有ABBC=ADDC=4a，
当DE//AB时，有ADDC=BEEC=32，
∴4a=32，解得a=83.
第一空，由向量的线性运算直接推出，第二空利用角平分线定理和相似三角形的知识可求得．
本题考查平面向量的线性运算，角平分线定理，属基础题．
16.【答案】①③④
【解析】解：对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对；
对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，
有水的部分的几何体不是棱柱，没有两个底面平行，其余侧面也不是平行四边形②错；
对于③，倾斜前，在图1中，棱AB与水面所在平面平行，
在倾斜的过程中，容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，
棱AB始终与水面所在平面平行，③对；
对于④，连接AC、CE、BE，设三棱锥P−ACD的体积为V，
则三棱锥P−ABC的体积也为V，因为E为PA的中点，则S△ADE=S△PDE，
所以VC−ADE=VC−PDE=12V，因为E、F分别为PA、PB的中点，
所以EF//AB且EF=12AB，所以S△PEF=14S△PAB，
所以VC−PEF=14VC−PAB=14V，
所以，没有水的部分的几何体的体积为VC−PDE+VC−PEF=12V+14V=34V，
所以，有水的部分的几何体的体积为2V−34V=54V，
因此，水的体积与四棱锥P−ABCD体积之比为5V4：2V=5：8，④对．
故答案为：①③④．
由棱锥的定义可判断①；由棱柱的定义可判断②；利用线面平行的定义可判断③；利用锥体的体积公式可判断④．
本题考查棱柱，棱锥的定义，考查线面的位置关系，考查等体积法，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sin2x+2 3cs2x=sin2x+ 3(1+cs2x)=sin2x+ 3cs2x+ 3=2sin(2x+π3)+ 3，
所以函数的最小正周期T=2π2=π；
(Ⅱ)因为x∈[0,π4]，所以2x+π3∈[π3,56π]，
令t=2x+π3∈[π3,56π]，即g(t)=2sint+ 3，
当t∈[π3,π2]时，g(t)单调递增，
当t∈[π2,56π]时，g(t)单调递减，
且g(π3)=2sinπ3+ 3=2 3，g(π2)=2sinπ2+ 3=2+ 3，g(56π)=2sin56π+ 3=1+ 3，
所以g(t)∈[1+ 3,2 3]，
所以f(x)在区间[0,π4]上的最大值2 3，最小值1+ 3.
【解析】(Ⅰ)由三角恒等变换可得函数f(x)的解析式，进而求出它的最小正周期；
(Ⅱ)由x的范围，可得2x+π3的范围，进而求出它的最大值，最小值的大小．
本题考查三角函数的恒等变换的应用及三角函数的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)已知5(0.004+0.020+0.044+a+0.046+0.010+0.008)=1，
解得a=0.068
(Ⅱ)不妨设事件A为运用新网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于55kg，
事件B为运用旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于55kg，
用频率估计概率，
此时P(A)=5(0.020+0.012+0.012)=0.22，P(B)=5(0.046+0.010+0.008)=0.32，
因为A，B相互独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=0.22×0.32=0.0704；
(Ⅲ)该养殖场下一年应采用新养殖法更合适．
【解析】(Ⅰ)由题意，结合频率分布直方图所给信息，列出等式即可求出a的值；
(Ⅱ)设事件A，B分别为运用新，旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于55kg，用频率估计概率，得到P(A)，P(B)的值，结合两事件相互独立，列出等式求解即可；
(Ⅲ)根据新养殖法和旧养殖法分布情况即可判断下一年应采用哪种养殖法更合适．
本题考查频率分布直方图，考查了逻辑推理、数据分析和运算能力．
19.【答案】证明：(Ⅰ)由sinA= 3sinB，根据正弦定理可得a= 3b，
又因为∠C=π6，由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab= 32，
将a= 3b代入该式，得到c2=b2，即c=b；
解：(Ⅱ)选①由ac= 3，且b=c，
所以 3b2= 3,b=1，则c=1，
由∠C=π6得∠B=π6，则∠A=2π3，
S△ABC=12bcsinA= 34；
选②根据c=b，所以∠C=∠B=π6,∠A=2π3，
因为csinA=3，所以c=2 3，即b=2 3，
S△ABC=12bcsinA=3 3；
选③c2=ab，且b=c，
所以a=c，则△ABC为等边三角形，
又∠C=π6，前后矛盾，舍去．
【解析】(Ⅰ)由正弦定理得到a= 3b，利用余弦定理将其代入即可得证；
(Ⅱ)选①由ac= 3，且b=c，代入三角形面积公式即可求解；
选②根据c=b，得到∠C=∠B=π6,∠A=2π3，由csinA=3，代入三角形面积公式即可求解；
选③由c2=ab，且b=c，得△ABC为等边三角形，与题意不符，舍去．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
20.【答案】证明：(Ⅰ)因为AB//CD，∠DAB=90∘，可得CD⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD⊂面ABCD，
所以可证得CD⊥面PAD；
(Ⅱ)取PA的中点Q，连接QM，DQ，
因为M，Q为中点，CD=12AB，CD//AB，
所以QM//CD，且QM=CD，
所以四边形CDQM为平行四边形，
所以CM//AQ，而DQ⊂面PAD，CM⊄面PAD，
所以CM//面PAD；
(Ⅲ)取F点，使得AD=MF，取AB的中点E，连接CE，ME，
由题意可知CE//AD，CE=AD，
所以MF=CE，且MF//CE，
所以四边形CFME为平行四边形，可证得ME//CF，且ME=CF，
因为ME//PA，且ME=12PA，
所以CF//PA，且CF=12PA，
连接AC，AF，可知PACF为梯形，
设AF与PC的交点N，即面PACF与PC的交点为N，
在四边形PACF中，可得PNCN=PACF=2，
所以PNNC的值为2.
【解析】(Ⅰ)由题意面面的垂直及线线的垂直，再由线面垂直的性质定理可证得结论；
(Ⅱ)取PA的中点Q，由题意可证得QM//CD，且QM=CD，可证得四边形为平行四边形，进而可证得CM//DQ，再由线面平行的条件可证得线面的平行；
(Ⅲ)取AD=MF，取AB的中点E，可得MF//CE，可证得PACF为梯形，进而可求得PNNC的值．
本题考查线面平行，线面垂直的证法及平行线分线段成比例的性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)根据X=101011100和xij=1,ai∈Sj0,ai∉Sj，
可得1，3∈S1，2∉S1，2∈S2，1，3∉S2，1，2∈S3，3∉S3，
所以S1={1,3}，S2={2}，S3={1,2}，d(S)=2；
(Ⅱ)设ai∈S使得d(ai)=d(S)=3，
则d(ai)=xi1+xi2+…+xim≤m，
所以m≥3，
所以S={1,2,…，n}至少有3个元素个数相同的非空子集，
当n=1时，S={1}，其非空子集只有自身，不符题意；
当n=2时，S={1,2}，其非空子集有{1}，{2}，{1,2}，不符题意；
当n=3时，S={1,2,3}，其非空子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，
当{S1,S2,S3}={{1},{2},{3}}时，d(1)=d(2)=d(3)=1，不符题意；
当{S1,S2,S3}={{1,2},{2,3},{1,3}}时，d(1)=d(2)=d(3)=2，不符题意；
当n=4时，S={1,2,3,4}，
令S1={1,2}，S2={1,3}，S3={1,4}，
则X=111100010001，d(S)=d(1)=3，
所以n的最小值为4；
(Ⅲ)证明：由题意可知，Sj={i|xij=1,1≤i≤7}，
记|Sj|为集合Sj(j=1,2,…，7)中的元素个数，
则|Sj|=x1j+x2j+…+x7j=3为数表X的第j列之和，
因为d(i)=xi1+xi2+…+xi7(i=1,2,…，7)为数表X的第i行之和，
所以d(1)+d(2)+…+d(7)=|S1|+|S2|+…+|S7|=3×7=21，
因为d(i)≤d(S)(i=1,2,…，7)，
所以21=d(1)+d(2)+…+d(7)≤7d(S)，
所以d(S)≥3；
当S1={1,2,3}，S2={1,4,5}，S3={1,6,7}，S4={4,2,6}，S5={3,4,7}，S6={3,5,6}，S7={2,5,7}时，
X=1110000100100110001100101100010001100110100010101，
d(S)=3.
所以d(S)的最小值为3.
【解析】(Ⅰ)根据X=101011100和xij=1,ai∈Sj0,ai∉Sj，求解即可；
(Ⅱ)将问题转化为S={1,2,…，n}至少有3个元素个数相同的非空子集，分别对S中的元素个数进行列举讨论，即可求解；
(Ⅲ)由d(i)=xi1+xi2+…+xim(i=1,2,…，n)的定义及|Sj|=x1j+x2j+…+x7j=3，即可结合S1，S2，⋯，S7中的元素个数均为3，S={1,2,⋯,7}进行求解．
本题属于新概念题，考查了子集的概念、分类讨论思想及逻辑推理能力，属于难题．