高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念精品课后复习题

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考点一：向量的基本概念
①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
②向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．
③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
④单位向量：长度等于1个单位的向量．
⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二：向量的线性运算和向量共线定理
①向量的线性运算
考点三：向量共线定理
①如果且，则；反之且，则一定存在唯一一个实数，使．
推论：
②三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；
③向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且
④，．
【题型目录】
题型一： 平面向量的概念
题型二： 平面向量的加法、减法
题型三： 平面向量的线性运算与共线定理
题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状
【典型例题】
题型一： 平面向量的概念
【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【例3】有下列结论：
①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形；
④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中，错误的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例4】设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则＝||；②若与平行，则＝||；③若与平行且||＝1，则＝．上述命题中，假命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5】下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若满足，且与同向，则
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，则
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例6】（多选题）下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量，零向量没有方向
C．平行共线向量：方向相同或相反的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
【例7】（多选题）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则D．对任一非零向量，是一个单位向量
【题型专练】
1.下列命题正确的是（ ）
A．向量与是相等向量B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行
2.下列命题中正确的个数是（ ）
①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②若向量与向量平行，则，方向相同或相反；
③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°；
④若，则，是相等向量或相反向量.
A．0B．1C．2D．3
3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是_______.
4.把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是_____________.
5.（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则B．若与共线，则或
C．若，则D．是与非零向量共线的单位向量
6．（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量
B．若向量，则
C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形
D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算
7．（多选题）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
8．（多选题）下列结论中正确的是（ ）
A．与是否相等与，的方向无关B．零向量相等，零向量的相反向量是零向量
C．若，都是单位向量，则D．向量与相等
题型二： 平面向量的加法、减法
【例1】等于（ ）
A．B．C．D．
【例2】化简下列各式：
(1)；
(2).
【例3】正方形的边长为1，则为（ ）
A．1B．C．3D．
【例4】在中，M是的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例5】如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则（ ）
A．B．C．D．
【例6】设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（ ）
A．B．C．D．
【例7】若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7]B． C．D．
【例8】已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
①；②；③；④.
【题型专练】
1.（ ）
A．B．C．D．
2．下列能化简为的是（ ）
A．B．C．D．
在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形B．四边形是菱形
C．四边形是正方形D．四边形是平行四边形
在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
5．在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定
7．（多选题）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
题型三： 平面向量的线性运算与共线定理
【例1】[多选题]下列命题是真命题的是（ ）．
A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量
B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量
C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上
【例2】已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【例3】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．与是非零向量，若与同向，则与反向
D．设为实数，若，则与共线
【例4】“”是“A，B，C，D四点共线”的________条件．
【例5】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___．
【例6】已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（ ）
A．AC边所在的直线上B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上D．△ABC的内部
【例7】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【例8】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【例9】在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A．B．C．D．
【例10】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例11】已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型专练】
1.已知，则下列结论中成立的是（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线
C．A，D，C三点共线D．D，B，C三点共线
2.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1B．C．2D．
3.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A．B．C．D．
4.在中，是边上的中点，则（ ）
A．B．C．D．
5.在中，点P为中点，点D在上，且，则( )
A．B．
C．D．
6.设分别为的三边的中点，则( )
A．B．C．D．
7.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.
8.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
9.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
10.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A．B．C．D．
11．设分别是的三边上的点，且，则与（ ）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
题型四：由平面向量的性质判断图形的形状
【例1】若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____
【例2】若，且，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形
【题型专练】
1．在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
2．四边形中，，，，若、不共线，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．梯形D．菱形
3．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形B．四边形是菱形
C．四边形是正方形D．四边形是平行四边形
4．（多选题）下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD为平行四边形
B．若，则四边形ABCD为梯形
C．若，且，则四边形ABCD为菱形
D．若，且，则四边形ABCD为正方形
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
(1)
(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；
当时，