第12讲 函数的图象-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

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1.描点法作图
基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).
最后:描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换
图2-12-1
(2)对称变换
y=f(x)的图象y= 的图象;
y=f(x)的图象y= 的图象;
y=f(x)的图象y= 的图象;
y=ax(a>0且a≠1)的图象y= (a>0且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y=f(x)的图象y=f(ax)的图象;
y=f(x)的图象y=Af(x)的图象.
(4)翻折变换
y=f(x)的图象y= 的图象;
y=f(x)的图象y= 的图象.
2.(1)f(x)-k (2)-f(x) f(-x) -f(-x) lgax (4)|f(x)| f(|x|)
分类训练
探究点一 作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2;(4)取整函数y=[x],x∈[-5,5).
例1 [思路点拨] (1)利用图象的平移和翻折作图;(2)利用图象的平移作图;(3)利用偶函数的性质作图,先作出x≥0时的图象,再由函数图象关于y轴对称作出另一部分的图象;(4)依题意将函数解析式写成分段函数,再画出函数图象即可.
解:(1)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得y=|lg(x-1)|的图象,如图①所示(实线部分).
(2)将y=2x的图象向左平移1个单位,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位,得到y=2x+1-1的图象,如图②所示.
(3)y=x2-|x|-2=x2-x-2,x≥0,x2+x-2,x<0,其图象如图③所示.
① ② ③
(4)根据题意,
y=[x]=-5,x∈[−5,−4),-4,x∈[−4,−3),-3,x∈[−3,−2),-2,x∈[−2,−1),-1,x∈[−1,0),0,x∈[0,1),1,x∈[1,2),2,x∈[2,3),3,x∈[3,4),4,x∈[4,5),故函数图象如图所示.
[总结反思] 为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如y=x+1x的函数图象.
(2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
变式题 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|x2-4x+3|;(2)y=2x+1x+1;(3)y=10|lg x|.
变式题 解:(1)先画出函数y=x2-4x+3的图象,再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方,如图①所示.
(2)y=2x+1x+1=2-1x+1的图象可由y=-1x的图象先向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图②所示.
(3)y=10|lg x|=x,x≥1,1x,0① ② ③
探究点二 识图与辨图的常见方法
微点1 性质检验法
例2 (1)函数y=2x32x+2-x在[-6,6]的图象大致为( )
图2-12-3
(2)函数f(x)=xlnxex的图象大致为( )
图2-12-4
例2 [思路点拨] (1)根据函数奇偶性及特殊值排除错误选项,即可得正确选项;(2)由f(e)>0可排除A,D,再利用导函数判断f(x)在(0,1)上的单调性,即可得出结论.
(1)B (2)C [解析] (1)令y=f(x)=2x32x+2-x,易知f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项C;
f(4)=2×4324+2-4=12816+116>0,排除选项D;
f(6)=2×6326+2-6=43264+164≈6.75,排除选项A.故选B.
(2)f(e)=eln eee=1ee−1>0,故排除A,D;由f(x)=xlnxex,得f'(x)=lnx+1−xlnxex,令g(x)=ln x+1-xln x,则g'(x)=1x-ln x-1,易知g'(x)是(0,+∞)上的减函数,且g'(1)=0,∴当x∈(0,1)时,g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上是增函数,而g(1)=1>0,g1e2=-1-1e2ln e-2=-1+2e2<0,故存在x0∈1e2,1,使得g(x0)=0,当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x0,1)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,选项B错误,选项C正确.故选C.
[总结反思] 已知函数的解析式求函数的图象,常见的方法是,通过解析式得到函数的值域和定义域,进行排除,由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性,或者中心对称性,进行排除,还可以代入特殊点,或者取极限.
微点2 图象变换法
例3 设函数f(x)=-cs x-x4的导函数为f'(x),令g(x)=f'(x),则|g(x)|的图象大致是( )
图2-12-5
例3 [思路点拨] 求出g(x),然后研究|g(x)|的性质,用排除法确定正确选项.
D [解析] 因为f(x)=-cs x-x4,所以f'(x)=sin x-4x3,所以g(x)=sin x-4x3,所以函数g(x)是奇函数,其图象关于原点对称,而函数|g(x)|为偶函数,其图象关于y轴对称,所以选项B,C错误;又因为其图象过原点O,所以选项A错误.故选D.
[总结反思] 通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等.
▶ 应用演练
1.【微点2】已知函数f(x)的图象如图2-12-6所示,给出四个函数:①|f(x)|,②f(|x|),③f(-|x|),④f(-x),又给出四个函数的图象,则正确的匹配方案是( )

图2-12-6图2-12-7
A.①-甲,②-乙,③-丙,④-丁
B.②-甲,①-乙,③-丙,④-丁
C.①-甲,③-乙,④-丙,②-丁
D.①-甲,④-乙,③-丙,②-丁
1.A [解析] 把y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方,上方部分保持不变可得y=|f(x)|的图象,所以①-甲;把y=f(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧,原y轴左侧部分去掉,右侧不变,可得y=f(|x|)的图象,所以②-乙;把y=f(x)的图象y轴左侧部分翻折到右侧,原y轴右侧部分去掉,左侧不变,可得y=f(-|x|)的图象,所以③-丙;作y=f(x)的图象关于y轴对称的图象,可得y=f(-x)的图象,所以④-丁.故选A.
2.【微点1】(多选题)函数f(x)=ln(x2+1-kx)的图象可能是( )
图2-12-8
2.ABD [解析] 因为A,B选项中,图象关于原点对称,所以y=f(x)为奇函数,f(x)+f(-x)=0,即ln(x2+1-kx)+ln(x2+1+kx)=0,所以ln(x2+1-k2x2)=ln 1,所以(1-k2)x2=0,得k=±1.当k=1时,f(x)的图象为选项A;当k=-1,f(x)的图象为选项B.而C,D选项中,图象关于y轴对称,所以f(x)为偶函数,f(x)=f(-x),即ln(x2+1-kx)=ln(x2+1+kx),得kx=0,所以k=0.当k=0时,f(x)≥0,故f(x)的图象为选项D,则f(x)的图象不可能为C.故选ABD.
3.【微点1】若函数f(x)-π2图2-12-9
图2-12-9所示,则函数f(x)可能为( )
A.f(x)=|tan x|·ln |x|
B.f(x)=tan x·ln |x|
C.f(x)=-|tan x|·ln |x|
D.f(x)=-tan x·ln |x|
3.B [解析] 由图象可知函数f(x)是奇函数,排除A,C;当x∈(0,1)时,f(x)<0,f(x)=tan x·ln |x|<0,符合题意,f(x)=-tan x·ln |x|>0,不符合题意,排除D.故选B.
4.【微点1】函数f(x)=csxex-e-x的图象大致是( )
图2-12-10
4.A [解析] 函数的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=cs(−x)e-x-ex=-csxex-e-x=-f(x),故函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项B,D;当x→0+时,f(x)→+∞,故排除选项C.故选A.
探究点三 以函数图象为背景的问题
微点1 研究函数的性质
例4 (1)函数f(x)=x-1x是( )
A.奇函数,且值域为(0,+∞)
B.奇函数,且值域为R
C.偶函数,且值域为(0,+∞)
D.偶函数,且值域为R
(2)用max{a,b,c}表示三个数a,b,c中的最大值,则函数f(x)=max2x,x2,lg2x在(0,+∞)上的最小值为 .
例4 [思路点拨] (1)利用奇偶性的定义可确定f(x)的奇偶性,再利用导数确定f(x)的单调性后作出f(x)的图象,可得f(x)的值域;(2)利用数形结合,分别作出y=2x,y=x2及y=lg2x的图象,再根据max{a,b,c}的意义求得f(x)的最小值.
(1)B (2)1 [解析] (1)根据题意,函数f(x)=x-1x,其定义域为{x|x≠0},有f(-x)=(-x)-1-x=-x-1x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,其导数f'(x)=1+1x2>0,故f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,且f(1)=f(-1)=0,其图象大致如图所示,由图象可得其值域为R.故选B.
(2)分别画出y=2x,y=x2,y=lg2x的图象,如图所示.
当0[总结反思] 一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性.
微点2 求不等式的解集
例5 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|.若对任意的x∈[-1,2],f(x+a)>f(x)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2)B.(0,2)∪(-∞,-6)
C.(-2,0)D.(-2,0)∪(6,+∞)
例5 [思路点拨] 作出函数f(x)的图象,易知f(x+a)的图象可以由y=f(x)的图象向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位得到,分a>0及a<0进行讨论,结合图象观察即得.
D [解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2-|x+2|,∴f(x)=x+4,x≤−2,-x,-22,作出f(x)的图象,如图所示.
y=f(x+a)的图象可以由y=f(x)的图象向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位得到.当a>0时,y=f(x)的图象向左平移a(a>6)个单位才能满足f(x+a)>f(x)对任意的x∈[-1,2]恒成立,当a<0时,y=f(x)的图象向右平移|a|(-2f(x)对任意的x∈[-1,2]恒成立,故a∈(-2,0)∪(6,+∞).故选D.
[总结反思] 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
微点3 确定方程根的个数
例6 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=2f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当x∈[-10,10]时,方程f(x)=lg4|x|的根的个数为( )
A.13B.12
C.11D.10
例6 [思路点拨] 作出y=f(x)的图象,再由已知可将问题转化为y=f(x)的图象和g(x)=lg4|x|图象的交点个数问题,然后由图可得.
C [解析] 令g(x)=lg4|x|,则方程f(x)=lg4|x|在[-10,10]上的根的个数,即为y=f(x)的图象与y=g(x)的图象在[-10,10]上的交点个数.分别作出函数y=f(x)与g(x)=lg4|x|的图象,如图.
由图象可知y=f(x)与g(x)=lg4|x|的图象的交点个数为11.故选C.
[总结反思] 根据方程合理构造函数.若构造的是一个函数,则方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数;若构造的是两个函数,则方程根的个数就是这两个函数的图象交点的个数.
微点4 求参数的取值范围
例7 已知函数f(x)=x2,x≤0,ln(x+1),x>0,若不等式f(x)-kx+k+1<0的解集为空集,则实数k的取值范围为( )
A.(2-22,0]B.(2-32,0]
C.[2-22,0]D.[-1,0]
例7 [思路点拨] 将不等式f(x)-kx+k+1<0的解集为空集转化为不等式f(x)-kx+k+1≥0恒成立,转化为函数y=f(x)与函数y=k(x-1)-1的图象的位置关系式可得结果.
C [解析] 因为不等式f(x)-kx+k+1<0的解集为空集,所以不等式f(x)-kx+k+1≥0恒成立,f(x)-kx+k+1≥0可变形为f(x)≥k(x-1)-1.在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=k(x-1)-1的图象,如图,
直线y=k(x-1)-1过定点A(1,-1),当直线y=k(x-1)-1与y=x2(x≤0)相切时,方程f(x)-kx+k+1=0有一个实数解,可得x2-kx+k+1=0,由Δ=k2-4(k+1)=0,可得k=2-22或k=2+22(舍去),故由函数图象可知所求实数k的取值范围为[2-22,0].故选C.
[总结反思] 当参数的不等关系不易找出时,可将不等式、函数或方程等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围.
▶ 应用演练
1.【微点1】图2-12-11为函数y=xa+bln(x2)(x≠0,a,b∈Z)的部分图象,则下列判断可能正确的是( )
图2-12-11
A.a=1,b=-1
B.a=1,b=1
C.a=2,b=-1
D.a=2,b=1
1.D [解析] 由题意该图象中虚线对应的方程为x=±1,当x<-1时,由x2>1可得ln(x2)>0,再由y=xa+bln(x2)>0可得xa+b>0,所以a≠1,故排除A,B;当-10,所以b≠-1,故排除C.故选D.
2.【微点3】方程13x=|lg3x|的解的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
2.C [解析] 分别作出函数y=13x,y=|lg3x|的图象,如图,
由图可知,两函数图象有2个交点,所以方程13x=|lg3x|的解的个数是2,故选C.
3.函数f(x)=21-x,x≥1,2x-1,x<1,若f(2x-2)≥f(x2-x+2),则实数x的取值范围是( )
A.[-2,-1]B.[1,+∞)
C.RD.(-∞,-2]∪[1,+∞)
3.D [解析]函数f(x)=21−x,x≥1,2x-1,x<1,画出函数f(x)的图象,如图,由图可知,f(x)的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上是减函数.
∵f(2x-2)≥f(x2-x+2),且x2-x+2=x-122+74>1恒成立,
∴|2x-2-1|≤x2-x+2-1,即|2x-3|≤x2-x+1,
当x≥32时,不等式化为2x-3≤x2-x+1,即x2-3x+4≥0,解得x∈R,即x≥32;
当x<32时,不等式化为3-2x≤x2-x+1,即x2+x-2≥0,解得x≤-2或x≥1,即x≤-2或1≤x<32.
综上,实数x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).
故选D.
4.【微点4】 如图2-12-12,函数f(x)的图象为两条射线CA,CB组成的折线,如果不等式f(x)≥x2-x-a的解集中有且仅有1个整数,那么实数a的取值范围是( )
图2-12-12
A.{a|-2B.{a|-2≤a<-1}
C.{a|-2≤a<2}
D.{a|a≥-2}
4.B [解析] 根据题意可知f(x)=2x+2,x≤0,-x+2,x>0,不等式f(x)≥x2-x-a等价于a≥x2-x-f(x),令g(x)=x2-x-f(x)=x2-3x-2,x≤0,x2-2,x>0,作出g(x)的图象,如图所示,
又g(0)=-2,g(1)=-1,g(-1)=2,∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数,则-2≤a<-1,即a的取值范围是{a|-2≤a<-1}.故选B.
同步作业
1.函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图K12-1所示,则下列说法正确的是( )
图K12-1
A.a>0,b>0,c<0
B.a<0,b>0,c>0
C.a<0,b>0,c<0
D.a<0,b<0,c<0
1.C [解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠-c},由f(x)的图象可知,-c>0,得c<0.∵f(0)=bc2>0,∴b>0.由f(x)=0,得ax+b=0,结合f(x)的图象可知x=-ba>0,∴a<0.故选C.
2.要得到函数y=lg3(x+1)-2的图象,只需将函数y=lg3x的图象上的所有点( )
A.向右平移1个单位,再向下平移2个单位
B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.向左平移1个单位,再向上平移2个单位
2.B [解析] y=lg3x的图象向左平移1个单位可得到y=lg3(x+1)的图象,然后再向下平移2个单位可得到y=lg3(x+1)-2的图象,故选B.
3.函数f(x)=2x+2-x-cs x的图象大致是( )
图K12-2
3.D [解析] 由题可知,f(x)的定义域为R,由f(x)=2x+2-x-cs x,得f(-x)=2-x+2x-cs x=f(x),则f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A,C;∵2x+2-x≥2,当且仅当x=0时等号成立,-1≤cs x≤1,∴f(x)=2x+2-x-cs x≥1,故选D.
4.奇函数y=f(x)的部分图象如图K12-3所示,则( )
图K12-3
A.f(2)>0>f(4)B.f(2)<0C.f(2)>f(4)>0D.f(2)4.A [解析] 因为y=f(x)是奇函数,所以f(-4)=-f(4),f(-2)=-f(2),由图象可知f(-4)>0>f(-2),所以-f(4)>0>-f(2),即f(2)>0>f(4),故选A.
5.已知函数y=f(x)的部分图象如图K12-4所示,则f(x)的解析式可能是( )
图K12-4
A.f(x)=x+tan xB.f(x)=x+sin 2x
C.f(x)=x-12sin 2xD.f(x)=x-12cs x
5.C [解析] 由图象可知,函数的定义域为R,故排除A;f(0)=0,故排除D;fπ4=π4+sin π2=π4+1>1,故排除B.故选C.
6.函数f(x)=2x2-x2的零点个数为 .
6.3 [解析] 令f(x)=0,则有(2)x=x2,分别作y=(2)x与y=x2的图象,如图,
因为指数函数的增长速度最终会远远超过幂函数的增长速度,所以两函数图象有3个交点,即f(x)有3个零点.
7.在平面直角坐标系中,函数f(x)=ax+e2x2的图象如图K12-5所示,则a的值可能是( )
图K12-5
A.-4B.-1
C.1D.0
7.C [解析] 若a=0,则f(x)=e2x2>0恒成立,与f(x)存在负值矛盾,排除D,若a<0,则当x<0时,f(x)=ax+e2x2>0恒成立,与f(x)在(-∞,0)上存在负值矛盾,排除A,B,故选C.
8.关于x的方程ax-x-a=0(a>0且a≠1)有两个实根,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(0,1)
C.(0,+∞)D.⌀
图K12-6
8.A [解析] 由ax-x-a=0,得ax=x+a.当0显然,两个函数的图象只有一个交点,故方程ax-x-a=0只有一个实根,不符合题意;当a>1时,分别作出函数y=ax及y=x+a的图象,如图2所示,显然,两个函数的图象有两个交点,故ax-x-a=0有两个实根,符合题意,所以实数a的取值范围是a>1.故选A.
9.如图K12-6,点P在以AB=2为直径的半圆弧上(不与A,B重合),并沿着BA运动,记∠BAP=x.将点P到A,B两点的距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
图K12-6 图K12-7
9.D [解析] 由题意可知,PA=2cs x,PB=2sin x,所以PA+PB=2cs x+2sin x=22sinx+π4,x∈0,π2,所以y=f(x)=22sinx+π4,x∈0,π2,所以函数y=f(x)图象大致为D.故选D.
10.(多选题)在同一直角坐标系中,函数f(x)=sin ax(a∈R)与g(x)=(a-1)x2-ax的部分图象可能为( )
图K12-8
10.ABD [解析] 选项A对应的是a=2,选项B对应的是a=4,选项D对应的是a=1,在选项C的图象中,由f(x)=sin ax(a∈R)的图象可知,a=-1,故g(x)=-2x2+x,则g(x)图象的对称轴在y轴右侧,而图中的对称轴在y轴的左侧,故不符合题意.故选ABD.
11.(多选题)已知函数f(x)=2xx-1,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,2)对称
B.函数f(x)在(-∞,1)上是减函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
D.函数f(x)的图象上存在A,B两点,使得直线AB∥x轴
11.AB [解析] 由题意f(x)=2xx-1=2+2x-1,则该函数的图象可由函数y=2x的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图,
由图象可得函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,故A正确;函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,故B正确;函数f(x)的图象不关于直线x=1对称,故C错误;函数f(x)的图象上不存在两个点的纵坐标相同,所以不存在A,B两点,使得直线AB∥x轴,故D错误.故选AB.
12.已知函数f(x)=ax+2x-6的图象的对称中心为(b,1),则a= ,b= .
12.1 6 [解析] 由题意,函数f(x)=ax+2x-6=a(x-6)+6a+2x-6=a+6a+2x-6,将函数y=6a+2x的图象向右平移6个单位,再向上平移a(a>0)个单位(或向下平移|a|(a<0)个单位),即可得到函数f(x)=a+6a+2x-6的图象,所以函数f(x)的图象的对称中心为(6,a),又f(x)的图象的对称中心为(b,1),所以b=6,a=1.
13.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .
13.6 [解析] 作出函数f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象,如图中实线部分所示,
则f(x)的最大值为y=x+2与y=10-x的图象的交点的纵坐标,令x+2=10-x,解得x=4,此时y=6,即f(x)的最大值为6.
14.设a,b,c分别是方程x+3=lg13x,13x=lg13x,13x=x+3的实数根,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接)
14.c在同一平面直角坐标系中,分别画出函数y=x+3,y=lg13x,y=13x的图象,如图所示,由图可得c15.若函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|-x12+y12·x22+y22的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”,给出下列函数:
①f(x)=x+1x(x>0);②f(x)=ln x(0其中是“柯西函数”的为( )
A.①②B.③④C.①③D.②④
15.B [解析] 若函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|-x12+y12·x22+y22的最大值为0,则函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得OA,OB(O为坐标原点)共线,即存在过原点的直线y=kx与y=f(x)的图象有两个不同的交点.对于①,方程kx=x+1x(x>0),即(k-1)x2=1(x>0)最多只有1个正根,所以①不是“柯西函数”;对于②,由图1可知直线y=kx与y=f(x)的图象最多只有1个交点,所以②不是“柯西函数”;
对于③,由图2可知直线y=kx与f(x)=cs x的图象可以存在两个不同的交点,所以③是“柯西函数”;对于④,由图3可知直线y=kx与f(x)=x2-1的图象存在两个不同的交点,所以④是“柯西函数”.
16.设函数f(x)=ln x-ax2-(a-2)x,若不等式f(x)>0恰有两个整数解,则实数a的取值范围是 .
16.6+ln312,4+ln26 [解析] 由题意,函数f(x)=ln x-ax2-(a-2)x的定义域为(0,+∞),由不等式f(x)>0,得ln x-ax2-(a-2)x>0,得ln x>ax2+(a-2)x,两边同时除以x,可得lnxx>a(x+1)-2.若不等式f(x)>0恰有两个整数解,则函数y=lnxx的图象上有2个横坐标为整数的点落在直线y=a(x+1)-2的上方.画出函数y=a(x+1)-2与y=lnxx的图象,如图所示,由图象可知,这2个点分别为(1,0),2,ln22,可得f(2)>0,f(3)≤0,即ln2−4a-2(a-2)>0,ln3−9a-3(a-2)≤0,
解得6+ln312≤a<4+ln26,
即实数a的取值范围是6+ln312,4+ln26.