2002-2023学年内蒙古呼和浩特市赛罕区秋实中学八年级（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2002-2023学年内蒙古呼和浩特市赛罕区秋实中学八年级（下）开学数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为( )
A. 1.2×10−7B. 0.12×10−6C. 12×10−8D. 1.2×10−6
2.若分式2aba+b中的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值
( )
A. 是原来的20倍B. 是原来的10倍C. 是原来的0.1D. 不变
3.我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是( )
A. 30x−301.2x=20B. 30x−30x−20=1.2
C. 301.2x−30x=20D. 30x−20−30x=1.2
4.下列判断正确的是( )
A. 有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B. 腰长相等的两个等腰三角形全等
C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
5.如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB=9，AC=6，则△ACD的周长是( )
A. 10.5
B. 12
C. 15
D. 18
6.下列运算正确的是( )
A. 12× 8=±2B. (m+n)2=m2+n2
C. 1x−1−2x=−1xD. 3xy÷−2y23x=−9x22y
7.若关于x的分式方程x−6x−5+1=2k5−x无解，则k的值为( )
A. −12B. −1C. 1D. 12
8.若(x+2)是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于( )
A. −6B. 6C. −9D. 9
9.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a>b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是( )
A. a2+b2=(a+b)(a−b)B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a−b)2=a2−2ab+b2
10.已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是( )
A. 5 32B. 52C. 5D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.化简： 512=______．
12.若关于x的二次三项式x2+ax+14是完全平方式，则a的值是______．
13.当x=______时，分式x2−93−x的值为0．
14.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F.若DE=FE，AB=5，CF=3，则BD的长是______．
15.如图，△ABC中，∠B=80°，∠C=70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为______．
16.阅读下面的材料，并解答问题：分式2x+8x+2(x≥0)的最大值是多少？解：2x+8x+2=2x+4+4x+2=2(x+2)x+2+4x+2=2+4x+2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以1x+2的最大值是12，所以2+4x+2的最大值是4，即2x+8x+2(x≥0)的最大值是4.根据上述方法，试求分式2x2+5x2+1的最大值是______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
(1)因式分解：a4−1；
(2)计算：|a3⋅a5+(3a4)2]÷a2；
(3)计算：−22+(π−2023)0+(−13)−1−|1− 3|；
(4)计算： 18− 92− 3+ 6 3+( 3−2) 0．
18.(本小题4分)
当x为何值时，分式3−x2−x的值比分式1x−2的值大3？
19.(本小题5分)
(1)①在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
②△ABC的面积为______．
③在直线l上找到一点P，使PB+PC最短．
(2)如图2，已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，用尺规在BC边上求作一点D，使D到AC的距离等于DB的长；若BD=3，则△ACD的面积= ______．
20.(本小题5分)
如图，点C在线段AB上，AD/​/EB，AC=BE，AD=BC，CF平分∠DCE.试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
21.(本小题6分)
阅读：用“十字相乘法”分解因式2x2−x−3的方法．

(1)二次项系数2=1×2．
(2)常数项−3=−1×3=1×(−3)，验算：“交叉相乘之和”.1×3+2×(−1)=1，1×(−1)+2×3=5，1×(−3)+2×1=−11×1+2×(−3)=−5．
(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(−3)+2×1=−1，等于一次项系数.即：(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3，则2x2−x−3=(x+1)(2x−3)，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：
(1)x2+8x+15；
(2)3x2−5x−12；
(3)3(x+2)2−5(x+2)−12．
22.(本小题7分)
如图，等边△ABC的边长为10cm，点P，Q分别是边BC，CA上的动点，点P，Q分别从顶点B，C同时出发，且它们的速度都为2cm/s.设运动时间为t秒．
(1)如图1，在P，Q运动的过程中，△PCQ能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的值；
(2)如图2，连接AP，交BQ于点M，在点P，Q运动的过程中，∠AMQ的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
23.(本小题9分)
甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来(注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：0.00000012=1.2×10−7．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分式基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】
解：分式2aba+b中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得2×10a×10b10a+10b=10×2aba+b．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】
解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴30x−301.2x=20．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：A、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，故本选项错误；
B、只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，故本选项错误；
C、斜边相等的两个等腰直角三角形，根据ASA或者HL均能判定它们全等，故此选项正确；
D、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，故选项错误；
故选：C．
利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ACD的周长=AD+AC+CD=AD+BD+AC=AB+AC，
∵AB=9，AC=6，
∴△ACD的周长=9+6=15，
故选：C．
由DE是△ABC的边BC的垂直平分线，可得DB=DC，则所求△ACD的周长=AB+AC，再将已知代入即可．
本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、 12× 8=2，故A不符合题意；
B、(m+n)2=m2+2mn+n2，故B不符合题意；
C、1x−1−2x=2−xx2−x，故C不符合题意；
D、3xy÷−2y23x=−9x22y，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7.【答案】D
【解析】解：当x−5=0时，x=5，
方程两边乘以(x−5)，得
x−6+x−5=−2k，
2x=11−2k，
把x=5代入2x=11−2k，
得k=0.5，
故选：D．
先求增根，再把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求出k．
主要考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的计算过程是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵4x2+5x+m=(x+2)(4x−3)，
可得m=2×(−3)=−6，
故选：A．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式(x+2)，可得另一个因式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，由十字相乘法得因式分解，由因式分解得出m的值．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
根据图(1)中阴影部分的面积是a2−b2，图(2)中梯形的面积是12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)，利用面积相等即可解答．
【解答】
解：∵图(1)中阴影部分的面积是a2−b2，
图(2)中梯形的面积是12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：B．
10.【答案】B
【解析】解：作F关于AC的对称点F′，延长AF′、BC交于点B′，
∴∠BAB′=30°，EF=EF′，
∴FE+EB=BE+EF′，
∴当B、E、F′共线且与AB′垂直时，长度最小，
即作BD⊥AB′于D，
在△ABD中，BD=12AB=52，
故选：B．
作F关于AC的对称点F′，延长AF′、BC交于点B′，当B、E、F′共线且与AB′垂直时，即求BD的长即可．
本题主要考查轴对称的知识，将BE+EF转化为求线段BD是解题的关键．
11.【答案】 156
【解析】解： 512= 156，
故答案为： 156．
根据二次根式的性质化简解答即可．
此题考查二次根式的性质和化简，关键是根据二次根式的性质解答．
12.【答案】±1
【解析】【分析】
本题考查完全平方式a±b2=a2±2ab+b2的应用。根据题意将原式化为x2+ax+122，观察可知，首末两项为x和12两个数的平方，中间一项为加上或减去x与12积的2倍，据此求解即可。
【解答】
解：中间一项为加上或减去x和12积的2倍，即ax=±2×x×12，即a=±1，
故答案为±1。
13.【答案】−3
【解析】解：由题意得：x2−9=0，且3−x≠0，
解得：x=−3，
故答案为：−3．
根据分式值为零的条件可得x2−9=0，且3−x≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
14.【答案】2
【解析】解：∵CF/​/AB，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
∠A=∠FCE∠AED=∠CEFDE=FE,
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF=3，
∴BD=AB−AD=5−3=2．
故答案为：2．
证明△ADE≌△CFE(AAS)，得出AD=CF=3，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
15.【答案】60°
【解析】解：∵△ABC中，∠B=80°，∠C=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−80°−70°=30°，
∴∠A′=30°，
∴∠A′EF+∠A′FE=180°−∠A′=180°−30°=150°，
∵△AFE由△A′FE翻折而成，
∴∠AEF+∠AFE=∠A′EF+∠A′FE=180°−∠A′=150°，
∴∠1+∠2=360°−∠B−∠C−(∠AEF+∠AFE)=360°−80°−70°−150°=60°．
故答案为：60°．
先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：2x2+5x2+1=2x2+2+3x2+1=2(x2+1)+3x2+1=2+3x2+1，
∵x2≥0，
∴x2+1的最小值为1，
∴3x2+1的最大值为3，
∴2+3x2+1的最大值为5，
∴分式2x2+5x2+1的最大值是5，
故答案为：5．
按照例题的解题思路，进行计算即可解答．
本题考查了分式的加减法，理解例题的解题思路是解题的关键．
17.【答案】解：(1)a4−1
=(a2+1)(a2−1)
=(a2+1)(a−1)(a+1)；
(2)[a3⋅a5+(3a4)2]÷a2
=(a8+9a8)÷a2
=10a8÷a2
=10a6；
(3)−22+(π−2023)0+(−13)−1−|1− 3|
=−4+1−3−( 3−1)
=−4+1−3− 3+1
=−5− 3；
(4) 18− 92− 3+ 6 3+( 3−2) 0
=3 2−3 22−( 3+ 6)× 3 3× 3+1
=3 22−3+3 23+1
=3 22−(1+ 2)+1
=3 22−1− 2+1
= 22．
【解析】(1)利用平方差公式因式分解即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可；
(3)先算乘方，零指数幂及负整数幂、去绝对值符号，再根据实数的运算法则进行计算即可；
(4)根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算、因式分解、幂的乘方与积的乘方法则、熟知以上知识是解题的关键．
18.【答案】解：根据题意得：3−x2−x−1x−2=3，
方程两边同乘以2−x，
得：3−x+1=3(2−x)，
解得x=1．
检验：当x=1时，2−x=1≠0，即x=1是原方程的解，
即当x=1时，分式3−x2−x的值比分式1x−2的值大3．
【解析】首先根据题意可得分式方程3−x2−x−1x−2=3，解此分式方程即可求得答案，注意分式方程需检验．
此题考查了分式方程的解法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
19.【答案】2 7.5
【解析】(1)①如图，△AB′C′即为所求；
②△ABC的面积=2×4−12×2×2−12×1×2−12×1×4=2．
故答案为：2；
③如图，点P即为所求；
(2)如图，点D即为所求．
过点D作DH⊥AC．
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DB=3，
∴△ADC的面积=12⋅AC⋅DH=12×5×3=7.5．
故答案为：7.5．
(1)①利用轴对称变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可；
②把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
③连接CB′交直线l于点P，连接PB，点P即为所求；
(2)作∠BAC的角平分线交BC于点D，点D即为所求．
本题考查作图−轴对称最短问题，三角形的面积，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，掌握角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
20.【答案】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：
∵AD/​/BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
AD=BC∠A=∠BAC=BE，
∴△ACD≌△BEC(SAS)，
∴DC=CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
21.【答案】解：(1)x2+8x+15可用一下“十字相乘法”进行因式分解：

所以x2+8x+15=(x+3)(x+5)；
(2)3x2−5x−12，可用一下“十字相乘法”进行因式分解：

所以3x2−5x−12=(x−3)(3x+4)；
(3)设m=(x+2)，则原式可变为：3m2−5m−12，由(2)可因式分解为：
3m2−5m−12=(m−3)(3m+4)，
所以3(x+2)2−5(x+2)−12
=(x+2−3)(3x+6+4)
=(x−1)(3x+10)．
【解析】根据题目中所提供的“十字相乘法”的方法确定“十字”后得出答案．
本题考查十字相乘法分解因式，掌握“十字相乘法”的方法是解决问题的前提，确定“十字”是正确解答的关键．
22.【答案】解：(1)△PCQ能成为直角三角形，理由如下：
由题意得：BP=CQ=2t cm，
∴PC=(10−2t)cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
①若∠PQC=90°时，∠CPQ=30°，
∴PC=2CQ，
即10−2t=2×2t，
解得：t=53；
②若∠CPQ=90°，
∴∠CQP=30°，
∴CQ=2PC，
即2t=2(10−2t)，
解得：t=103，
∴当t=53或103时，△PCQ是直角三角形；
(2)∠AMQ的大小不变，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABP和△CBQ中，
AB=BC∠ABP=∠CBP=CQ，
∴△ABP≌△CBQ(SAS)，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴∠AMQ=∠ABM+∠BAP
=∠ABM+∠CBQ
=∠ABC
=60°．
∴∠AMQ的大小不变；∠AMQ=60°．
【解析】(1)根据题意得出BP=CQ=2t cm，求出PC=(10−2t)cm，根据等边三角形的性质得出∠C=60°，①若∠PQC=90°时，∠CPQ=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出PC=2CQ，得出方程10−2t=2×2t，求出方程的解即可；②若∠CPQ=90°，∠CQP=30°，根据CQ=2PC得出方程2t=2(10−2t)，求出方程的解即可；
(2)根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，根据全等三角形的判定定理得出△ABP≌△CBQ，根据全等三角形的性质定理得出∠BAP=∠CBQ，根据三角形的外角性质求出∠AMQ=∠ABM+∠BAP=∠ABC，再求出答案即可．
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质定理和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
23.【答案】解：(1)设甲公司有x人，则乙公司有(x+30)人，
依题意，得：100000x×76=140000x+30，
解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=180，
答：甲公司有150人，乙公司有180人；
(2)设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，
依题意，得：15000m+12000n=100000+140000，
∴m=16−45n.
又∵n≥10，且m，n均为正整数，
∴m=8n=10，m=4n=15，
∴有2种购买方案，方案1：购买8箱A种防疫物资，10箱B种防疫物资；方案2：购买4箱A种防疫物资，15箱B种防疫物资．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
(1)设甲公司有x人，则乙公司有(x+30)人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的76倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购买A种防疫物资m箱，购买B种防疫物资n箱，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合n≥10且m，n均为正整数，即可得出各购买方案．