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2022-2023学年江苏省常州市三河口高级中学高一下学期3月第一次阶段测试数学试题
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合要求.
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标公式运算即可.
【详解】因为，所以，得.
故选:D
2. 已知，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】若“”，则“”必成立；
但是“”，未必有“”，例如.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦公式化简可得结果.
【详解】原式
.
故选：D.
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5. 设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到在方向上的投影向量为，再计算求解即可.
【详解】所以在方向上的投影向量.
故选：D.
6. 设函数.若对任意的实数都成立，则的最小值为
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【详解】解：函数f（x）=cs（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得： ，解得 ，
则ω的最小值为：．
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
7. 在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，用基底向量表示，然后根据数量积运算即可求解.
【详解】
故选:
8. 若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可.
【详解】由题意知，
令，解得，
得函数的3个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，
解得，，当时，，得
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题的选项中有多项符合要求.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 对于向量，，，有
C. 向量，能作为所在平面内的一组基底
D. 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】对四个选项一一验证：
A：取=进行判断；
B：当两向量方向未必相同；
C：按基底的定义进行进行判断；
D：分充分性和必要性进行判断.
【详解】A：因为零向量与任何向量平行，所以为时，不一定平行；故A错误；
B：与向量平行，与平行，而两向量方向未必相同，故B错误；
C：因为向量与不平行，所以向量，能作为所在平面内的一组基底；故C正确；
D：充分性：因为，为非零向量，，存在负数λ，使得，则，故充分性满足；
必要性：若，即，所以，所以不一定“存在负数λ，使得”，故必要性不满足.故D正确.
故选：CD
10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的增区间是
C.
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.
【详解】由图象可知：，，所以，则，
又因为函数图象过点，所以，则，所以，
又因为，所以，则函数解析式为：.
对于，函数的最小正周期，故选项正确；
对于，因为，令，
解得：，
所以函数的增区间是，故选项正确；
对于，因为函数的最小正周期，则，
，所以
，故选项错误；
对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故选项正确，
故选：.
11. 关于函数，，下列命题正确的是（ ）．
A. 函数的图象关于点对称
B. 若，则
C. 函数的表达式可改写为
D. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用检验法将代入即可验证A正确；根据三角函数图像性质可得，即B错误；利用诱导公式可得，所以C正确；的图象向右平移个单位长度后可以得到为偶函数，即D正确.
【详解】对于A，将代入可得，，所以函数的图象关于点对称；
对于B，由可得，
即是函数的零点，所以相差半周期的整数倍，
即，所以B错误；
对于C，利用诱导公式可得，
所以函数的表达式可改写为，故C正确；
对于D，的图象向右平移个单位长度后可得
为偶函数，
即所得图象关于y轴对称，所以D正确；
故选：ACD
12. 如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则与不共线
C. 若，记三角形的面积为，则的最大值为
D. 若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，得到，即可判定A正确；当时，，可判定B不正确；由的面积为，结合基本不等式，可判定C正确；建立平面直角坐标系，得到，，结合，即可判定以D正确.
【详解】对于A中，因为，，且，
可得，所以，其中，
所以，即，所以A正确；
对于B中，当时，，
可得与为共线向量，所以B不正确；
对于C中，在等腰直角中，，，且，，所以的面积为，
又由，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，如图所示，以A为原点，以分别为轴建立直角坐标系，
可得，
则，，可得，
因为别是，边的中点，所以，，
又因为，可得点在单位圆上，，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】对称中心的横坐标满足，取得到
【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.
故答案为：
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
15. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______．
【答案】或.
【解析】
【分析】根据向量的数量积的定义和模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，
可得两两夹角为0°或两两夹角为120°，
当两两夹角为0°时，可得，
则；
当两两夹角为120°时，可得，
则．
故答案为：或.
16. 已知向量，满足：，，，则______；若为非零实数，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据可以求出，再根据即可求出；利用再结合基本不等式可求的最小值．
【详解】，，
两式作差可得，所以，
，
所以，所以．
，
当，即时不等式等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 已知向量，．
（1）求向量与夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义求向量夹角；
（2）垂直转化为数量积为0可得参数．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，，
所以向量与夹角为．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
所以．
18. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）将条件化为，然后，可得答案；
（2）由第一问可得，然后，解出即可.
【详解】（1）因为，且，
所以．
故
．
又因为，所以，即，
所以．
所以．
（2）由（1）知，又因为，
所以 ．
因为，，
所以，即，
解得或．
因为，所以，
所以．
19. 已知．
（1）若角的终边过点，求；
（2）若，分别求和值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.
（2）根据齐次式的知识求得正确答案.
【小问1详解】
，
若角的终边过点，则，
所以.
【小问2详解】
若，
所以；
.
20. 已知，都是锐角，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数公式，列出方程组求解，再根据角的范围求得，最后展开求解即可;
（2）利用关系，利用的三角函数值，计算正切，正弦，余弦都可，最后根据角的范围求解.
【详解】解：（1）：∵，∴
∵是锐角，∴，
∵，∴．
所以
（2）∵是锐角，，∴，
∵是锐角，．∴，
∴，
法一：，
∴
法二：
∴
法三：
∴.
【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
21. 已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；
（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．
【小问1详解】
由题意可知，，即，
所以，，
将的图象向右平移个单位得，
因为的图象关于轴对称，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
，
所以，
，
，
所以．
22. 如图，在等腰梯形中，，
（1）若与共线，求k的值；
（2）若P为边上动点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】
【分析】（1）选取为基底，用基底表示其他向量后，由向量共线可得；
（2）设，，求得，由函数知识得最大值．
【详解】（1）不共线，以它们为基底，
由已知，又与共线，
所以存在实数，使得，
即，解得；
（2）等腰梯形中，，，则，
设，，
则，，
所以时，取得最大值12．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的共线，向量的数量积，解题关键是以为基底，其它向量都用基底表示，然后求解计算．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合要求.
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标公式运算即可.
【详解】因为，所以，得.
故选:D
2. 已知，，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】若“”，则“”必成立；
但是“”，未必有“”，例如.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦公式化简可得结果.
【详解】原式
.
故选：D.
4. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5. 设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到在方向上的投影向量为，再计算求解即可.
【详解】所以在方向上的投影向量.
故选：D.
6. 设函数.若对任意的实数都成立，则的最小值为
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【详解】解：函数f（x）=cs（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得： ，解得 ，
则ω的最小值为：．
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
7. 在菱形中，，，是的中点，是上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，用基底向量表示，然后根据数量积运算即可求解.
【详解】
故选:
8. 若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的零点，即对称点的横坐标，列出3个相邻的对称点，由在内仅有一个零点可得，解之即可.
【详解】由题意知，
令，解得，
得函数的3个相邻的对称点分别为，
因为函数在内仅有一个零点，
所以，，
解得，，当时，，得
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题的选项中有多项符合要求.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 对于向量，，，有
C. 向量，能作为所在平面内的一组基底
D. 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】对四个选项一一验证：
A：取=进行判断；
B：当两向量方向未必相同；
C：按基底的定义进行进行判断；
D：分充分性和必要性进行判断.
【详解】A：因为零向量与任何向量平行，所以为时，不一定平行；故A错误；
B：与向量平行，与平行，而两向量方向未必相同，故B错误；
C：因为向量与不平行，所以向量，能作为所在平面内的一组基底；故C正确；
D：充分性：因为，为非零向量，，存在负数λ，使得，则，故充分性满足；
必要性：若，即，所以，所以不一定“存在负数λ，使得”，故必要性不满足.故D正确.
故选：CD
10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的增区间是
C.
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解.
【详解】由图象可知：，，所以，则，
又因为函数图象过点，所以，则，所以，
又因为，所以，则函数解析式为：.
对于，函数的最小正周期，故选项正确；
对于，因为，令，
解得：，
所以函数的增区间是，故选项正确；
对于，因为函数的最小正周期，则，
，所以
，故选项错误；
对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故选项正确，
故选：.
11. 关于函数，，下列命题正确的是（ ）．
A. 函数的图象关于点对称
B. 若，则
C. 函数的表达式可改写为
D. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用检验法将代入即可验证A正确；根据三角函数图像性质可得，即B错误；利用诱导公式可得，所以C正确；的图象向右平移个单位长度后可以得到为偶函数，即D正确.
【详解】对于A，将代入可得，，所以函数的图象关于点对称；
对于B，由可得，
即是函数的零点，所以相差半周期的整数倍，
即，所以B错误；
对于C，利用诱导公式可得，
所以函数的表达式可改写为，故C正确；
对于D，的图象向右平移个单位长度后可得
为偶函数，
即所得图象关于y轴对称，所以D正确；
故选：ACD
12. 如图，在等腰直角三角形中，，，，分别为，上的动点，设，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则与不共线
C. 若，记三角形的面积为，则的最大值为
D. 若，且，分别是，边的中点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，得到，即可判定A正确；当时，，可判定B不正确；由的面积为，结合基本不等式，可判定C正确；建立平面直角坐标系，得到，，结合，即可判定以D正确.
【详解】对于A中，因为，，且，
可得，所以，其中，
所以，即，所以A正确；
对于B中，当时，，
可得与为共线向量，所以B不正确；
对于C中，在等腰直角中，，，且，，所以的面积为，
又由，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，如图所示，以A为原点，以分别为轴建立直角坐标系，
可得，
则，，可得，
因为别是，边的中点，所以，，
又因为，可得点在单位圆上，，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】对称中心的横坐标满足，取得到
【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.
故答案为：
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.
【详解】由可得，
则，因此，
从而有，
即.
故答案为：.
15. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______．
【答案】或.
【解析】
【分析】根据向量的数量积的定义和模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，
可得两两夹角为0°或两两夹角为120°，
当两两夹角为0°时，可得，
则；
当两两夹角为120°时，可得，
则．
故答案为：或.
16. 已知向量，满足：，，，则______；若为非零实数，则的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据可以求出，再根据即可求出；利用再结合基本不等式可求的最小值．
【详解】，，
两式作差可得，所以，
，
所以，所以．
，
当，即时不等式等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17. 已知向量，．
（1）求向量与夹角；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义求向量夹角；
（2）垂直转化为数量积为0可得参数．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，，
所以向量与夹角为．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
所以．
18. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）将条件化为，然后，可得答案；
（2）由第一问可得，然后，解出即可.
【详解】（1）因为，且，
所以．
故
．
又因为，所以，即，
所以．
所以．
（2）由（1）知，又因为，
所以 ．
因为，，
所以，即，
解得或．
因为，所以，
所以．
19. 已知．
（1）若角的终边过点，求；
（2）若，分别求和值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.
（2）根据齐次式的知识求得正确答案.
【小问1详解】
，
若角的终边过点，则，
所以.
【小问2详解】
若，
所以；
.
20. 已知，都是锐角，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数公式，列出方程组求解，再根据角的范围求得，最后展开求解即可;
（2）利用关系，利用的三角函数值，计算正切，正弦，余弦都可，最后根据角的范围求解.
【详解】解：（1）：∵，∴
∵是锐角，∴，
∵，∴．
所以
（2）∵是锐角，，∴，
∵是锐角，．∴，
∴，
法一：，
∴
法二：
∴
法三：
∴.
【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
21. 已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；
（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．
【小问1详解】
由题意可知，，即，
所以，，
将的图象向右平移个单位得，
因为的图象关于轴对称，
所以，，
所以，，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
，
所以，
，
，
所以．
22. 如图，在等腰梯形中，，
（1）若与共线，求k的值；
（2）若P为边上动点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）12．
【解析】
【分析】（1）选取为基底，用基底表示其他向量后，由向量共线可得；
（2）设，，求得，由函数知识得最大值．
【详解】（1）不共线，以它们为基底，
由已知，又与共线，
所以存在实数，使得，
即，解得；
（2）等腰梯形中，，，则，
设，，
则，，
所以时，取得最大值12．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的共线，向量的数量积，解题关键是以为基底，其它向量都用基底表示，然后求解计算．
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