福建省部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期开学质量监测数学试题（Word版附解析）

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2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合N的元素，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】由题意得，
故，
故选：D
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】.
故选：A
3. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由作差法逐一判断即可.
【详解】对于A，由题意，即，故A错误；
对于B，由题意，即，故B错误；
对于C，由题意，即，故C正确；
对于D，由题意，即，故D错误.
故选：C.
4. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A. 必要条件B. 充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据逆否命题的等价性，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】由题意“不破楼兰终不还”只可知，“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，
故选：A.
5. 已知命题.若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到为真命题，从而根据根的判别式列出不等式，求出答案.
【详解】为真命题，即，
解得：，
故实数的取值范围是.
故选：B
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项.
，排除A选项.
所以正确的为C选项.
故选：C
7. “学如逆水行舟，不进则退心似平原跑马，易放难收”，增广贤文是勉励人们专心学习的如果每天的“进步”率都是，那么一年后是如果每天的“落后”率都是，那么一年后是一年后“进步”的是“落后”的倍现假设每天的“进步”率和“落后”率都是，要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过参考数据：，（ ）
A. 天B. 天C. 天D. 天
【答案】B
【解析】
【分析】依题意得，利用对数的运算性质即可求解.
【详解】经过天后，“进步”的是“落后”的比，
所以，两边取以10为底的对数得，解得.
要使“进步”的是“落后”的倍，则大约需要经过11天.
故选：B
8. 中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（ ）
A. 10千里B. 12千里C. 14千里D. 16千里
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答.
【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸，
于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，
所以甲、乙两地之间的距离是12千里.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数的部分图象如图，则（ ）
A. 是函数的一条对称轴B. 是函数的一条对称轴
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】点是函数图象的对称中心，且在函数的一个单调增区间内，则，令函数周期为T，由图象知，由，得函数图象的对称轴：，，据此分析即可.
【详解】依题意，点是函数的图象对称中心，
且在函数的一个单调增区间内，
则，，即，，
令函数周期为T，由图象知，
即有，而，则有，
因此，，解得，
而，则，，，故C错误D正确；
由，得函数图象的对称轴：，，
当时，，当时，，故AB正确.
故选：ABD．
10. 已知函数，的定义域均为R，且，．若是的对称轴，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是的对称中心
C. 2是的周期D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对称性和已知条件得到，判断A；结合已知条件变形得到，判断B；利用赋值法求得，判断C；根据条件得到的周期为4，对称中心为，从而得到函数值即可求解，判断D.
【详解】对于A，因为是的对称轴，所以，
又因为，所以，故，
即为偶函数，故A错误；
对于B，因为，所以，
又因为，联立得，
所以的图像关于点中心对称，故B正确；
对于C，因为，，则，即；
因为，则，即，则；
显然，所以2不是的周期，故C错误；
对于D，因为是的对称轴，所以，
又因为，即，
则，所以，
所以，即，所以周期为4，
因为周期为4，对称中心为，所以，
当时，代入，即，所以，
所以，又是的对称轴，所以，
所以，故D正确，
故选：BD.
11. 波恩哈德·黎曼（～）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 关于的不等式的解集为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】对于选项A，当时，，当时，，而，
当时，，若是无理数，则是无理数，有，
若是有理数，则是有理数，当（为正整数，为最简真分数），
则（为正整数，为最简真分数），此时，
综上，时，所以选项A正确，
对于选项B，当和无理数时，，显然有，
当是正整数，是最简真分数时，
，，故，
当时，，有
当时，，，有
当为无理数，时，，有
综上，所以选项B正确；
对于选项C，取，则，而，所以选项C错误，
对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立，
当（为正整数，互质），由，得到，
整理得到，又为正整数，互质，所以或均满足，所以可以取或，所以选项D错误，
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是______.
.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合运算求得，可得，结合Venn图中阴影部分表示的集合为，即可得答案.
【详解】由于全集，，，
故，
则，
故Venn图中阴影部分表示的集合为，
故答案为：
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据倍角公式即的取值范围从而可求解.
【详解】由题意知，，所以，
所以，，
所以．
故答案为：.
14. 已知函数，若，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】计算出，函数关于点中心对称，得到有唯一的解，求出函数的单调性，结合题目条件得到，进而得到分段函数解析式，计算出，故，结合函数单调性得到不等式.
【详解】由题意，得，，
所以，即函数关于点中心对称．
因为恒成立，所以当时，，
当时，．
所以有唯一的解．
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
又，，
故在R上单调递增，
，
由对称性可知，
下面证明，过程如下：
若时，则，且，则，，
，
此时，
同理可得当时，，
当，即时，，，满足，即．
故，
当时，，
当时，令，解得，
当时，，
又不等式，所以．
由，得．由，得．
所以原不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象经过点．
（1）求的值，判断的单调性并说明理由；
（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；是上的单调递增函数，理由见解析；
（2）,
【解析】
【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
函数经过点，
所以，解得，即，
，
则是上的单调递增函数，理由如下：
任取、x2∈R，且，则，
则，
所以，即，
所以是定义域上的单调递增函数．
【小问2详解】
因为，
故是奇函数且在上单调递增，
则不等式等价于，
所以，即，
即存在,不等式有解，
即在,上有解，
由,，可得，
由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，
且，故在的最大值为，
所以，即
所以，
即实数的取值范围是,．
16. 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.
（1）若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
（2）现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.
【答案】（1）
（2）“汪1”用的时间最少，理由见解析
【解析】
【分析】（1）平均成本为，利用比较不等式，即可求解函数的最值；
（2）利用速度，时间和路程的关系，分别求解，，，再根据不等式，比较时间大小，即可求解.
【小问1详解】
由题意，购买台“机器狗”的总成本为，
则每台机器狗的平均成本为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买台.
【小问2详解】
由题意，“汪1”满足，可得，
“汪2”满足，可得，
“汪3”满足，
，，
所以 ，
因为，，且，
所以可得，
则，
所以，所以 “汪1”用的时间最少.
17. 筒车（chinese nria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．

（1）盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式；
（2）盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t．
（参考公式：，）
【答案】（1）
（2），或．
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，根据题意求出得到函数的解析式；
（2）由，求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可．
【小问1详解】
以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，

设，，由题意知，，，
∴，，即，
当时，，解得，
结合图像初始位置可知，
又因为，所以，
综上．
【小问2详解】
经过后A距离水面的高度，
由题意知，所以经过后B距离水面的高度，
则盛水筒B与盛水筒A的高度差为，
利用，
，
当，即时，H取最大值，
又因为，所以当或时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或．
18. 某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．
（1）若注射药品，求药品的有效治疗时间；
（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由血药浓度与药品在体内时间的关系，计算血药浓度不低于时对应的时间段；
（2）由两次注射血药浓度之和不低于，利用基本不等式求的最小值．
【小问1详解】
注射该药品，其浓度为
当时，，解得；
当时，，解得．
所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时．
【小问2详解】
设从第一次注射起，经小时后，
其浓度，则，
因，
当时，即时，等号成立．
，当时，，
所以，因为，
解得，所以．
当时，，，所以不能保证持续有效，
答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为．
【点睛】方法点睛：
分段函数模型的应用：
在现实生活中，很多问题的两变是之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，分段函数模型适用于描述在不同区间上函数值的变化情况，分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点.
.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
（3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值.
【答案】（1）
（2）
（3），，或，
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；
（2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案；
（3）将原题意转化为，令，则，再分类讨论进行取舍即可得到答案.
【小问1详解】
令，
得
∴函数的单调递增区间为
【小问2详解】
令，
则
可得，当即时，；
当即时，
∵存在，对任意，有恒成立，
∴为的最小值，为的最大值，
∴，，
∴，
∴.
【小问3详解】
令，
方程可化为，
令，则，
当时，，，此时函数在上有个零点，
∴，适合题意；
当时，在内有一解，
在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，此时函数在上有个零点，
∴，适合题意；
当时，或，或，则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，在和内各有一解，在和内各有一取值，
则此时函数在上有个零点，不适合题意；
当时，，，则此时函数在上有个零点，不适合题意.
综上所述，，，或，.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的综合应用问题.关键点在于换元法的运用，例如（2）中令，则，进而转化为二次函数；第（3）中方程可化为，令，则，通过换元进而由繁化简进行求解.本题考查转化与化归、分类与整合能力，属于难题.