【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型21 3类对称与4类切线解题技巧（点对称、直线对称、圆对称及圆、椭圆、双曲线、抛物线中的切线问题）

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技法01 点对称问题解题技巧
合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习.
知识迁移 点 x,y 关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标x−2AAx+By+CA2+B2,y−2BAx+By+CA2+B2.
例1．点关于直线的对称点的坐标是 ．
直线中，,所以，所以，，答案为：.
1．（2024上·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．
技法02 直线对称问题解题技巧
直线对称问题可以转化为点关于直线的对称问题，从而用公式可快速求解，需强化练习
例2．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为
A．B．
C．D．
【法一】x的y系数绝对值为1:1型，可反解，，代入，即.
【法二】转化为例1，先求交点坐标，再线任取异于交点的坐标，用公式求出对称点坐标，再求出直线方程
【法三】在上任取一点，设关于直线的对称点为，
所以，解得，代入，得：，所以直线的方程为.
1．（2022上·江苏南京·高二统考期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·广东佛山·高二佛山一中校考期中）直线关于直线的对称直线的方程为 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ．
技法03 圆对称问题解题技巧
圆对称问题可转化为点关于点对称，点关于直线的对称问题，利用中点坐标公式和对称公式求解即可.
例3．（2023下·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，用例1公式求解，解得，所以圆的标准方程为.
1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·四川成都·高二期末）圆关于直线对称后的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·河北·高二校联考期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
技法04 圆中的切线问题解题技巧
圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
圆中切线问题
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
例4-1．（2023·北京·统考模拟预测）经过点且与圆相切的直线方程为 ．
代入求解即可，答案为：
例4-2．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
代入求解即可，答案为：
例4-3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为，代入求解即可
答案为:
1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津北辰·天津市第四十七中学校考模拟预测）过点与圆相切的直线是 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
技法05 椭圆中的切线问题解题技巧
椭圆中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2+yy0b2=1
设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1
例5．（2022上·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期末）设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程 .
代入切线方程为:xx0a2+yy0b2=1，求解即可，答案为：
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ．
2．（2023下·天津·模拟）圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆在点处的切线方程为 类似地,可以求得椭圆在点(4,2)处的切线方程为
技法06 双曲线中的切线问题解题技巧
双曲线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2−yy0b2=1
过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为xx0a2−yy0b2=1
例6．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
代入切点弦方程为xx0a2−yy0b2=1求解即可，答案为：
1．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
技法07 抛物线中的切线问题解题技巧
抛物线中的切线问题常常涉及到结论性，技巧性来解题，常在小题中使用，能做到快速求解，需强加练习
知识迁移
设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0=px+x0
设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:yy0=px+x0
例7．（2023·高三阶段练习）抛物线在处的切线方程为 ．
代入切线方程为yy0=px+x0，求解即可，答案为：
1．（2023·高三阶段练习）抛物线在点处的切线方程为 ．
2．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．