6. 南京师范大学附属中学2023-2024学年高三寒假模拟测试数学试题及答案

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第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.（1）由题意可知，
即；
（2）因为，所以，
不妨设，由对数函数的性质可知，
则，
所以，
则，当且仅当时取得等号.
16.（1）由题可知，展开式中第项为：
，
则系数最大的项需满足，解得或，
所以系数最大为第3项或第4项，即或，
所以最大项系数为．
（2）因为，，
且由展开式中第项为：，
所以，
令，，
即：，
令，，
即：，
所以，所以，
而
所以
，
由题可知，，
所以的值为0.5．
17.（1）依题意得
解得，
椭圆的标准方程为.
（2）存在点，使，点的坐标为.理由如下：
直线过点，与椭圆交于不同的两点.且都在轴上方.
直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.
联立方程消去可得：.
此时，设，则.
，
.
存在点满足条件.
点坐标为.
18.（1）因为点为线段的中点，且，
所以，
因为，且四边形为正方形，故，
所以，而平面，
故平面，又平面，
所以；
（2）设正方形的中心为，分别取的中点为，
设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面，
连接，平面，故，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故，
平面，故平面，
故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，

因为，则，又，故，
设到底面的距离为，
四边形，为两个全等的等腰梯形，且，
故，又，
故，则，
，
设，
设平面的一个法向量为，
则，令，，
设平面的一个法向量为，
则，令，，
故，
令，则，
令，则，
令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，
故，
即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为．
19.（1）由条件得，得：；
（2）∵、关于原点“伸缩变换”，对作变换（），得到，
解方程组得点的坐标为；
解方程组得点的坐标为；
，
化简后得，解得，，
因此椭圆的方程为或.
（3）对：作变换得抛物线：，得，
又∵，∴，即，
，则，
∵，∴.
20.（1）可取值，可取值，
当时，摸球次数为，没有抽中新皮肤的概率为，
故，，
．
（2）令，
则，故，
整理得到，
所以，
若玩家按方案一抽卡，花费元时抽到皮肤，则抽取次数为，
而，其中，.
则
，
因为玩家按方案一抽卡次数无限制，
且当时，，，
所以.
（3），即，
由（2）可得故；
若玩家按方案二抽卡，则可取值，
且，其中，
，
故，
因为，故选择方案二．
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