苏教版高中数学必修第一册 第2章 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 PPT课件

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第2章 常用逻辑用语2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件一、命题真假与推出关系p ⇒ qp ⇏ qp ⇒ s例如：(1) x＝y ⇒ x2＝y2，但 x2＝y2 ⇏ x＝y；(2) x＞1 ⇒ x2＞1，但 x2＞1 ⇏ x＞1；这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”；“S△ABC”表示“△ABC的面积”. (3) △ABC ≌ △A′B′C′ ⇒ S△ABC＝ S△A′B′C′， 但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ ⇏ △ABC ≌ △A′B′C′.● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系? 分析(1)(2)(3)，可以发现，“p ⇒ q”的含义是：一旦 p 成立，q 一定也成立. 即 p 对 q 的成立是充分的. 也可以这样说：如果 q 不成立，那么力一定不成立.即g 对的成立是必要的.二、充分条件、必要条件充分必要例 1下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些?解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件.解：因为p ⇏ q，所以 p 不是 q 的充分条件.(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；(4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分.解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件.解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件.例 2下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些?(1) p：∣x∣＝1，q：x＝1；(2) p：两个直角三角形全等， q：两个直角三角形的斜边相等；解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件.解：因为 q ⇏ p，所以 p 不是 q 的必要条件.(3) p：同位角相等，q：两条直线平行；(4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件.解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，可以发现，其中既有 p ⇒ q，也有q ⇒ p.三、充要条件定 义p⇔q 本 质p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立.应 用充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容.“⇒”和“⇔”都具有传递性，即如果 p ⇒ q，q ⇒ s，那么 p ⇒ s；如果 p ⇔ q，q ⇔ s，那么 p ⇔ s.【思考】命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类?提示：① 充分必要条件(充要条件)，即 p⇒q且q⇒p. ② 充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p. ③ 必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p. ④ 既不充分又不必要条件，即p⇏q且q⇏p.例 3指出下列命题中，p 是 q 的什么条件：(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等； 解：根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相等，所以 p ⇒ q. 反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全等. 例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相等，这两个三角形就不全等. 所以 q⇏p.因此，p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.(2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；解：根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角形，所以 p ⇒ q.反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等. 所以 q ⇒ p.因此，p ⇔ q，即p是q的充要条件.(3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b；解：a2－b2 ⇒ a2－b2＝0 ⇒ (a－b)(a＋b)＝0 ⇒ a－b＝0或 a＋b＝0 ⇒ a＝－b或a＝b， 所以 p⇏q. 反过来，a＝b ⇒ a－b＝0 ⇒ (a－b)(a＋b)＝0 ⇒ a2－b2＝0 ⇒ a2＝b2， 所以 q ⇔ p. 因此，q ⇒ p，但 p ⇏ q，即p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.还可以通过举反例来说明，如 22＝(－ 2)2，但 2≠－2.(4) p：x ＞ y，q：x2＞y2.解：取 x＝1，y＝－2，此时，x＞y，但 x2＜y2，所以 p⇏q.反过来，取 x＝－2，y＝－1，此时，x2＞y2，但 x＜y，所以q ⇏ p. 因此，p 不是q 的充分条件， q也不是p的必要条件.四、性质定理、判定定理和数学定义(1) 性质定理是指某类对象具有的具体特征. 性质定理具有“_____________”.(2) 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一 定有该对象的所有特征. 判定定理具有“_____________”.(3) 数学定义既具有必要性也具有充分性.必要性充分性【基础小测】1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) 若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件.(　　) (2) 两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例. (　　)✔✔(3) 若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.(　　)(4) 如果p是q的充分条件，则p是唯一的.(　　)✔✘不唯一，如 x＞3，x＞5，x＞10 等都是 x＞0的充分条件.2. 从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空： ⇒⇔⇏3. 从“充分”“必要”中选择适当的一个填空：(1)“x＞2”是“x＞3”的________条件； (2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形” 的________条件. 必要　充分 解析：(1)因为“x＞3”⇒“x＞2”，所以“x＞2”是“x＞3”的必要条件； (2) 因为“四边形ABCD是正方形”⇒“四边形ABCD是菱形”，所以“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件.解析【解题策略】(1) 准确理解题意，明确证明方向 ① 条件已知推出结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性. ②“p是q的充分(必要)条件”有时也写为“q的充分(必要)条件是p”.充要条件的证明策略(2) 关注证明的两个环节 一是充分性； 二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明.【跟踪训练】1. 使x(y－2) ＝0成立的一个充分条件是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. x2＋(y－2)2＝0 B.(x－2)2＋y2＝0 C. (x＋1)2＋y2＝0 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝0A 解析：根据题意，原题可改写为“(　　)是x(y－2) ＝0的充分条件” . x2＋(y－2)2＝0⇒x＝0且y＝2⇒ x(y－2) ＝0， 所以 x2＋(y－2)2＝0是x(y－2) ＝0的充分条件.解析2. 对于任意的实数 a，b，c，在下列命题中，真命题是 (　　)A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C.“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B 解析：若a＝b，则 ac＝bc；若 ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件.解析3.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________条件， “x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________条件. (用“充分”“必要”填空) 充分　必要 解析：由x＝－1⇒x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分条件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要条件.解析4. p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分条件，则a的取 值范围为__________. a≤1 解析：x＞1⇒ x＞a，令A ＝{x∣x＞1}，B＝{x ∣x＞a}，则A⊆B，所以 a≤1.解析5. 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一正根和 一负根的充要条件是ac＜0.  6. 求证：关于x的方程 ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的 充要条件是 a－b＋c＝0.证明：充分性：∵ a－b＋c＝0， 即a·(－1)2＋b·(－1) ＋c＝0， ∴－1是ax2＋bx＋c＝0 的一个根.必要性： ∵ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1， ∴ a·(－1)2＋b·(－1) ＋c＝0，即 a－b＋c＝0. 综上可得 ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 练 习 1.下列所给的各组 p，q中，p是q的充分条件的有哪些?(1) p：三角形有一个内角是 60°， q：三角形是正三角形；因为三角形有一个内角是60°⇏ 三角形是正三角形即 p⇏q.所以 p 不是 q 的充分条件.(2) p：两个角相等，q：两个角是对顶角；因为两个角相等，这两个角有可能是内错角或同位角，故两个角相等 ⇏ 两个角是对顶角，即 p ⇏ q ，所以 p 不是q 的充分条件；(3) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分； 因为平行四边形的对角线互相平分故四边形是平行四边形 ⇒ 四边形的对角线互相平分，即 p⇒q， 所以 p是q的充分条件；(4) p：x ＞ 2，q：x ＞ 1.因为 x＞2 ⇒ x＞1，所以 p是q的充分条件；所以p是q的充分条件的有(3) (4)2. 下列所给的各组 p，q中，p是q的必要条件的有哪些?(1) p：两条直线平行，q：同位角相等；(2) p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；解：q⇒p，p是q的必要条件；解：q⇒p，p是q的必要条件；(3) p：a ＝ b，q：∣a∣＝ ∣b∣ ；(4) p：x2 ＝ l，q：x ＝ 1.解：q ⇏ p，p不是q的必要条件；解：q⇒p，p是q的必要条件；3. 从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空：(1) x2＞1 _______ x＞1；(2) a，b 都是偶数 _______ a＋b是偶数；(3) x2＝1 ______ ∣x∣ ＝ 1；(4) n 是偶数 _______ n 是4 的倍数.⇏⇒⇔⇏习题 2.2感受·理解1. 下列所给的各组 p，q中，p是 q 的充分条件的有哪些? p是q的必要条件的有哪些? p是q的充要条件的有哪些?(1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的面积相等；解：由p：两个三角形全等能推出 q： 两个三角形的面积相等，故p是q的充分条件； 由q：两个三角形的面积相等不能推出 p：两个三角形全等，故p不是q的必要条件. 从而p不是q的充要条件；(2) p：三角形是直角三角形，q：三角形的两个锐角互余；解：由 p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的两个锐角互余，故p是q的充分条件； 由 q：三角形的两个锐角互余能推出 p：三角形是直角三角形，故p是q的必要条件. 从而p是q的充要条件；(3) p：m≤1，q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解；解：∵关于x的方程 x2＋2x＋m＝0 有实数解， ∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1， 故由 p：m＜1能推出 q：关于的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解，故p是q的充分条件； 由q：关于x的方程 x2＋2x＋m＝0有实数解能推出 p：m≤1，故p是q的必要条件. 从而p是q的充要条件；(4) p：ab＝0，q：a＝0.解：由 p：ab＝0 不能推出q：a＝0，故p不是q的充分条件；由 q：a＝0能推出 p：ab＝0，故p是q的必要条件.从而p不是q的充要条件. 综上知：p是q的充分条件的有(1)(2)(3)，p是q的必要条件的有(2)(3)(4)，p是q的充要条件有(2)(3).2. 从符号“⇒”“⇏”“⇔”中选择适当的一个填空：(1) x∈A ______ x∈A∩B (2) x∉A∪B _____ x∈A∩B；(3) x∈∁U(A∪B) _____ x∈(∁UA ) ∩ (∁UB )；(4) x∈∁U(A∩B) ______ x∈(∁UA)∪(∁U B).⇏⇒⇔⇔思考·运用3. 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的什么条件?(1) p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC， q： △ABC 中，BC ＞ AC；充要条件(2) p：a2 ＜ 1，q：a ＜ 2； 充分不必要条件既不充分也不必要条件(4) p：m ≤ 1， q：关于的方程 mx2＋2x＋1＝0有两个实数解.必要不充分条件4. 设 a，b，c ∈R，求证：关于x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根是 1 的充要条件为 a＋b＋c＝0.证明： (1) 必要性，即“若 1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，则 a＋b＋c＝0”. ∵ x＝1是方程的根，将 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0，即 a＋b＋c＝0.(2) 充分性，即“若 a＋b＋c ＝ 0，则 x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根”.把 x＝1代入方程的左边，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.∵ a＋b＋c＝0，∴x＝1是方程的根.综合(1)(2)知命题成立.探究·拓展5. 设集合A＝ {x∣x满足条件p}，B＝{x∣x满足条件q}.(1) 如果 A⊆B，那么p是q的什么条件?(2) 如果 B⊆A，那么p是q的什么条件?(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件?试举例说明.(1) 如果 A⊆B，那么p是q的什么条件? 解：若A ⊆ B，则有 x∈A ⇒ x∈B，即每个使 p 成立的元素也使q成立，即p ⇒ q， 所以 p 是 q 的充分条件. 举例略.(2) 如果 B⊆A，那么p是q的什么条件?解：若 B⊆A，则有 x∈B ⇒ x ∈A，即每个使 q 成立的元素也使p成立，即 q⇒p，所以 p是 q 的必要条件.如A ＝ {x∣x ＞0}，B ＝ {x∣x ＞1}，B⊆A，则 x＞1是x＞0的充分条件，x＞0是x＞1的必要条件.(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么条件?解：若A＝B，则 A⊆B 且 B⊆A，所以p是q的充要条件.举例略.本课结束This lesson is overTHANKS!