还剩12页未读，
继续阅读
2022-2023学年福建省福州市台江区华侨中学高一（下）月考数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年福建省福州市台江区华侨中学高一（下）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，已知全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {1,3}
B. {5,7}
C. {1,3,5}
D. {1,3,7}
2.“x>−1”是“(13)x<9”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)= x−3x的零点所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.设a=sin2，则( )
A. a2<2α5.下列命题中正确的是( )
A. 若ac>bc，则a>bB. 若a2>b2，则a>b
C. 若 a> b，则a>bD. 若1a<1b，则a>b
6.将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割．黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域．黄金分割的比值为无理数 5−12该值恰好等于2sin18°，则cs36°=( )
A. 5−2B. 5−14C. 5+14D. 5−12
7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的倍．( )
A. 103B. 3C. lg3D. 10−3
8.已知函数f(x)=lg2x2⋅lg2x8，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，则1x1+9x2的最小值为( )
A. 34B. 32C. 2D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x+1x，g(x)=2|x|，则下列选项中正确的有( )
A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数
C. f(x)的值域为[2,+∞)D. g(x)有最小值0
10.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且当x∈[−1,0)时，f(x)=−2x.则( )
A. f(x)在(3,5)上单调递增
B. y=f(x+1)为偶函数
C. f(x)的最小正周期T=4
D. f(x)所有零点的集合为{x|x=2n,n∈Z}
11.以下四个命题，其中是真命题的有( )
A. 命题“∀x∈R，sinx≥−1”的否定是“∃x∈R，sinx<−1”
B. 若a−1b
C. 函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(2,1)
D. 若某扇形的周长为6cm，面积为2cm2，圆心角为α(0<α<π)，则α=1
12.已知函数f(x)=|lga(x+1)|(a>1)，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B. 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
C. 函数f(x)在区间[−12,1]上的最小值为0
D. 若对任意x∈[1,2]，f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为 ．
14.若f(x)=x−1,x≥0|x3+1|,x<0，则f(f(−2))= ．
15.若角α的终边经过点P(−1, 3)，则cs(α−π2)= ______．
16.4sin80°−cs10°sin10∘等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|a−3≤x≤a+1}，B={x|x2−2x−15≥0}．
(1)当a=−2时，求A∩(∁RB)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知sinα+2csα=0．
(1)求sin2α+cs2α；
(2)若−π2<α<0<β<π，且cs(α+β)=−14，求csβ．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+m2x+n为定义在R上的奇函数．
(1)求实数m，n的值；
(2)解关于x的不等式f(2x2−6x)+f(3a−ax)20.(本小题12分)
某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，请解决下列问题：
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1h)？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
21.(本小题12分)
已知f(x)=cs(π−x)cs(π2+x)sin(x−3π2)sin(3π+x)sin(x−π)cs(π+x)．
(1)若f(α)=12，求sinαcsα+2sin2α的值．
(2)若f(α−β)=−2，f(β)=7，且α、β∈(0,π)，求2α−β的值．
22.(本小题12分)
定义：若对定义域内任意x，都有fx+a>fx(a为正常数)，则称函数fx为“a距”增函数．
(1)若fx=2x−x，x∈(0,+∞)，试判断fx是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若fx=x3−14x+4，x∈R是“a距”增函数，求a的取值范围；
(3)若fx=2x2+kx，x∈(−1,+∞)，其中k∈R，且为“2距”增函数，求fx的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查补集、交集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁UB)，由此能求出结果．
【解答】
解：全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={4,5,6,7,8}，
则图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁UB)={1,3}．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：(13)x<9=(13)−2，
则x>−2，
故“x>−1”是“(13)x<9”的充分不必要条件．
故选：B．
根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查指数函数的单调性，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在定理的应用，属于基础题．
利用零点存在定理可求得答案．
【解答】
解：∵f(x)= x−3x，
f(2)= 2−32<0，f(3)= 3−1>0，
∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)，
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵a=sin2∈(0,1)，
∴2a∈(1,2)，lg12a<0，a2∈(0,1)，
∴lg12a故选：C．
a=sin2∈(0,1)，根据指对幂函数单调性可解决此题．
本题考查指对幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，c>0时，结论成立，故A不正确；
对于B，a=−2，b=−1，满足a2>b2，但a对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；
对于D，a=−1，b=2，满足1a<1b，但a故选：C．
对于A，c>0时，结论成立；对于B，a=−2，b=−1，满足a2>b2，但a对于D，a=−1，b=2，满足1a<1b，但a本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由题意，利用二倍角的余弦公式，计算cs36°的值．
【解答】
解：由题意，2sin18°= 5−12，∴sin18°= 5−14，
∴cs36°=1−2sin218°=1−2×( 5−14)2=1−2×3− 58= 5+14，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：当M=7.0时，lgE1=4.8+1.5×7=15.3，所以E1=1015.3，
当M=9.0时，lgE2=4.8+1.5×9=18.3，所以E2=1018.3，
则E2E1=，
即日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的103倍，
故选：A．
分别令M=7.0，9.0求出对应的能量，然后利用指数的运算性质化简即可求解．
本题考查了指数，对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得x1⋅x2=16，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查对数函数的性质，二次函数性质，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为f(x)=lg2x2⋅lg2x8=(lg2x−1)(lg2x−3)=(lg2x)2−4lg2x+3，
又因为f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，
所以(lg2x1)2−4lg2x1+3=(lg2x2)2−4lg2x2+3，
lg2x1−lg2x2(lg2x1+lg2x2)−4lg2x1−lg2x2=0
即lg2x1−lg2x2lg2x1+lg2x2−4=0
因为x1≠x2,所以lg2x1−lg2x2≠0
所以lg2x1+lg2x2=4，即x1⋅x2=16，
所以1x1+9x2≥2 9x1x2=2×34=32，当仅当1x1=9x2，即x1=43，x2=12时取“=”，
故选：B．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=x+1x，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=−(x+1x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，A正确；
对于B，g(x)=2|x|，其定义域为R，由g(−x)=2|−x|=2|x|=g(x)，则函数g(x)为偶函数，B正确，
对于C，f(x)=x+1x，当x<0时，f(x)=−[(−x)+1−x]≤−2，故C错误；
对于D，g(x)=2|x|≥20=1，其最小值为1，D错误；
故选：AB．
根据题意，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意函数值域的求法，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和对称性、单调性与周期性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由奇函数的定义和周期函数的定义，推得f(x+4)=f(x)，可判断C；由已知区间上的函数可判断单调性，进而判断A；由f(x)的对称性和奇偶性的定义可判断B；由一个周期内的零点可判断D．
【解答】
解：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，
即有f(−x)=−f(x)=f(x+2)，
可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
则f(x)的最小正周期为T=4，故C正确；
当x∈[−1,0)时，f(x)=−2x，且为减函数，
由奇函数的性质可得f(x)在[0,1]上单调递减，
由f(x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)在[1,3]上单调递增，
由f(x)的周期性可得f(x)在(3,5)上单调递减，故A错误；
由f(x)=f(2−x)，可得f(−x+1)=f(x+1)，即y=f(x+1)为偶函数，故B正确；
f(x)在[−1,3]内的零点为0，2，则f(x)所有零点的集合为{x|x=2n,n∈Z}，故D正确．
故选：BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了全称量词命题的否定、不等式性质、对数函数的性质及扇形的弧长与面积公式，属于基础题．
根据全称量词命题的否定判断A，取例判断B，根据对数函数性质判断C，求出r，l判断D．
【解答】
解：A.命题“∀x∈R，sinx≥−1”的否定是“∃x∈R，sinx<−1”，故正确；
B.取a=−2，b=−1，满足a−1b，故错误；
C.函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(2,1)，故正确；
D.因为扇形的周长为6cm，面积为2cm2，
所以2r+l=612lr=2，解得：r=1l=4或r=2l=2，
所以α=1或α=4，
又因为0<α<π，
所以α=1，故正确；
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】解：对A：将(0,0)代入f(x)=|lga(x+1)|(a>1)，成立，故A正确；
对B：当x∈(0,+∞)时，x+1∈(1,+∞)，又a>1，所以f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)，
由复合函数单调性可得，当x∈(0,+∞)时，f(x)=|lga(x+1)|单调递增，故B错误；
对C：当x∈[−12,1]时，x+1∈[12,2]，则f(x)≥lga1=0，故C正确；
对D：当x∈[1,2]时，f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)>1恒成立，
所以由函数为增函数可知lga2>1即可，解得1故选：ACD．
代入验证可判断A，由复合函数的单调性可判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式可求解判断D．
本题考查对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】9
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．
先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】
解：半径r=l|α|=62=3，
根据扇形面积公式S=12|α|r2=12×2×32=9，
故答案为：9．
14.【答案】17
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，是基础题．
推导出f(−2)=|−23+1|=7，由f(f(−2))=f(7)，直接求解即可．
【解答】
解：∵f(x)=x−1,x≥0|x3+1|,x<0，
∴f(−2)=|−23+1|=7，
∴f(f(−2))=f(7)=7−1=17．
故答案为：17．
15.【答案】 32
【解析】解：∵角α的终边经过点P(−1, 3)，
∴|OP|= (−1)2+( 3)2=2，则sinα= 32，
∴cs(α−π2)=sinα= 32．
故答案为： 32．
由已知结合任意角的三角函数的定义及诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义与诱导公式的应用，是基础题．
16.【答案】− 3
【解析】解：4sin80°−cs10°sin10∘=4cs10°sin10°−cs10°sin10∘
=2sin20°−cs(30°−20°)sin10∘
=2sin20°−cs30°cs20°−sin30°sin20°sin10∘
=32sin20°− 32cs20°sin10°
= 3(sin20°cs30°−cs20°sin30°)sin10°
= 3sin(20°−30°)sin10°
=− 3．
故答案为：− 3．
将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了两角和与差的正弦、余弦公式的应用问题，是基础题目．
17.【答案】解：(1)a=−2时，集合A={x|a−3≤x≤a+1}={x|−5≤x≤−1}，
B={x|x2−2x−15≥0}={x|x≤−3或x≥5}，
∴∁RB={x|−3∴A∩(∁RB)={x|−3(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，
∴a+1≤−3或a−3≥5，解得a≤−4或a≥8，
∴实数a的取值范围是(−∞,−4]∪[8,+∞)．
【解析】本题考查集合的运算，考查补集、交集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)a=−2时，求出集合A，B，∁RB，再根据交集的定义求出A∩(∁RB)；
(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件，得到A⊆B，从而有a+1≤−3或a−3≥5，由此求出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)因为sinα+2csα=0，
所以tanα=−2，
所以sin2α+cs2α=2sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α=2tanα+1tan2α+1=2×(−2)+14+1=−35．
(2)因为−π2<α<0，
所以csα>0，sinα<0，
因为0<β<π，
所以α+β∈(−π2,π)，
因为cs(α+β)=−14<0，
所以α+β∈(π2,π)，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−(−14)2= 154，
又sinα=−2csα，sin2α+cs2α=1，
所以sinα=−2 5，csα=1 5，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=−14×1 5+ 154×(−2 5)=− 5+10 320．
【解析】本题主要考查了二倍角公式，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)根据已知条件求出tanα，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值．
(2)根据角的范围和cs(α+β)的正负确定α+β的范围，求出sin(α+β)，根据csβ=cs[(α+β)−α]即可求解．
19.【答案】解：(1)由于f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=1+m1+n=0，解得m=−1，
所以f(x)=2x−12x+n，因为f(−x)=−f(x)，
所以2−x−12−x+n=1−2x1+n⋅2x=−2x−12x+n，
即1−2x1+n⋅2x=1−2x2x+n，所以n=1，
所以f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1．
(2)由(1)得f(x)=1−22x+1，
任取x1由于0<2x1<2x2，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上单调递增，
不等式f(2x2−6x)+f(3a−ax)即f(2x2−6x)+f(3a−ax)<0，即f(2x2−6x)<−f(3a−ax)，
即f(2x2−6x)即2x2−(6+a)x+3a<0，即(2x−a)(x−3)<0，即(x−a2)(x−3)<0，
当a=6时，不等式即为(x−3)2<0，不等式的解集为空集；
当a>6时，a2>3，不等式的解集为(3,a2)；
当a<6时，a2<3，不等式的解集为(a2,3)．
【解析】(1)利用f(0)=0以及f(−x)=−f(x)求得m，n的值；
(2)利用函数的奇偶性、单调性化简不等式为2x2−(6+a)x+3a<0，再对a分类讨论，由此求得不等式的解集．
本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的判断，利用函数的性质解不等式，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由P=P0e−kt可知，当t=0时，P=P0；当t=5时，P=(1−10%)P0，
于是有(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，
那么P=P00.9t5．
所以当t=10时，P=0.81P0，即10h后还剩下81%的污染物．
(2)当P=50%P0时，有0.5P0=P00.9t5，
解得t=−5lg0.92=−5×lg2lg0.9=−5×lg22lg3−lg10≈33，
即污染减少50%大约需要花33h．
【解析】(1)根据t=0时P=P0得到t=5时P=(1−10%)P0，然后将t=5代入P=P0e−kt中得到(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，即可得到P=P00.9t5，然后将t=10代入求P即可；
(2)令P=50%P0，然后列方程求t即可．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=cs(π−x)cs(π2+x)sin(x−3π2)sin(3π+x)sin(x−π)cs(π+x)=(−csx)(−sinx)(csx)(−sinx)(−sinx)(−csx)=−csxsinx=−1tanx，
由已知，f(α)=−1tanα=12，得tanα=−2，
所以sinαcsα+2sin2α=sinαcsα+2sin2αsin2α+cs2α=tanα+2tan2αtan2α+1=−2+84+1=65；
(2)依题意，由f(α−β)=−2，f(β)=7可知tan(α−β)=12，tanβ=−17，
∴tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=12−171+114=13，
∴tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]=tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)tanα=1．
∵tanβ=−17<0，∴π2<β<π．
又∵tanα=13>0，∴0<α<π2．
∴−π<α−β<0．
而tan(α−β)=12>0，
∴−π<α−β<−π2．
∴2α−β∈(−π,0)．
∴2α−β=−3π4．
【解析】(1)利用诱导公式及同角基本关系先对已知函数进行化简，结合已知可求tanα，然后结合同角基本关系可求；
(2)由已知结合和差角的正切公式先求出tanα，进而可求tan(2α−β)，然后结合特殊角的三角函数可求．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)对任意的x∈(0,+∞)，f(x+1)−f(x)=(2x+1−x−1)−(2x−x)=2x−1，
∵x>0，
∴2x−1>0，
∴f(x+1)−f(x)>0，
故f(x)是“1距”增函数；
(2)∵f(x+a)−f(x)=(x+a)3−14(x+a)+4−x3+14x−4=3ax2+3a2x+a3−14a，
又f(x)为“a距”增函数，
∴3ax2+3a2x+a3−14a>0在x∈R上恒成立，
∵a为正常数，
∴3x2+3ax+a2−14>0在x∈R上恒成立，
∴Δ=9a2−12(a2−14)<0，
∴a2>1
∴a>1，
∴a的取值范围是1,+∞；
(3)∵f(x)=2x2+k|x|，x∈(−1,+∞)，其中k∈R，且为“2距”增函数，
∴当x>−1时，f(x+2)>f(x)恒成立，
∵y=2x增函数，
∴(x+2)2+k|x+2|>x2+k|x|
当x≥0时，(x+2)2+k(x+2)>x2+kx，即4x+4+2k>0恒成立，
∴4+2k>0，解得k>−2，
当−1x2−kx，即4x+4+2kx+2k>0恒成立，
∴(x+1)(k+2)>0，解得k>−2，
综上所述k>−2，
又y=x2+k|x|=(|x|+k2)2−k24，
∵x>−1，
∴|x|≥0，
当k≥0时，|x|=0，则y=(|x|+k2)2−k24的最小值为0，即函数f(x)的最小值为1，
当−2综上所述f(x)min=2−k24,−2【解析】本题考查了抽象函数的新定义问题，不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
(1)根据新定义，作差证明即可；
(2)根据新定义可得3x2+3ax+a2−14>0恒成立，再根据二次函数的性质即可求出a的范围；
(3)根据复合函数的单调性，只要求出(x+2)2+k|x+2|>x2+k|x|，函数的最小值，分类讨论，即可求出．
1.如图所示，已知全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. {1,3}
B. {5,7}
C. {1,3,5}
D. {1,3,7}
2.“x>−1”是“(13)x<9”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)= x−3x的零点所在的区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.设a=sin2，则( )
A. a2<2α
A. 若ac>bc，则a>bB. 若a2>b2，则a>b
C. 若 a> b，则a>bD. 若1a<1b，则a>b
6.将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割．黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域．黄金分割的比值为无理数 5−12该值恰好等于2sin18°，则cs36°=( )
A. 5−2B. 5−14C. 5+14D. 5−12
7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的倍．( )
A. 103B. 3C. lg3D. 10−3
8.已知函数f(x)=lg2x2⋅lg2x8，若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，则1x1+9x2的最小值为( )
A. 34B. 32C. 2D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x+1x，g(x)=2|x|，则下列选项中正确的有( )
A. f(x)为奇函数B. g(x)为偶函数
C. f(x)的值域为[2,+∞)D. g(x)有最小值0
10.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且当x∈[−1,0)时，f(x)=−2x.则( )
A. f(x)在(3,5)上单调递增
B. y=f(x+1)为偶函数
C. f(x)的最小正周期T=4
D. f(x)所有零点的集合为{x|x=2n,n∈Z}
11.以下四个命题，其中是真命题的有( )
A. 命题“∀x∈R，sinx≥−1”的否定是“∃x∈R，sinx<−1”
B. 若a
C. 函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(2,1)
D. 若某扇形的周长为6cm，面积为2cm2，圆心角为α(0<α<π)，则α=1
12.已知函数f(x)=|lga(x+1)|(a>1)，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B. 函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
C. 函数f(x)在区间[−12,1]上的最小值为0
D. 若对任意x∈[1,2]，f(x)>1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为 ．
14.若f(x)=x−1,x≥0|x3+1|,x<0，则f(f(−2))= ．
15.若角α的终边经过点P(−1, 3)，则cs(α−π2)= ______．
16.4sin80°−cs10°sin10∘等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|a−3≤x≤a+1}，B={x|x2−2x−15≥0}．
(1)当a=−2时，求A∩(∁RB)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知sinα+2csα=0．
(1)求sin2α+cs2α；
(2)若−π2<α<0<β<π，且cs(α+β)=−14，求csβ．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+m2x+n为定义在R上的奇函数．
(1)求实数m，n的值；
(2)解关于x的不等式f(2x2−6x)+f(3a−ax)
某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，请解决下列问题：
(1)10h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1h)？(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)
21.(本小题12分)
已知f(x)=cs(π−x)cs(π2+x)sin(x−3π2)sin(3π+x)sin(x−π)cs(π+x)．
(1)若f(α)=12，求sinαcsα+2sin2α的值．
(2)若f(α−β)=−2，f(β)=7，且α、β∈(0,π)，求2α−β的值．
22.(本小题12分)
定义：若对定义域内任意x，都有fx+a>fx(a为正常数)，则称函数fx为“a距”增函数．
(1)若fx=2x−x，x∈(0,+∞)，试判断fx是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若fx=x3−14x+4，x∈R是“a距”增函数，求a的取值范围；
(3)若fx=2x2+kx，x∈(−1,+∞)，其中k∈R，且为“2距”增函数，求fx的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查补集、交集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁UB)，由此能求出结果．
【解答】
解：全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={4,5,6,7,8}，
则图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁UB)={1,3}．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：(13)x<9=(13)−2，
则x>−2，
故“x>−1”是“(13)x<9”的充分不必要条件．
故选：B．
根据已知条件，结合指数函数的单调性，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查指数函数的单调性，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在定理的应用，属于基础题．
利用零点存在定理可求得答案．
【解答】
解：∵f(x)= x−3x，
f(2)= 2−32<0，f(3)= 3−1>0，
∴f(x)的零点所在的区间是(2,3)，
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵a=sin2∈(0,1)，
∴2a∈(1,2)，lg12a<0，a2∈(0,1)，
∴lg12a
a=sin2∈(0,1)，根据指对幂函数单调性可解决此题．
本题考查指对幂函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，c>0时，结论成立，故A不正确；
对于B，a=−2，b=−1，满足a2>b2，但a
对于D，a=−1，b=2，满足1a<1b，但a
对于A，c>0时，结论成立；对于B，a=−2，b=−1，满足a2>b2，但a
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由题意，利用二倍角的余弦公式，计算cs36°的值．
【解答】
解：由题意，2sin18°= 5−12，∴sin18°= 5−14，
∴cs36°=1−2sin218°=1−2×( 5−14)2=1−2×3− 58= 5+14，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：当M=7.0时，lgE1=4.8+1.5×7=15.3，所以E1=1015.3，
当M=9.0时，lgE2=4.8+1.5×9=18.3，所以E2=1018.3，
则E2E1=，
即日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的103倍，
故选：A．
分别令M=7.0，9.0求出对应的能量，然后利用指数的运算性质化简即可求解．
本题考查了指数，对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得x1⋅x2=16，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查对数函数的性质，二次函数性质，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为f(x)=lg2x2⋅lg2x8=(lg2x−1)(lg2x−3)=(lg2x)2−4lg2x+3，
又因为f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2)，
所以(lg2x1)2−4lg2x1+3=(lg2x2)2−4lg2x2+3，
lg2x1−lg2x2(lg2x1+lg2x2)−4lg2x1−lg2x2=0
即lg2x1−lg2x2lg2x1+lg2x2−4=0
因为x1≠x2,所以lg2x1−lg2x2≠0
所以lg2x1+lg2x2=4，即x1⋅x2=16，
所以1x1+9x2≥2 9x1x2=2×34=32，当仅当1x1=9x2，即x1=43，x2=12时取“=”，
故选：B．
9.【答案】AB
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=x+1x，其定义域为{x|x≠0}，有f(−x)=−(x+1x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，A正确；
对于B，g(x)=2|x|，其定义域为R，由g(−x)=2|−x|=2|x|=g(x)，则函数g(x)为偶函数，B正确，
对于C，f(x)=x+1x，当x<0时，f(x)=−[(−x)+1−x]≤−2，故C错误；
对于D，g(x)=2|x|≥20=1，其最小值为1，D错误；
故选：AB．
根据题意，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意函数值域的求法，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和对称性、单调性与周期性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由奇函数的定义和周期函数的定义，推得f(x+4)=f(x)，可判断C；由已知区间上的函数可判断单调性，进而判断A；由f(x)的对称性和奇偶性的定义可判断B；由一个周期内的零点可判断D．
【解答】
解：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，
即有f(−x)=−f(x)=f(x+2)，
可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
则f(x)的最小正周期为T=4，故C正确；
当x∈[−1,0)时，f(x)=−2x，且为减函数，
由奇函数的性质可得f(x)在[0,1]上单调递减，
由f(x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)在[1,3]上单调递增，
由f(x)的周期性可得f(x)在(3,5)上单调递减，故A错误；
由f(x)=f(2−x)，可得f(−x+1)=f(x+1)，即y=f(x+1)为偶函数，故B正确；
f(x)在[−1,3]内的零点为0，2，则f(x)所有零点的集合为{x|x=2n,n∈Z}，故D正确．
故选：BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了全称量词命题的否定、不等式性质、对数函数的性质及扇形的弧长与面积公式，属于基础题．
根据全称量词命题的否定判断A，取例判断B，根据对数函数性质判断C，求出r，l判断D．
【解答】
解：A.命题“∀x∈R，sinx≥−1”的否定是“∃x∈R，sinx<−1”，故正确；
B.取a=−2，b=−1，满足a
C.函数f(x)=lga(x−1)+1(a>0且a≠1)的图象过定点(2,1)，故正确；
D.因为扇形的周长为6cm，面积为2cm2，
所以2r+l=612lr=2，解得：r=1l=4或r=2l=2，
所以α=1或α=4，
又因为0<α<π，
所以α=1，故正确；
故选：ACD．
12.【答案】ACD
【解析】解：对A：将(0,0)代入f(x)=|lga(x+1)|(a>1)，成立，故A正确；
对B：当x∈(0,+∞)时，x+1∈(1,+∞)，又a>1，所以f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)，
由复合函数单调性可得，当x∈(0,+∞)时，f(x)=|lga(x+1)|单调递增，故B错误；
对C：当x∈[−12,1]时，x+1∈[12,2]，则f(x)≥lga1=0，故C正确；
对D：当x∈[1,2]时，f(x)=|lga(x+1)|=lga(x+1)>1恒成立，
所以由函数为增函数可知lga2>1即可，解得1
代入验证可判断A，由复合函数的单调性可判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C，由函数单调性建立不等式可求解判断D．
本题考查对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．
13.【答案】9
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．
先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】
解：半径r=l|α|=62=3，
根据扇形面积公式S=12|α|r2=12×2×32=9，
故答案为：9．
14.【答案】17
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，是基础题．
推导出f(−2)=|−23+1|=7，由f(f(−2))=f(7)，直接求解即可．
【解答】
解：∵f(x)=x−1,x≥0|x3+1|,x<0，
∴f(−2)=|−23+1|=7，
∴f(f(−2))=f(7)=7−1=17．
故答案为：17．
15.【答案】 32
【解析】解：∵角α的终边经过点P(−1, 3)，
∴|OP|= (−1)2+( 3)2=2，则sinα= 32，
∴cs(α−π2)=sinα= 32．
故答案为： 32．
由已知结合任意角的三角函数的定义及诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义与诱导公式的应用，是基础题．
16.【答案】− 3
【解析】解：4sin80°−cs10°sin10∘=4cs10°sin10°−cs10°sin10∘
=2sin20°−cs(30°−20°)sin10∘
=2sin20°−cs30°cs20°−sin30°sin20°sin10∘
=32sin20°− 32cs20°sin10°
= 3(sin20°cs30°−cs20°sin30°)sin10°
= 3sin(20°−30°)sin10°
=− 3．
故答案为：− 3．
将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了两角和与差的正弦、余弦公式的应用问题，是基础题目．
17.【答案】解：(1)a=−2时，集合A={x|a−3≤x≤a+1}={x|−5≤x≤−1}，
B={x|x2−2x−15≥0}={x|x≤−3或x≥5}，
∴∁RB={x|−3
∴a+1≤−3或a−3≥5，解得a≤−4或a≥8，
∴实数a的取值范围是(−∞,−4]∪[8,+∞)．
【解析】本题考查集合的运算，考查补集、交集、子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)a=−2时，求出集合A，B，∁RB，再根据交集的定义求出A∩(∁RB)；
(2)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件，得到A⊆B，从而有a+1≤−3或a−3≥5，由此求出实数a的取值范围．
18.【答案】解：(1)因为sinα+2csα=0，
所以tanα=−2，
所以sin2α+cs2α=2sinαcsα+cs2αsin2α+cs2α=2tanα+1tan2α+1=2×(−2)+14+1=−35．
(2)因为−π2<α<0，
所以csα>0，sinα<0，
因为0<β<π，
所以α+β∈(−π2,π)，
因为cs(α+β)=−14<0，
所以α+β∈(π2,π)，
所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)= 1−(−14)2= 154，
又sinα=−2csα，sin2α+cs2α=1，
所以sinα=−2 5，csα=1 5，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=−14×1 5+ 154×(−2 5)=− 5+10 320．
【解析】本题主要考查了二倍角公式，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)根据已知条件求出tanα，将要求的式子构造成关于正余弦的齐次式，将弦化为切即可求值．
(2)根据角的范围和cs(α+β)的正负确定α+β的范围，求出sin(α+β)，根据csβ=cs[(α+β)−α]即可求解．
19.【答案】解：(1)由于f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)=1+m1+n=0，解得m=−1，
所以f(x)=2x−12x+n，因为f(−x)=−f(x)，
所以2−x−12−x+n=1−2x1+n⋅2x=−2x−12x+n，
即1−2x1+n⋅2x=1−2x2x+n，所以n=1，
所以f(x)=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1．
(2)由(1)得f(x)=1−22x+1，
任取x1
不等式f(2x2−6x)+f(3a−ax)
即f(2x2−6x)
当a=6时，不等式即为(x−3)2<0，不等式的解集为空集；
当a>6时，a2>3，不等式的解集为(3,a2)；
当a<6时，a2<3，不等式的解集为(a2,3)．
【解析】(1)利用f(0)=0以及f(−x)=−f(x)求得m，n的值；
(2)利用函数的奇偶性、单调性化简不等式为2x2−(6+a)x+3a<0，再对a分类讨论，由此求得不等式的解集．
本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的判断，利用函数的性质解不等式，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由P=P0e−kt可知，当t=0时，P=P0；当t=5时，P=(1−10%)P0，
于是有(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，
那么P=P00.9t5．
所以当t=10时，P=0.81P0，即10h后还剩下81%的污染物．
(2)当P=50%P0时，有0.5P0=P00.9t5，
解得t=−5lg0.92=−5×lg2lg0.9=−5×lg22lg3−lg10≈33，
即污染减少50%大约需要花33h．
【解析】(1)根据t=0时P=P0得到t=5时P=(1−10%)P0，然后将t=5代入P=P0e−kt中得到(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，即可得到P=P00.9t5，然后将t=10代入求P即可；
(2)令P=50%P0，然后列方程求t即可．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)=cs(π−x)cs(π2+x)sin(x−3π2)sin(3π+x)sin(x−π)cs(π+x)=(−csx)(−sinx)(csx)(−sinx)(−sinx)(−csx)=−csxsinx=−1tanx，
由已知，f(α)=−1tanα=12，得tanα=−2，
所以sinαcsα+2sin2α=sinαcsα+2sin2αsin2α+cs2α=tanα+2tan2αtan2α+1=−2+84+1=65；
(2)依题意，由f(α−β)=−2，f(β)=7可知tan(α−β)=12，tanβ=−17，
∴tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=12−171+114=13，
∴tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]=tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)tanα=1．
∵tanβ=−17<0，∴π2<β<π．
又∵tanα=13>0，∴0<α<π2．
∴−π<α−β<0．
而tan(α−β)=12>0，
∴−π<α−β<−π2．
∴2α−β∈(−π,0)．
∴2α−β=−3π4．
【解析】(1)利用诱导公式及同角基本关系先对已知函数进行化简，结合已知可求tanα，然后结合同角基本关系可求；
(2)由已知结合和差角的正切公式先求出tanα，进而可求tan(2α−β)，然后结合特殊角的三角函数可求．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)对任意的x∈(0,+∞)，f(x+1)−f(x)=(2x+1−x−1)−(2x−x)=2x−1，
∵x>0，
∴2x−1>0，
∴f(x+1)−f(x)>0，
故f(x)是“1距”增函数；
(2)∵f(x+a)−f(x)=(x+a)3−14(x+a)+4−x3+14x−4=3ax2+3a2x+a3−14a，
又f(x)为“a距”增函数，
∴3ax2+3a2x+a3−14a>0在x∈R上恒成立，
∵a为正常数，
∴3x2+3ax+a2−14>0在x∈R上恒成立，
∴Δ=9a2−12(a2−14)<0，
∴a2>1
∴a>1，
∴a的取值范围是1,+∞；
(3)∵f(x)=2x2+k|x|，x∈(−1,+∞)，其中k∈R，且为“2距”增函数，
∴当x>−1时，f(x+2)>f(x)恒成立，
∵y=2x增函数，
∴(x+2)2+k|x+2|>x2+k|x|
当x≥0时，(x+2)2+k(x+2)>x2+kx，即4x+4+2k>0恒成立，
∴4+2k>0，解得k>−2，
当−1
∴(x+1)(k+2)>0，解得k>−2，
综上所述k>−2，
又y=x2+k|x|=(|x|+k2)2−k24，
∵x>−1，
∴|x|≥0，
当k≥0时，|x|=0，则y=(|x|+k2)2−k24的最小值为0，即函数f(x)的最小值为1，
当−2
(1)根据新定义，作差证明即可；
(2)根据新定义可得3x2+3ax+a2−14>0恒成立，再根据二次函数的性质即可求出a的范围；
(3)根据复合函数的单调性，只要求出(x+2)2+k|x+2|>x2+k|x|，函数的最小值，分类讨论，即可求出．
相关试卷
2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省福州市台江区高二上学期期中数学模拟试题（含解析）： 这是一份2023-2024学年福建省福州市台江区高二上学期期中数学模拟试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
