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专题18 尺规作图-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测）
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这是一份专题18 尺规作图-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测），文件包含专题18尺规作图教师版docx、专题18尺规作图学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
知识点01：基础作图
【高频考点精讲】
1、作一条线段等于已知线段（已经线段a）。
（1）步骤
①作射线OP；
②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求线段。
（2）作图原理：圆上的点到圆心的距离等于半径。
（3）适用情形
①已知三边作三角形；②作圆的内接正六边形。
2、作一个角等于已知角（已知∠α）。
（1）步骤
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交∠α的两边于点P、Q；
②作射线O′A；
③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N；
⑤过点N作射线O′B，则∠AO′B即为所求角。
（2）作图原理
①三边相等的两个三角形全等；
②全等三角形的对应角相等。
（3）适用情形
①过直线外一点作直线与已知直线平行；
②过三角形一边上一点作直线将其分成两个相似三角形。
3、作已知角的角平分线（已知∠AOB）。
（1）步骤
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N、M；
②分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 P；
③作射线OP，则OP即为所求角的平分线。
（2）作图原理
①三边相等的两个三角形全等；
②全等三角形的对应角相等；
③两点确定一条直线。
（3）适用情形
①作一点使得该点到角两边的距离相等；
②作三角形的内切圆。
4、作已知线段的垂直平分线（已知线段AB）。
（1）步骤
①分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M、N；
②过点M、N作直线，直线MN即为所求垂直平分线。
（2）作图原理
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
②两点确定一条直线。
（3）适用情形
①过三角形的一个顶点作直线平分三角形的面积；
②过不在同一直线上的三点作圆/作三角形的外接圆；
③作到已知两点距离相等的点。
5、过一点作已知直线的垂线（已知点P和直线l）。
【点P在直线l上】
（1）步骤
①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A、B两点；
②分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M、N；
③过点M、N作直线，直线MN即为所求垂线。
（2）作图原理
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
②两点确定一条直线。
（4）适用情形
①已知底边上的高线及腰长作等腰三角形；
②过直线外一点作与该直线相切的圆。
【点P在直线l外】
（1）步骤
①任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧；
②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A、B两点；
③分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径作弧，交点M同侧于点N；
④过点P、N作直线，直线PN即为所求垂线。
（2）作图原理
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
②两点确定一条直线。
（3）适用情形
①已知底边上的高线及腰长作等腰三角形；
②过直线外一点作与该直线相切的圆。
知识点02：应用与设计作图
【高频考点精讲】
理解题意，明确作图要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法进行作图。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5B．6C．D．8
解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，
由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，
∴四边形OCED为菱形，
∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，
由勾股定理得，CF＝＝3，
∴CD＝2CF＝6，
即C，D两点之间的距离为6．
故选：B．
2．（2分）（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（ ）
A．AE＝CFB．DE＝BFC．OE＝OFD．DE＝DC
解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；
无法证明DE＝CD，故D错误；
故选：D．
3．（2分）（2023•福建）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
4．（2分）（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A．B．C．D．4
解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB＝∠CDN＝90°，
∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，
∴∠CBT＝∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴＝，
∴BM•CN＝CD•CB＝3×4＝12，
∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
∴＝＝5，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，
∴JK＝JC，
∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，
∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，
∴JC＝KJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∵cs∠CBJ＝＝，
∴＝，
∴BT＝，
∵CN•BT＝12，
∴CN＝．
故选：A．
5．（2分）（2023•黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（ ）
A．2B．C．4D．
解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，
∴OB＝OC，DN＝CN，
∴ON＝BD，
∵AB＝9，AC＝AD＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，
∴ON＝×4＝2．
故选：A．
6．（2分）（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG＝∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故选：A．
7．（2分）（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH，
∵AB＝AG＝4，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴∠AGB＝∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG＝∠CHB，
∴∠CBH＝∠CHB，
∴CH＝CB＝9．
故选：C．
8．（2分）（2023•湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
解：过P作PB⊥OB于B，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形AEOF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四边形OEPF＝OE•PB＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
9．（2分）（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝ACB．AG⊥BCC．∠DGB＝∠EGCD．AG＝AC
解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
10．（2分）（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 30 °．
解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD＝30°．
故答案为：30．
12．（2分）（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案为：．
13．（2分）（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
14．（2分）（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 4 ．
解：延长NM交AD于点Q，
由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，
∴DM＝ME，
∴MN∥AB，
∴DQ＝AQ，CN＝BN，
∴QM＝2，
在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴四边形CDQN是平行四边形，
∴QN＝CD＝AB＝6，
∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．
故答案为：4．
15．（2分）（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 56° ．
解：由作图可知CD垂直平分线段AB，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵a∥b，
∴∠ADC＝∠BCD＝34°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，
∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．
故答案为：56°．
16．（2分）（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 6 ．
解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
∵MN⊥BC，BN＝CN，
∴MB＝MC，
∴∠B＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠B，
∵∠CAM＝∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC：AB＝AM：AC，
∵AM＝4，BM＝5，
∴AB＝AM+BM＝9，
∴AC：9＝4：AC，
∴AC＝6．
故答案为：6．
17．（2分）（2023•营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝ 4 ．
解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
∵CA＝5，
∴AE＝＝＝4，
故答案为：4．
18．（2分）（2023•东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 12 ．
解：如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．
由作图可知CG平分∠ACB，
∵GM⊥AC，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∵S△BCG＝•BC•GN＝8，BC＝6，
∴GN＝，
∴GN＝GM＝，
∴S△AGC＝•AC•GM＝×9×＝12，
故答案为：12．
19．（2分）（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝ ．
解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，
∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，
在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝CD＝4，
∴AF＝EF＝2，
∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，
S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝，
S△BCG＝12.5x，
∴＝＝，
故答案为：．
20．（2分）（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． ．
解：（1）AB＝＝．
故答案为：；
（2）如图，点Q即为所求；
方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，
∵AC＝CB，
∴△ACP≌△BAQ（ASA），
∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
（1）解：如图：
过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴BD＝BF．
22．（6分）（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
23．（8分）（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
解：如图：
24．（8分）（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
解：如图：
图①△ABC即为所求锐角三角形；
图②△ABD即为所求直角三角形；
图③△ABCF为所求钝角三角形．
25．（8分）（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 3﹣π ．
解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
26．（8分）（2023•朝阳）如图1，在▱ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于▱ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
解：（1）小明所作的四边形EFGH是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCH，
在△AOF和△COH中，
，
∴△AOF≌△COH（ASA），
∴OF＝OH，
同理可得OE＝OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半．
理由如下：
∵FH∥AD，AB∥CD，
∴四边形AFHD为平行四边形，
∴FH＝AD，
∵菱形EFGH的面积＝FH•EG，平行四边形ABCD的面积＝AD•EG，
∴菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．
27．（8分）（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
解：如图：
（1）∵AC是圆的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝5，
由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴DB为⊙O的切线；
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．
28．（8分）（2023•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．
（1）在图①中，△ABC的面积为；
（2）在图②中，△ABC的面积为5；
（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．
解：如图：
（1）如图①：△ABC即为所求；
（2）如图②：△ABC即为所求；
（3）如图③：△ABC即为所求
小明的作法
①如图2，连接AC，BD相交于点O．
②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．
③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．
④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
知识点01：基础作图
【高频考点精讲】
1、作一条线段等于已知线段（已经线段a）。
（1）步骤
①作射线OP；
②以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，则OA即为所求线段。
（2）作图原理：圆上的点到圆心的距离等于半径。
（3）适用情形
①已知三边作三角形；②作圆的内接正六边形。
2、作一个角等于已知角（已知∠α）。
（1）步骤
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交∠α的两边于点P、Q；
②作射线O′A；
③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交步骤3中的弧于点N；
⑤过点N作射线O′B，则∠AO′B即为所求角。
（2）作图原理
①三边相等的两个三角形全等；
②全等三角形的对应角相等。
（3）适用情形
①过直线外一点作直线与已知直线平行；
②过三角形一边上一点作直线将其分成两个相似三角形。
3、作已知角的角平分线（已知∠AOB）。
（1）步骤
①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N、M；
②分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点 P；
③作射线OP，则OP即为所求角的平分线。
（2）作图原理
①三边相等的两个三角形全等；
②全等三角形的对应角相等；
③两点确定一条直线。
（3）适用情形
①作一点使得该点到角两边的距离相等；
②作三角形的内切圆。
4、作已知线段的垂直平分线（已知线段AB）。
（1）步骤
①分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M、N；
②过点M、N作直线，直线MN即为所求垂直平分线。
（2）作图原理
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
②两点确定一条直线。
（3）适用情形
①过三角形的一个顶点作直线平分三角形的面积；
②过不在同一直线上的三点作圆/作三角形的外接圆；
③作到已知两点距离相等的点。
5、过一点作已知直线的垂线（已知点P和直线l）。
【点P在直线l上】
（1）步骤
①以点P为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于A、B两点；
②分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M、N；
③过点M、N作直线，直线MN即为所求垂线。
（2）作图原理
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
②两点确定一条直线。
（4）适用情形
①已知底边上的高线及腰长作等腰三角形；
②过直线外一点作与该直线相切的圆。
【点P在直线l外】
（1）步骤
①任意取一点M，使点M和点P在直线l的两侧；
②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于A、B两点；
③分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB长为半径作弧，交点M同侧于点N；
④过点P、N作直线，直线PN即为所求垂线。
（2）作图原理
①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
②两点确定一条直线。
（3）适用情形
①已知底边上的高线及腰长作等腰三角形；
②过直线外一点作与该直线相切的圆。
知识点02：应用与设计作图
【高频考点精讲】
理解题意，明确作图要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法进行作图。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（ ）
A．5B．6C．D．8
解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，
由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，
∴四边形OCED为菱形，
∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，
由勾股定理得，CF＝＝3，
∴CD＝2CF＝6，
即C，D两点之间的距离为6．
故选：B．
2．（2分）（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（ ）
A．AE＝CFB．DE＝BFC．OE＝OFD．DE＝DC
解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；
无法证明DE＝CD，故D错误；
故选：D．
3．（2分）（2023•福建）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
4．（2分）（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A．B．C．D．4
解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB＝∠CDN＝90°，
∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，
∴∠CBT＝∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴＝，
∴BM•CN＝CD•CB＝3×4＝12，
∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
∴＝＝5，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，
∴JK＝JC，
∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，
∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，
∴JC＝KJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∵cs∠CBJ＝＝，
∴＝，
∴BT＝，
∵CN•BT＝12，
∴CN＝．
故选：A．
5．（2分）（2023•黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（ ）
A．2B．C．4D．
解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，
∴OB＝OC，DN＝CN，
∴ON＝BD，
∵AB＝9，AC＝AD＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，
∴ON＝×4＝2．
故选：A．
6．（2分）（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG＝∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故选：A．
7．（2分）（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（ ）
A．6B．8C．9D．10
解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH，
∵AB＝AG＝4，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴∠AGB＝∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG＝∠CHB，
∴∠CBH＝∠CHB，
∴CH＝CB＝9．
故选：C．
8．（2分）（2023•湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
解：过P作PB⊥OB于B，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形AEOF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝x cm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四边形OEPF＝OE•PB＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
9．（2分）（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝ACB．AG⊥BCC．∠DGB＝∠EGCD．AG＝AC
解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
10．（2分）（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 30 °．
解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD＝30°．
故答案为：30．
12．（2分）（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案为：．
13．（2分）（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
14．（2分）（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 4 ．
解：延长NM交AD于点Q，
由作图得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，
∴DM＝ME，
∴MN∥AB，
∴DQ＝AQ，CN＝BN，
∴QM＝2，
在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，
∴四边形CDQN是平行四边形，
∴QN＝CD＝AB＝6，
∴MN＝NQ﹣MQ＝6﹣2＝4．
故答案为：4．
15．（2分）（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 56° ．
解：由作图可知CD垂直平分线段AB，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵a∥b，
∴∠ADC＝∠BCD＝34°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，
∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．
故答案为：56°．
16．（2分）（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 6 ．
解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
∵MN⊥BC，BN＝CN，
∴MB＝MC，
∴∠B＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠B，
∵∠CAM＝∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC：AB＝AM：AC，
∵AM＝4，BM＝5，
∴AB＝AM+BM＝9，
∴AC：9＝4：AC，
∴AC＝6．
故答案为：6．
17．（2分）（2023•营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝ 4 ．
解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
∵CA＝5，
∴AE＝＝＝4，
故答案为：4．
18．（2分）（2023•东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 12 ．
解：如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．
由作图可知CG平分∠ACB，
∵GM⊥AC，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∵S△BCG＝•BC•GN＝8，BC＝6，
∴GN＝，
∴GN＝GM＝，
∴S△AGC＝•AC•GM＝×9×＝12，
故答案为：12．
19．（2分）（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝ ．
解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，
∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，
在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝CD＝4，
∴AF＝EF＝2，
∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，
S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝，
S△BCG＝12.5x，
∴＝＝，
故答案为：．
20．（2分）（2023•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 ；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． ．
解：（1）AB＝＝．
故答案为：；
（2）如图，点Q即为所求；
方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，
∵AC＝CB，
∴△ACP≌△BAQ（ASA），
∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
（1）解：如图：
过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴BD＝BF．
22．（6分）（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
23．（8分）（2023•广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
解：如图：
24．（8分）（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
解：如图：
图①△ABC即为所求锐角三角形；
图②△ABD即为所求直角三角形；
图③△ABCF为所求钝角三角形．
25．（8分）（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 3﹣π ．
解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
26．（8分）（2023•朝阳）如图1，在▱ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于▱ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
解：（1）小明所作的四边形EFGH是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCH，
在△AOF和△COH中，
，
∴△AOF≌△COH（ASA），
∴OF＝OH，
同理可得OE＝OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半．
理由如下：
∵FH∥AD，AB∥CD，
∴四边形AFHD为平行四边形，
∴FH＝AD，
∵菱形EFGH的面积＝FH•EG，平行四边形ABCD的面积＝AD•EG，
∴菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．
27．（8分）（2023•深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
解：如图：
（1）∵AC是圆的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝5，
由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴DB为⊙O的切线；
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．
28．（8分）（2023•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．
（1）在图①中，△ABC的面积为；
（2）在图②中，△ABC的面积为5；
（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．
解：如图：
（1）如图①：△ABC即为所求；
（2）如图②：△ABC即为所求；
（3）如图③：△ABC即为所求
小明的作法
①如图2，连接AC，BD相交于点O．
②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．
③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．
④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
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