3第九章 统计 章节综合检测（新高考专版，综合卷）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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1．（2023·全国·高一专题练习）从某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生的成绩是（ ）
A．总体B．个体
C．从总体中所取的一个样本D．总体的容量
【答案】C
【详解】由题知，总体是5000名学生的成绩，
个体是每一名学生的成绩，
200名学生的成绩是从总体中所取的一个样本,
总体的容量为5000.
故选：C
2．（2023·江苏·高一专题练习）某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ）
A．30个B．40个C．60个D．70个
【答案】C
【详解】设质量指标在区间内的零件应抽取个，则
，解得，
故选：C．
3．（2023·全国·高一专题练习）某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了从事芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过
B．芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的
C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
【答案】C
【详解】对于选项A，芯片、软件行业从业者中“90后”人数占总人数的，故选项A正确；
对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数占总人数的，故选项B正确；
对于选项C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”人数占总人数的，“80后”人数占总人数的，但从事技术岗位的“80后”人数占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，故选项C错误；
对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”人数占总人数，“80前”人数占总人数的，故选项D正确．
故选:C
4．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为（ ）
A．2和3B．0和2C．0和3D．2和4
【答案】C
【详解】，
，
故.①
甲的中位数为：，
故乙的中位数，②
所以由①②得，.
故选：C.
5．（2023春·广东韶关·高二校考期中）若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：设的平均值为，方差为，
因为样本的平均值是5，方差是3，
所以，
因为样本的平均值是9，标准差是b，
所以，，
所以
故选：D
6．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）如图是某位篮球运动员在7场比赛中得分的茎叶图．则该运动员在这7场比赛中得分的方差满足（ ）．（所有数据精确到0.01）
A．最大值为32.12B．最小值为31.39
C．最大值为31.06D．最小值为29.84
【答案】A
【详解】由题意知，，
代入方差公式
开口向上，对称轴，因为，
所以当时，方差取最小值，
当时，方差取最大值，
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能通过试用期的有（ ）
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
【答案】A
【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；
对于乙：设乙每天的合格品件数为，则，
即.若乙有不止一天的合格品数低于21，，不合题意；
若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取，，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；
对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；
所以甲、乙一定能通过，A正确；
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地，均值为4，中位数为5B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2D．丁地：极差为，分位数为8
【答案】C
【详解】不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为，，，，
且，其中，
选项A：若不达标，则，因为中位数为5，所以，
又因为均值为4，故，从而，且，则，，，满足题意，从而甲地有可能不达标；故A错误；
选项B：由众数和中位数定义易知，当，，，时，乙地不达标，故B错误；
选项C：若不达标，则，由均值为7可知，则其余七个数中至少有一个数不等于7，
由方差定义可知，，这与方差为2矛盾，从而丙地一定达标，故C正确；
选项D：由极差定义和百分位数定义可知，当，时，丁地不达标，故D错误.
故选：C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）某市举行高三学生数学素养测试，现从全市3万名学生中随机抽取200学生的测试成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组分组区间为，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．估计该样本的均值是87.25分
C．估计该样本的第百分位数是87.5分
D．若90分及以上评定为素养考核优秀，则全市数学素养优秀的学生约6000人
【答案】AB
【详解】由频率分布直方图，可知
，解得，故正确.
由频率分布直方图，可估计样本的均值是
，故B正确.
由频率分布直方图可知第1到5组的频率依次为，
所以第百分位数在区间内，
设样本的第百分位数为，解得，故C错误.
的频率为，所以全市数学素养优秀的学生约人，故D错误.
故选：AB
10．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知总体划分为三层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，得到各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．记第一层的每一个数据为（…），则有
D．
【答案】BCD
【详解】，A错，B正确．
，
所以，C正确；
，
所以
D正确．
故选：BCD．
11．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．这10天中PM2.5日均值的众数为33
B．这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36
C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差
【答案】AB
【详解】由折线图得，这10天中所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33， A选项正确;
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
，第75百分位数是从小到大排序第个数36，B选项正确;
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
则中间两个数为31，33，所以中位数为，
平均数为，
所以平均数大于中位数，故C错误；
前4天的平均数为，
后4天的平均数为，
所以前4天的方差为
，
后4天的方差为
，
因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D选项错误;
故选：AB
12．（2023·全国·高三专题练习）小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的有（ ）
A．用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是
B．这10个分数的第60百分位数为91
C．这10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小
【答案】BD
【详解】从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A错误；
，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；
对于C选项：这10个数的平均数为．
因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；
对于D选项：
10个数的方差为．
去掉70和10后，平均数为，
方差为，
，，所以D正确．
故选： BD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023·广西玉林·统考模拟预测）欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______.
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】
【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，19（重复划掉），50，……，第4个被抽取的样本的编号为50.
故答案为：50.
14．（2023·黑龙江大庆·统考三模）某校学生参与“保护地球”知识问答活动，满分20分，根据学生的作答成绩绘制的频率分布直方图如图所示，请据此估计学生成绩的第60百分位数为___________．
【答案】14
【详解】由图可知第一组的频率为，
前两组的频率之和为，
则可知其第60百分位数在内，设为，
则，解得．
故答案为：14．
15．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间具有关系．检测这种药品一个批次的个样本，得到成分甲的平均值为克，标准差为，则估计这批中医药的药物功效的平均值为________________．
【答案】
【详解】设这个样本中成分甲的含量分别为，平均值为，
则，所以，
所以，
所以，
于是，
则．
故答案为：
16．（2022·高一课时练习）在高一年级学生身高的调查中，采用分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.用这些数据对高一年级全体学生的身高平均值为_______，方差________.
【答案】 165.2 51.49
【详解】记男生身高为，平均数记为，方差为；
女生身高为，平均记为 .
总体方差为；总体平均数记为，方差为.
则
根据方差的定义，总样本方差为：
由，可得
，
同理可得：，
因此，
故答案为：165.2，51.49
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下：
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别计算以上两组数据的方差；
(3)根据计算结果，对甲乙两人的射击成绩作出评价.
【答案】(1)甲乙的平均数都为7；
(2)甲的方差为3，乙的方差为1.2；
(3)甲乙平均成绩一样，但乙的成绩比甲稳定.
【详解】（1）甲的平均数，
乙的平均数.
（2）甲的方差为，
乙的方差为.
（3）由（1）知：，由（2）知：，
所以甲乙平均成绩一样，但乙的成绩比甲稳定.
18．（2022秋·贵州遵义·高一统考期末）某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照分成5组，制成如下频率分布直方图：
(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中a的值；
(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数．
【答案】(1)50，40，10
(2)0.020
(3)82.5
【详解】（1）老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为，
故抽取100人，样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人；
（2），
解得：；
（3）设当天游客满意度分值的75%分位数为，
因为，，
所以位于区间内，
则，解得：，
所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为.
19．（2023·全国·高一专题练习）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）
(2)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则分数段抽取的人数是多少？
【答案】(1)平均数为，众数为75，中位数为
(2)6
【详解】（1）由图可知众数为75，
因为，解得，
设中位数为，
所以，解得，
所以中位数为，
平均数为
（2）因为总人数有60人，抽取20人，
所以抽取比例为，
因为60人中分数段人数为人，
所以分数段抽取的人数是.
20．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

(1)求实数的值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；
【答案】(1)0.005
(2)
(3)91分
【详解】（1）由，可得
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90，100]的占比为5%，
位于区间[80，90]的占比为20%，
估计等级A的原始分区间的最低分为，
所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[85，98]
（3）由，解得，该学生的等级分为91分
21．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）某果园试种了 两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由.
【答案】(1)A品种极差为，中位数为60；B品种极差为，中位数为60
(2)，，，
(3)应该选种品种桃树，理由见解析
【详解】（1）这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为，
这10棵A品种桃树产量的极差为，中位数为，
这10棵B品种桃树产量从小到大分别为20，40，，
这10棵B品种桃树产量的极差为，中位数为.
（2），
，
（3）由第一问可知这两个品种极差和中位数都相等， 由第二问可知，，
则品种桃树平均产量高，波动小，
所以应该选种品种桃树.
22．（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考阶段练习）某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.
（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：个，）的函数解析式；
（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；
（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.
【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为；（3）一定要停止，理由见解析
【详解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润，
当天需求量时，当天的利润.
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为:，.
（2）由题意可得：
所以这30天的日利润的平均数为（元），
方差为.
（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：
由，
可得，
所以（，，），所以，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
（单位/kg）
60
50
40
60
70
80
70
30
50
90
（单位/kg）
40
60
50
80
80
50
60
20
80
70
日需求量n
28
29
30
31
32
33
频数
3
4
6
6
7
4
日需求量n
28
29
30
31
32
33
日利润
54
57
60
60
60
60
频数
3
4
6
6
7
4