2023-2024学年海南省海口市海南中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海口市海南中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|2x<8}，则A∩B=( )
A. {x|−2≤x≤4}B. {x|−4≤x≤2}C. {x|−2≤x<3}D. {x|−4≤x<3}
2.函数D(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，则D(D( 2))=( )
A. 2B. 2C. 1D. 0
3.函数f(x)=1x−2+ln(x−1)的定义域为( )
A. (1,+∞)B. (1,2)∪(2,+∞)C. (−∞,1)D. (0,2)∪(2,+∞)
4.函数f(x)=1|x|−x的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A. f(x)=2xB. f(x)=x2+2 2x+2
C. f(x)=x+1x−3D. f(x)=lnx+3
6.函数f(x)的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)均有f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，若f(1−a)>f(2a−1)，则正实数a的取值范围为( )
A. (−∞,0)∪(23,+∞)B. (23,+∞)
C. (0,23)D. (0,23]
7.已知sin(π4+α)=2sin(π4−α)，则sin2α=( )
A. 12B. 35C. 34D. 45
8.已知函数f(x)=|ln(−x)|,x<0x2−4x+1,x≥0，若函数g(x)=f(x)−m有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1A. −1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “ab>1”是“a>1，b>1”的必要不充分条件
B. “幂函数f(x)=(3m2−11)xm在(0,+∞)上单调递减”的充要条件为“m=2”
C. 命题p：∀x∈R，x3+3x−1>0的否定¬p为：∀x∈R，x3+3x−1≤0
D. 已知一扇形的圆心角α=60°，且其所在圆的半径r=5，则扇形的弧长为5π3
10.已知函数f(x)=tan(π2x+π4)+1，则( )
A. f(x)的一个周期为2B. f(x)的定义域是{x|x≠12+k,k∈Z}
C. f(x)的图象关于点(12,1)对称D. f(x)在区间[1,2]上单调递增
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,1)∪(5,+∞)，则( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集是{x|x>56}
C. a+b+c>0
D. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x>−15或x<−1}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csα=35，α∈(−π2,0)，则cs(π2+α)= ______．
13.已知x，y均是正实数，且2x+y=1，则1x+1y的最小值是______．
14.已知函数f(x)=2cs(2ωx+π3)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______．
四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π4]上的值域．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x+12x+a为奇函数．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求关于x的不等式f(x)>3的解集；
(Ⅲ)设函数g(x)=lg2x2⋅lg2x4+m，若对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1]，使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，
B={x|2x<8}={x|x<3}，
则A∩B={x|−2≤x<3}．
故选：C．
先求出集合A，B中元素范围，再求交集即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可知 2∉Q,0∈Q⇒D( 2)=0，∴D(D( 2))=D(0)=1．
故选：C．
利用定义结合分段函数性质计算即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，x−2≠0x−1>0，
解得x>1且x≠2，
即函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞)．
故选：B．
由题意可得x−2≠0x−1>0，求出x的范围即可．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：当x>0时，f(x)=1x−x，
因为y=1x和y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=1x−x在(0,+∞)上单调递减，排除选项A，B，D，只有选项C符合题意．
故选：C．
当x>0时，f(x)=1x−x，考虑其单调性，即可得解．
本题考查函数的图象，一般可从函数的单调性，奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；
对于A，f(x)=2x有唯一零点x=0，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，f(x)=x2+2 2x+2=(x+ 2)2有唯一零点x=− 2，
但y=(x+ 2)2≥0恒成立，故不可用二分法求零点；
对于C，f(x)=x+1x−3有两个不同零点x=3± 52，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；
对于D，f(x)=lnx+3有唯一零点x=e−3，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点．
故选：B．
利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解．
本题主要考查二分法的应用，考查计算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)均有f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，所以f(x)在R上单调递减，
又f(1−a)>f(2a−1)，所以1−a<2a−1，
解不等式得a>23，则正实数a的取值范围为(23,+∞)．
故选：B．
根据题意，分析可得f(x)在R上单调递减，又f(1−a)>f(2a−1)，所以1−a<2a−1，解不等式即可得解．
本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为sin(π4+α)=2sin(π4−α)，
所以 22(sinα+csα)=2× 22(csα−sinα)，
得csα=3sinα，
显然csα≠0，
所以tanα=13，
而sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanα1+tan2α=231+(13)2=35．
故选：B．
根据正弦的和差角公式展开可计算出tanα，把sin2α转化成齐次式再运用弦化切的思想即可求解．
本题考查了正弦的和差角公式，重点考查了二倍角公式，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为函数g(x)=f(x)−m有四个不同的零点，
所以f(x)=m有四个不同的解，即函数y=f(x)与y=m有四个不同的交点，
作出函数y=f(x)与y=m的图象如图所示：
又x=0时，f(0)=1，由图象可得0由|ln(−x)|=1，得x=−1e或x=−e，所以由图象可得−1由图象可得x1<−1，所以|ln(−x1)|=|ln(−x2)|，即ln(−x1)=−ln(−x2)，
即ln(x1x2)=0，所以x1x2=1，故C错误；
又x3，x4关于x=2对称，故x3+x4=4，故D错误．
故选：A．
由题意可得函数y=f(x)与y=m有四个不同的交点，作出函数y=f(x)与y=m的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A项，ab>1，则有可能a=100，b=110，则充分性不成立，
但若a>1，b>1，一定有ab>1，必要性成立，则A项正确；
B项，幂函数f(x)=(3m2−11)xm，则3m2−11=1，m=±2，
又f(x)=(3m2−11)xm在(0,+∞)上单调递减，
则m<0，则m=−2，B项错误；
C项，∀x∈R，x3+3x−1>0的否定¬p为：∃x∈R，x3+3x−1≤0，C项错误；
D项，扇形的圆心角α=60°，即π3，且其所在圆的半径r=5，
则扇形的弧长为π3⋅5=5π3，D项正确．
故选：AD．
A，C项，按照简易逻辑的有关知识判断即可，B项，根据幂函数的性质判断，D项，根据弧长公式计算即可．
本题考查简易逻辑的有关性质，考查扇形弧长，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f(x)=tan(π2x+π4)+1，有f(x+2)=tan[π2(x+2)+π4]=tan(π2x+π+π4)=tan(π2x+π4)=f(x)，
则f(x)的一个周期为2，A正确；
对于B，函数f(x)=tan(π2x+π4)+1，有π2x+π4≠kπ+π2，解可得x≠2k+12，k∈Z，
即f(x)的定义域为{x|x≠2k+12,k∈Z}，B错误；
对于C，函数f(x)=tan(π2x+π4)+1，有π2x+π4≠kπ2，解可得x=k−12，
即函数f(x)的图象关于点(k−12,1)对称，其中一个对称中心为(12,1)，C正确；
对于D，设t=π2x+π4，y=tant+1，
在区间[1,2]上，t=π2x+π4为增函数，且34π≤t≤54π，
y=tant+1在[34π,54π]上为增函数，
故f(x)在区间[1,2]上为增函数，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由正切函数的周期性分析A，由正切函数的定义域分析B，由正切函数的对称性分析C，由复合函数的单调性分析D，综合可得答案．
本题考查正切函数的性质，涉及三角函数的图象变换，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：由题意可得：1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，
由韦达定理可得1+5=−ba,1×5=ca，得b=−6a，c=5a，
因为a<0，故A不正确；
对于B，不等式bx+c>0，即−6ax+5a>0，即6x−5>0，得x>56，
∴不等式bx+c>0的解集是{x|x>56}，故B正确；
对于C，a+b+c=a−6a+5a=0，故C不正确；
对于D，由不等式cx2−bx+a<0，得a(5x2+6x+1)<0，即5x2+6x+1>0，
则(5x+1)(x+1)>0，得x>−15或x<−1，即解集为{x|x>−15或x<−1}，故D正确．
故选：BD．
由题意可得1和5是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，利用韦达定理可得b，c与a的关系，然后逐项判断可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法，考查学生的数学运算能力，属中档题．
12.【答案】45
【解析】解：已知csα=35，α∈(−π2,0)，
则cs(π2+α)=−sinα= 1−cs2α=45．
故答案为：45．
由诱导公式，结合同角三角函数的关系求解．
本题考查了诱导公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．
13.【答案】3+2 2
【解析】解：∵2x+y=1，∴1x+1y=(1x+1y)(2x+y)=2+yx+2xy+1
∵x，y为正实数，∴yx+2xy≥2 yx2xy=2 2
∴2+yx+2xy+1≥3+2 2
∴1x+1y的最小值为3+2 2
故答案为：3+2 2
先将1x+1y乘以2x+y，然后利用基本不等式即可求出1x+1y的最小值．
本题主要考查了基本不等式的应用，同时考查了“1”的活用，属于基础题．
14.【答案】[712,1312)
【解析】解：当x∈[0,π]时，2ωx+π3∈[π3,2πω+π3]，
因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点，所以，3π2≤2πω+π3<5π2，解得712≤ω<1312．
故答案为：[712,1312)．
根据x的范围求出2ωx+π3的范围，再根据余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解．
本题考查了余弦函数的性质，涉及到余弦函数零点问题，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x−1
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
令2kπ−π2≤2x+π6≤π2+2kπ，得kπ−π3≤x≤π6+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,π6+kπ]，k∈Z；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，得到f(x−π6)=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到g(x)=2sin(4x−π6)，
当x∈[0,π4]，可得4x−π6∈[−π6,5π6]，
所以g(x)的值域[−1,2]．
【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x+π6)，利用正弦函数的单调性即可求解；
(2)将利用三角函数的图象变换可求g(x)=2sin(4x−π6)，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
16.【答案】解：(Ⅰ)由已知函数需满足2x+a≠0，
∵函数f(x)=2x+12x+a为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
即2−x+12−x+a=−2x+12x+a在R上恒成立，
即(a+1)(2x+1)=0，a=−1．
(Ⅱ)解法一：由(1)知f(x)=2x+12x−1=1+22x−1，
∴函数f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调减，
且当x∈(−∞,0)时，f(x)<0，当x∈(0,+∞)时，f(x)>0，
∴f(x)>3=f(1)，解得0∴此时不等式的解集为{x|0解法二：∵f(x)=2x+12x−1>3，
令t=2x，则2x+12x−1>3可化简为t+1t−1>3，
即2t−4t−1<0，
解得1∴此时不等式的解集为{x|0(Ⅲ)由(Ⅱ)得f(x)=2x+12x−1在x∈(0,1]的值域A=[3,+∞)，
又g(x)=lg2x2⋅lg2x4+m=(lg2x−1)(lg2x−2)+m，x∈[2,8]，
设t=lg2x，t∈[1,3]，则y=(t−1)(t−2)+m=t2−3t+2+m，
当t=32时，取最小值为−14+m，当x=3时，取最大值为2+m，
即g(x)在x∈[2,8]上的值域B=[−14+m,2+m]，
又对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1]，使得g(x1)=f(x2)成立，
即B⊆A，
∴−14+m≥3，
解得m≥134，即m的取值范围是[134,+∞)．
【解析】(Ⅰ)利用奇函数的定义求解a的值
(Ⅱ)解法一：判断函数的单调性，由函数的单调性求解不等式的解集即可；
解法二：利用换元法，令t=2x，解分式不等式，求出t的取值范围，再由指数函数的性质即可得解；
(Ⅲ)计算出f(x)及g(x)的值域后，对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1]，使得g(x1)=f(x2)成立即为g(x)的值域为f(x)的值域的子集，计算即可得．
本题主要考查函数恒成立问题，不等式的解法，奇函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．