专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一
正、余弦定理判定三角形形状
1．（2023上·辽宁大连·高三校联考期中）已知a,b,c是△ABC的内角A,B,C的对边，AD是BC边上的中线，设∠BAD=α，且α+C=90°.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若b=8,c=6，试求∠ADC的余弦值.
2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=π6，sin2B−sin2A=sinAsinC．
(1)判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若c=2，点D在边AC上，且△ABD的周长为7+333，求△BCD的周长．
3．（2023下·陕西安康·高一校联考期末）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a+b+cb+c−a=3bc.
(1)求A的大小；
(2)若b+c=2a=23，试判断△ABC的形状.
4．（2023下·河北沧州·高一统考期末）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且a−b+cc=ba+b−c.
(1)求A；
(2)若b−c=33a，证明：△ABC是直角三角形.
5．（2023下·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AB⋅AC+BA⋅BC=2CA⋅CB；
(1)若csAb=csBa，判断△ABC的形状并说明理由；
(2)若△ABC是锐角三角形，求csC的取值范围.
题型二
几何图形中的计算
用向量证明线段垂直
用向量证明线段垂直
6．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，c=22，D是BC上的中点，AD⊥AC.
(1)求∠BAD的大小；
(2)E是AB上一点，DE⊥AB，求DE的长度.
7．（2023上·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且sinB+3csB=2.
(1)求B;
(2)已知BC=23，D为边AB上的一点，若BD=1，∠ACD=π2，求AC的长.
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin(A+B)=csinB+C2．
(1)求A；
(2)已知c=3，b=1，边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD．
9．（2023上·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形ABCD中，对角线AC､BD交于点E，且BE=ED,AE=2EC,AB=4,AD=22.
(1)若EC=1，求∠BAD的余弦值；
(2)若∠ABD=π4，求边BC的长.
10．（2023·全国·模拟预测）在①3b−ccsA=−asinC；②sinC−sinAb=sinB+sinAa+c这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求C；
(2)点D在边AB上，且AD=3DB，AC⊥DC，求csB．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
题型三
证明三角形中的恒等式或不等式
11．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知A=2B，且b≠c.
(1)若2a=3b，求sinA；
(2)证明：ab=b+ca;
12．（2023上·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．

(1)试证明：BDDC=ABsin∠BADACsin∠DAC
(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3，求△ABC的面积．
13．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2tanA+tanB=tanAcsB+tanBcsA．
（1）证明：a+b=2c；
（2）求C的最大值．
14．（2023下·浙江宁波·高一校联考期末）在△ABC中，内角A，B都是锐角.
(1)若∠C=π3，c=2，求△ABC周长的取值范围；
(2)若sin2A+sin2B>sin2C，求证：sin2A+sin2B>1.
15．（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且12sin2BcsC+cs2BsinC−sinA2csA2=0．
(1)求B；
(2)若△ABC外接圆的半径为3，点D为AC边的中点，证明：BD=2a2+2c2−92．
题型四
求三角形面积的最值或范围
16．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知△ABC中，BC=3,M在线段BC上，2BM=MC,∠BAM=π6．
(1)若AB=2，求AC的长；
(2)求△AMC面积的最大值．
17．（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA−sinCsinB+sinC=sinA+CsinA+sinC．
(1)求A；
(2)若角A的平分线AD交BC于点D，且AD=2，求△ABC面积的取值范围．
18．（2023上·江苏苏州·高三校考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，a2−c23=csC−bcsAcsC+bcsA≠1.
(1)求sinAsinC的值；
(2)求△ABC面积的最大值.
19．（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120∘≤θ<180∘.
(1)若θ=120∘,AD=6，求∠ADC的大小；
(2)若2CD⋅sinθ2=3AC，求四边形ABCD面积的最大值.
20．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二校考开学考试）设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsC+12c=b．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求锐角△ABC的面积的取值范围．
题型五
求三角形中的边长或周长的最值或范围
21．（2023上·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA2+csA=1,acsinA+4sinC=4csinA.
(1)求边长a和角A；
(2)求△ABC的周长的取值范围.
22．（2023·全国·模拟预测）已知△ABC，D，E均在线段BC上，AD为中线，AE为∠BAC的平分线，①S△ABE=2S△ACE；②b(2−csA)=a⋅csB．
(1)若AC=3DE，从①②中选择一个作为条件，求csB；
(2)若bc=20，BC=10，AD≤5，求DE的取值范围．
23．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A−2sinAcsBsinC+sin2C=34．
(1)求角B的值．
(2)求a+c2b的取值范围．
24．（2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=2,∠BAC的角平分线AD交BC于点D．

(1)若b=1,∠BAC=60°，求AD的长度；
(2)若△ABC为锐角三角形，且2ab=1+tanCtanB,∠ABC的角平分线BE交AC于点E，且与AD交于点O，求△AOB周长的取值范围．
25．（2023上·江苏连云港·高三校考阶段练习）在下面的三个条件：①2a−b=2ccsB，②sinC+π6=csC+12，③sinAsinBsinC=32sin2A+sin2B−sin2C.任选一个补充到问题中，并给出解答.
在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且__________.
(1)求角C；
(2)若c=3，求a+b的取值范围.
题型六
距离、高度、角度测量问题
26．（2023上·上海杨浦·高三校考期中）如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向16km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上.已知AB=10km.

(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路.求线段BD的长度（长度单位精确到0.1km）；
(2)求线段AC的长度（长度单位精确到0.1km）（3≈1.732）.
27．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得AD=22BC，测得∠BAD=30∘，∠BCD=45∘，∠ADC=120∘．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=102km，CD=20km，求A，C两点间距离；
(2)求tan∠BDC的值．
28．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为30∘，经过40s飞过M点后又测得对山顶的俯角为45∘，

(1)求BM的长度；（结果带根号）
(2)求山顶的海拔高度．（精确到m）
（可能要用到的数据：2=1.414,3=1.732,6=2.450）
29．（2023·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
30．（2023下·贵州铜仁·高一校考期中）信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得∠DBC=45°，BD=256−2海里．

(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求csθ的值；
题型七
正余弦定理与三角函数性质的结合应用
31．（2023·全国·高一专题练习）设函数f(x)=m⋅n，其中向量m=(2csx,1)，n=(csx,3sin2x)(x∈R).
(1)求f(x)的最小值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面积为32，求b+csinB+sinC的值.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=sin2x2−3sinx2csx2+1.
(1)求函数y=fx的单调递减区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2−b2=accsB−12bc，求fB的取值范围.
33．（2023上·河北保定·高三校考期末）已知函数f(x)=2sinx⋅csx+3cs2x.
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若fA=0且a=3，求b+c的取值范围.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,−π2<φ<π2的部分图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=3，b=2，且△ABC的面积为332，求a．
35．（2023·上海·高三专题练习）已知f(x)=3cs2x+2sin3π2+xsin(π−x)，x∈R，
（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且f(A)=−3，a=4，求BC边上的高的最大值．