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专题8.1 基本立体图形-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）
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这是一份专题8.1 基本立体图形-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册），文件包含专题81基本立体图形举一反三人教A版必修第二册原卷版docx、专题81基本立体图形举一反三人教A版必修第二册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3929" 【题型1 简单几何体的识别】 PAGEREF _Tc3929 \h 4
\l "_Tc17425" 【题型2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 PAGEREF _Tc17425 \h 5
\l "_Tc24994" 【题型3 旋转体的结构特征】 PAGEREF _Tc24994 \h 6
\l "_Tc11123" 【题型4 组合体的结构特征】 PAGEREF _Tc11123 \h 7
\l "_Tc9573" 【题型5 平面图形旋转形成的几何体】 PAGEREF _Tc9573 \h 9
\l "_Tc13450" 【题型6 空间几何体的截面问题】 PAGEREF _Tc13450 \h 11
\l "_Tc18074" 【题型7 多面体与球体内切外接问题】 PAGEREF _Tc18074 \h 12
【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
【题型1 简单几何体的识别】
【例1】（2023上·新疆·高二八一中学校考阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023上·四川内江·高二四川省内江市第二中学校考阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【变式1-2】（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023下·吉林长春·高一校考期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B．是圆台
C． 是棱锥D． 不是棱柱
【题型2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【例2】（2023上·黑龙江大庆·高二校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【变式2-1】（2023下·广东云浮·高一统考期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．四棱锥D．五棱锥
【变式2-2】（2023下·北京延庆·高一统考期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为2m,4m，高是2m，则该棱台的斜高为（ ）
A．2mB．22mC．7mD．4m
【变式2-3】（2023下·山西太原·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台
B．三棱柱的侧面为三角形
C．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形
【题型3 旋转体的结构特征】
【例3】（2023下·天津和平·高一校考阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③B．②③④
C．②③⑤D．①④⑤
【变式3-2】（2023下·高一课时练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（ ）
A．22cmB．2cmC．22cmD．1cm
【变式3-3】（2023上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【知识点2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
【题型4 组合体的结构特征】
【例4】（2023下·广东深圳·高一校考期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成
【变式4-1】（2023下·河南商丘·高一校联考阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱
D．该几何体恰有12个顶点
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（ ）
A．30mB．25mC．20mD．15m
【变式4-3】（2023·高一课时练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（ ）
A．26，2−1B．24 ，2−2C．26，2−2D．24 ，2−1
【题型5 平面图形旋转形成的几何体】
【例5】（2023·全国·高一专题练习）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023下·全国·高一专题练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【变式5-2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台
B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C．该几何体为圆柱
D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
【变式5-3】（2023上·全国·高三专题练习）如图，正方体AC1上、下底面中心分别为O1，O2，将正方体绕直线O1O2旋转360°，下列四个选项中为线段AB1旋转所得图形是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 空间几何体的截面问题】
【例6】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）
【变式6-1】（2023下·辽宁大连·高一统考期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为3π的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．83B．8C．43D．6
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【变式6-3】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1D1,DD1的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A．π6B．π4C．3π8D．π2
【题型7 多面体与球体内切外接问题】
【例7】（2023上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB=3,AC=4,AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为 （ ）
A．5.5B．6C．6.5D．7
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，AB=6，SA=35，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形EFGH外接圆的半径为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【变式7-2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1；顶部为球O2，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球O1与球O2的半径之比r1:r2=（ ）
A．1:6B．1:6C．1:3D．1:3
【变式7-3】（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为60∘.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（ ）
A．43B．8C．53D．10
棱柱
棱锥
棱台
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念
(1)底面(底)：两个互相平行的面；
(2)侧面：其余各面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：侧面与底面的公共顶点.
(1)底面(底):多边形面；
(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：各侧面的公共顶点.
(1)上底面：原棱锥的截面；
(2)下底面：原棱锥的
底面 .
(3)侧面：其余各面.
(4)侧棱：相邻侧面的公共边；
(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示
棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD').
棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C )
棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征
(1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行.
(1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点.
(1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点；
(3)各侧面为梯形.
分类
棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……
棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……
由几棱锥截得的就叫几
棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
圆柱
圆锥
圆台
球
定 义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥.
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部
分叫做圆台.
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念
(1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
(1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线
(5)顶点：母线的交点.
(1)上底面：原圆锥的截面.
(2)下底面：原圆锥的底面.
(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.
(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.
(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分.
(1)球心：半圆的圆心.
(2)半径：连接球心和球面上任意一点
的线段.
(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示
圆柱OO'
圆锥SO
圆台OO'
球O
结 构 特 征
(1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
(1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.
(1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.
(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半
径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3929" 【题型1 简单几何体的识别】 PAGEREF _Tc3929 \h 4
\l "_Tc17425" 【题型2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 PAGEREF _Tc17425 \h 5
\l "_Tc24994" 【题型3 旋转体的结构特征】 PAGEREF _Tc24994 \h 6
\l "_Tc11123" 【题型4 组合体的结构特征】 PAGEREF _Tc11123 \h 7
\l "_Tc9573" 【题型5 平面图形旋转形成的几何体】 PAGEREF _Tc9573 \h 9
\l "_Tc13450" 【题型6 空间几何体的截面问题】 PAGEREF _Tc13450 \h 11
\l "_Tc18074" 【题型7 多面体与球体内切外接问题】 PAGEREF _Tc18074 \h 12
【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
【题型1 简单几何体的识别】
【例1】（2023上·新疆·高二八一中学校考阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023上·四川内江·高二四川省内江市第二中学校考阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【变式1-2】（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023下·吉林长春·高一校考期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B．是圆台
C． 是棱锥D． 不是棱柱
【题型2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【例2】（2023上·黑龙江大庆·高二校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【变式2-1】（2023下·广东云浮·高一统考期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A．四棱台B．四棱柱C．四棱锥D．五棱锥
【变式2-2】（2023下·北京延庆·高一统考期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为2m,4m，高是2m，则该棱台的斜高为（ ）
A．2mB．22mC．7mD．4m
【变式2-3】（2023下·山西太原·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台
B．三棱柱的侧面为三角形
C．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形
【题型3 旋转体的结构特征】
【例3】（2023下·天津和平·高一校考阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③B．②③④
C．②③⑤D．①④⑤
【变式3-2】（2023下·高一课时练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（ ）
A．22cmB．2cmC．22cmD．1cm
【变式3-3】（2023上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【知识点2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
【题型4 组合体的结构特征】
【例4】（2023下·广东深圳·高一校考期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成
【变式4-1】（2023下·河南商丘·高一校联考阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱
D．该几何体恰有12个顶点
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（ ）
A．30mB．25mC．20mD．15m
【变式4-3】（2023·高一课时练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（ ）
A．26，2−1B．24 ，2−2C．26，2−2D．24 ，2−1
【题型5 平面图形旋转形成的几何体】
【例5】（2023·全国·高一专题练习）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2023下·全国·高一专题练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【变式5-2】（2023下·辽宁·高一校联考期末）若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台
B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体
C．该几何体为圆柱
D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体
【变式5-3】（2023上·全国·高三专题练习）如图，正方体AC1上、下底面中心分别为O1，O2，将正方体绕直线O1O2旋转360°，下列四个选项中为线段AB1旋转所得图形是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 空间几何体的截面问题】
【例6】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）
【变式6-1】（2023下·辽宁大连·高一统考期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为3π的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．83B．8C．43D．6
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【变式6-3】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1D1,DD1的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A．π6B．π4C．3π8D．π2
【题型7 多面体与球体内切外接问题】
【例7】（2023上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）已知三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB=3,AC=4,AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为 （ ）
A．5.5B．6C．6.5D．7
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，AB=6，SA=35，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形EFGH外接圆的半径为（ ）
A．12B．1C．32D．2
【变式7-2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1；顶部为球O2，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球O1与球O2的半径之比r1:r2=（ ）
A．1:6B．1:6C．1:3D．1:3
【变式7-3】（2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习）一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为60∘.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（ ）
A．43B．8C．53D．10
棱柱
棱锥
棱台
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念
(1)底面(底)：两个互相平行的面；
(2)侧面：其余各面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：侧面与底面的公共顶点.
(1)底面(底):多边形面；
(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：各侧面的公共顶点.
(1)上底面：原棱锥的截面；
(2)下底面：原棱锥的
底面 .
(3)侧面：其余各面.
(4)侧棱：相邻侧面的公共边；
(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示
棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD').
棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C )
棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征
(1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行.
(1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点.
(1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点；
(3)各侧面为梯形.
分类
棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……
棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……
由几棱锥截得的就叫几
棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
圆柱
圆锥
圆台
球
定 义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥.
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部
分叫做圆台.
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念
(1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
(1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线
(5)顶点：母线的交点.
(1)上底面：原圆锥的截面.
(2)下底面：原圆锥的底面.
(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.
(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.
(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分.
(1)球心：半圆的圆心.
(2)半径：连接球心和球面上任意一点
的线段.
(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示
圆柱OO'
圆锥SO
圆台OO'
球O
结 构 特 征
(1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
(1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.
(1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.
(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半
径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
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