2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市海珠区八年级（下）开学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式1x−2有意义，x的取值范围满足( )
A. x≠−2B. x≠2C. x>2D. x<2
3.下列图形中具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
4.用科学记数法表示的数−1.2×10−3写成小数是( )
A. −0.0012B. −0.012C. −1200D. 0.0012
5.下列计算中，正确的是( )
A. (a2b3)3=a6b9B. a5÷a3=a
C. (a+b)2=a2+b2D. a5×a2=a10
6.点M(3,2)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−3,−2)D. (3,2)
7.把多项式x2−6x+9分解因式，所得结果正确的是( )
A. (x−3)2B. (x+3)2C. x(x−6)+9D. (x+3)(x−3)
8.如图，过正六边形ABCDEF的顶点B作直线MN//AC，则∠1的大小为( )
A. 25°
B. 30°
C. 36°
D. 45°
9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，AB=a，S△ABD=10，则CD的长为( )
A. a2B. a3C. 10aD. 20a
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(−2,4)，点D在第一象限，则点C的坐标为( )
A. (2,8)
B. (3,7)
C. (1,8)
D. (2,7)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=8，则BC的长为______．
12.如图，AD=DE，AB=BE，∠CED=100°，则∠A= ______°.
13.方程x1−x=2的解为______．
14.计算：(2023−π)0+2−1= ______．
15.已知a−b−2ab=0(a≠b)，那么2a+3ab−2ba−ab−b的值为______．
16.如图，已知BM平分∠ABC，AB=AF，AC平分∠BAF，点D在AM上，连接CD交BM于点N，若∠ADC=∠CBM，以下四个结论：①BE=EF；②∠FAC+∠ADC=90°；③∠DNM=23∠ANB；④∠M=∠FAN.其中正确的结论有______.(填写所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，AD和CE交于点F，∠BCA=70°，求∠DFE的度数．
18.(本小题6分)
如图，已知AB与CD相交于点O，AC/​/BD，AO=BO，求证：AC=BD．
19.(本小题6分)
计算：
(1)(6x3y−4x2)÷2x2；
(2)(2m3)2−4m4(1+m2).
20.(本小题6分)
已知A=m2−n2m(m−n)2−nm2−mn．
(1)化简A；
(2)若m+n=4①m−3n=0②，求A的值．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个点均在格点上，且点A坐标为(−2,1)，点B坐标为(−3,4)，点C坐标为(−5,2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为______；
(2)在x轴上找一点P，使得PA+PC最短，请标出点P所在的位置(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．
22.(本小题8分)
某工厂计划生产3000台电子设备，为了尽快完成任务，实际每天生产的电子设备的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，求该工厂每天原计划生产多少台电子设备？
23.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠C=90°，BC=CA．
(1)尺规作图，作∠A的角平分线交BC于点M(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，若BN⊥AM于点N，垂足N在AM的延长线上，求∠NBM的度数；
(3)在(2)的条件下，试探究线段BN和AM的数量关系并证明你的结论．
24.(本小题12分)
类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14，…，则依据此规律1n(n+1)= ______；
②请你利用拆项法进行因式分解：x2+5x+6= ______；
(2)若a，b满足a2−2a+1+|2a−b|=0，求1a⋅b+1(a+1)⋅(b+1)+1(a+2)⋅(b+2)+1(a+3)⋅(b+3)+⋯+1(a+2021)⋅(b+2021)的值；
(3)受此启发，解方程1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42+1x2+15x+56=4x2+28．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，x轴负半轴上有点A(m,0)，B(0,−2)，点C为AB中点．

(1)如图1，点D与点B关于x轴对称，且DC⊥AB，则点D的坐标为______；求证：△ABD为等边三角形；
(2)在(1)的条件下，若点P为x轴上A点右侧的一个动点，则∠BAP= ______°，并求出12PA+PD的最小值(用含m的式子表示)；
(3)如图2，P、Q分别为x轴正半轴与y轴正半轴上的动点，若PA=PQ=QB，点I为△POQ的角平分线交点，猜想线段IC与PQ的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
本题主要考查了轴对称图形，熟知识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：x−2≠0
∴x≠2
故选：B．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：根据三角形具有稳定性，四边形、五边形都不具有稳定性，可知B答案符合题意要求．
故选：B．
根据几何图形中三角形具有稳定性可得出答案．
本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性．
4.【答案】A
【解析】解：把数据−1.2×10−3中1.2的小数点向左移动3位就可以得到，为−0.0012．
故选：A．
科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|<10,n为整数).本题把数据−1.2×10−3中1.2的小数点向左移动3位就可以得到．
此题考查了用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
5.【答案】A
【解析】解：A. (a2b3)3=a6b9，正确，符合题意；
B.a5÷a3=a2，原计算错误，不符合题意；
C. (a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，不符合题意；
D.a5×a2=a7，原计算错误，不符合题意．
故选：A．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式进行计算即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查轴对称中的坐标变化，关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于x轴对称点的纵坐标互为相反数，横坐标相等．
根据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等回答即可．
【解答】
解：点M(3,2)关于y轴对称的点的坐标为(−3,2)．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】解：x2−6x+9=(x−3)2．
故选：A．
根据完全平方公式求解即可．
此题考查了完全平方公式分解因式的方法．解题的关键是准确选择因式分解的方法，还要注意分解要彻底．
8.【答案】B
【解析】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=BC，∠ABC=(6−2)×180°6=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=∠BCA=180°−120°2=30°，
∵MN/​/AC，
∴∠1=∠BCA=30°，
故选：B．
先根据多边形内角和公式求出∠ABC的度数，再根据等边对等角求出∠BCA的度数即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，等边对等角，三角形内角和定理以及平行线的性质，正确求出∠BCA的度数是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×a⋅DE=10，
解得DE=20a，
∴CD=20a；
故选：D．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点C作CE⊥BF，垂足为E，
∴∠BFA=∠CEB=90°，
∴∠2+∠3=90°
∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(−2,4)，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=1，BF=4，OF=2，
∴AF=3，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵AB=BC，∠BFA=∠CEB=90°，
∴△AFB≌△BEC，
∴BE=AF=3，CE=BF=4，
∴EF=3+4=7，CE−OF=2，
∴点C(2,7)，
故选：D．
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点C作CE⊥BF，垂足为E，证明△AFB≌△BEC，得到BE=AF=2，CE=BF=4，计算EF的长即可．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：如图所示，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=8，
∴BC=12AB=4，
故答案为：4．
根据含30度角的直角三角形的性质直接可得结果．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】80
【解析】解：∵AD=DE，AB=BE，BD=BD
∴△ABD≌△EBD(SSS)，
∴∠A=∠DEB=180°−∠DEC
∵∠CED=100°，
∴∠A=80°，
故答案为：80．
证明△ABD≌△EBD，可得∠A=∠DEB=180°−∠DEC，即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13.【答案】x=23
【解析】解：x1−x=2
去分母得：x=2−2x，
解得：x=23，
检验：当x=23时，1−x≠0，
∴x=23是原分式方程的解．
故答案为：x=23．
去分母化成整式方程，解方程检验后，即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，正确去分母把分式方程转化为整式方程是解决问题的关键．
14.【答案】32
【解析】解：(2023−π)0+2−1=1+12=32，
故答案为：32．
求出零指数幂、负整数指数幂，再进行加法运算即可．
此题考查了零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
15.【答案】7
【解析】解：∵a−b−2ab=0，
∴a−b=2ab，
∴原式=2(a−b)+3ab(a−b)−ab=2×2ab+3ab2ab−ab=7abab=7，
故答案为：7．
根据a−b−2ab=0(a≠b)求得a−b=2ab，然后代入求值即可．
本题主要考查了分式的化简，解题的关键是确定a−b与ab的数量关系，并熟练掌握化简的法则．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵AB=AF，AC平分∠BAF，
∴AC⊥BF，BE=EF，∠BAC=∠FAC，故①正确；
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴∠ECB=∠EAB，
∴∠ECB=∠FAC，
∵∠ECB+∠CBM=90°，∠ADC=∠CBM，
∴∠FAC+∠ADC=90°，故②正确；
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
又∵EN=EN，∠AEN=∠CEN=90°，
∴△AEN≌△CEN(SAS)，
∴∠ANE=∠CNE，
∵∠DNM=∠CNE，
∴∠DNM=∠ANE，故③错误；
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠CBM=∠ABF=∠AFB=∠ADC，
∵∠AFB=∠FAN+∠ANE，∠ADC=∠M+∠DNM，
∴∠M=∠FAN，故④正确；
故答案为：①②④．
根据三线合一定理得到AC⊥BF，BE=EF，∠BAC=∠FAC，由此即可判断①；证明△ABE≌△CBE得到∠ECB=∠EAB，进而推出∠ECB=∠FAC，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠ADC=90°，即可判断②；由全等三角形的性质可得，AE=CE，进一步证明△AEN≌△CEN，得到∠ANE=∠CNE，即可推出∠DNM=∠ANE，即可判断③；再证明∠CBM=∠ABF=∠AFB=∠ADC，由三角形外角的性质即可得到∠M=∠FAN，即可判断④．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
17.【答案】解：∵AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，∠BCA=70°，
∴∠ADC=90°,∠BCE=12∠ACB=35°，
∴∠DFE=∠ADC+∠BCE=125°．
【解析】先根据三角形高的定义和角平分线的定义得到∠ADC=90°，∠BCE=35°，再由三角形外角的性质可得∠DFE=∠ADC+∠BCE=125°．
本题主要考查了三角形外角的性质，三角形高的定义和角平分线的定义，熟知三角形中，一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC/​/BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D∠A=∠BAO=BO，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴AC=BD．
【解析】由平行线的性质可得∠A=∠B，∠C=∠D，利用AAS即可判定△AOC≌△BOD，从而得AC=BD．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
19.【答案】解：(1)(6x3y−4x2)÷2x2
=3xy−2；
(2)(2m3)2−4m4(1+m2)
=4m6−4m4−4m6
=−4m4．
【解析】(1)根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
(2)根据积的乘方以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．
本题考查了多项式除以单项式，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)A=m2−n2m(m−n)2−nm2−mn
=(m+n)(m−n)m(m−n)2−nm(m−n)
=m+nm(m−n)−nm(m−n)
=m+n−nm(m−n)
=1m−n；
(2)m+n①m−3n=0②，
①−②得，n+3n=4，
解得：n=1，
把n=1代入①得m+1=4，
解得：m=3，
∴原式=13−1=12．
【解析】(1)先根据分式的性质化简，然后根据同分母分式的减法进行计算即可求解；
(2)根据加减消元法解二元一次方程组，进而求得m，n的值，代入(1)的结果进行计算即可求解．
本题考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，熟练掌握分式的性质以及解二元一次方程组的方法是解题的关键．
21.【答案】(2,1)
【解析】解：(1)根据题意可得△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(2,1)．
故答案为：(2,1)；
(2)解：如上图，点P的位置如图所示．
(1)利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
(2)作点C关于x轴的对称点C2，连接AC2交x轴于点P，连接PC，点P即为所求．
本题考查轴对称以及最短路径问题，熟练掌握关于轴对称图形的画法和最短路径问题的应用是解题的关键．
22.【答案】解：设原计划平均每天制作x台电子设备，根据题意得，
3000x−30001.5x=5，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200台电子设备．
【解析】设原计划平均每天制作x台电子设备，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示，AM即为所求，

(2)解：如图所示，

∵CB=CA，∠C=90°
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAN=12×45°=22.5°，
∵NB⊥AN
∴∠N=90°，
∴∠ABN=90°−22.5°=67.5°，
∴∠NBM=∠ABN−∠ABC=67.5°−45°=22.5°
(3)BN=12AM，证明如下，，
延长BN交AC的延长线于点D，

∵∠ANB=∠BCD=90°，BC=AC，∠DBC=∠MAC=22.5°，
∴△BDC≌△AMC，
∴BD=AM，
∵∠DBC=22.5°，∠BCD=90°，
∴∠D=90°−22.5°=67.5°
∴∠D=∠ABD，
在△ABN，△ADN中，
∠D=∠ABN∠ANB=∠ANDAN=AN，
∴△ABN≌△ADN，
∴BN=ND，
∴BN=12BD=12AM．
【解析】(2)根据三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，即可求解；
(3)延长BN交AC的延长线于点D，证明△BDC≌△AMC可得，BD=AM，进而证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24.【答案】1n−1n+1 (x+3)(x+2)
【解析】解：(1)①∵11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∴类比得1n(n+1)=1n−1n+1，
故答案为：1n−1n+1；
②x2+5x+6=x2+2x+3x+6=x(x+2)+3(x+2)=(x+3)(x+2)，
故答案为：(x+3)(x+2)；
(2)∵a，b满足a2−2a+1+|2a−b|=0，即(a−1)2+|2a−b|=0，
∴a−1=0，2a−b=0，
解得a=1，b=2，
∴b−a=1>0，
1a⋅b+1(a+1)⋅(b+1)+1(a+2)⋅(b+2)+1(a+3)⋅(b+3)+⋯+1(a+2021)⋅(b+2021)
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+12022×2023=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+12022−12023
=1−12023
=20222023；
(3)1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42+1x2+15x+56=4x2+28，
1x+4−1x+5+1x+5−1x+6+1x+6−1x+7+1x+7−1x+8=4x2+28，
1x+4−1x+8=4x2+28，
4x2+12x+32=4x2+28，
x2+28=x2+12x+32，
−12x=4，
x=−13，
经检验，x=−13是原方程的解，
∴原方程的解为x=−13．
(1)①类比题材即可得解；
②类比题材即可因式分解；
(2)根据绝对值和偶次方的非负性得a=1，b=2，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；
(3)利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．
25.【答案】(0,2) 30
【解析】解：(1)∵点D与点B关于x轴对称，且B(0,−2)，
∴D点的坐标为(0,2)，
证明：∵C是AB的中点，DC⊥AB，
∴DC垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵AO⊥BD，且OD=OB，
∴AO垂直平分BD，
∴AD=AB，
∴AD=AB=DB，
∴△ABD是等边三角形；
故答案为：(0,2)；
(2)∵△ABD是等边三角形，AO⊥BD，
∴∠DAB=60°，∠PAB=12∠DAB=30°，
故答案为：30；
如图1所示，过点P作PE⊥AB于点E，则PE=12AP，
∴12PA+PD=PE+PD，则当D，P，E三点共线时，取得最小值，
∵DC⊥AB，
则CD与x轴的交点即为点P，此时12PA+PD=CD，
又DC，AO是等边三角形的高，则DC=OA=−m，
∴12PA+PD的最小值为−m；
(3)IC=12PQ，理由如下，
如图2所示，连接AQ，BP，IA，IB，
∵点I为△POQ的角平分线交点，
∴∠1=∠3=12∠PQO，∠2=12∠OPQ，
∴∠1+∠2=12(∠OQP+∠OPQ)=12×90°=45°，
∴∠PIQ=180°−(∠1+∠2)=135°，
在△QIB和△QIP中，
QB=QP∠1=∠3QI=QI，
∴△QIB≌△QIP(SAS)，
∴IB=IP，∠QIB=∠QIP=135°，
∴∠BIP=90°，则△IPB是等腰直角三角形，
同理可得△PAI≌△PQI，可得△AIQ是等腰直角三角形，
∴∠AIQ=90°，IQ=IA，
∵C是AB的中点，
∴AC=CB，
延长IC至F，使得CF=IC，连接AF，如图2，
又∵∠ACF=∠BCI
∴△ACF≌△BCI，
∴AF=BI=IP，∠CAF=∠CBI，
∵∠AIB=360°−∠QIA−∠QIP−∠BIP=360°−90°−135°−90°=45°，
又∠FAI=∠FAC+∠CAI=∠ABI+∠BAI=180°−∠AIB=135°，
∴∠FAI=∠QIP，
在△FAI和△PIQ中，
FA=PI∠FAI=∠PIQAI=QI，
∴△FAI≌△PIQ(SAS)，
∴IF=PQ，
即2IC=PQ，
∴IC=12PQ．
(1)根据关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，即可得出D点的坐标，根据题意，DC垂直平分AB，AO垂直平分BD，进而根据垂直平分线的性质可得AD=AB=DB，即可得证；
(2)根据等边三角形的性质，AO⊥BD，可得∠DAB=60°，∠PAB=12∠DAB=30°，过点P作PE⊥AB于点E，则PE=12AP，得出12PA+PD=PE+PD，则当D，P，E三点共线时，取得最小值，DC，AO是等边三角形的高，则DC=OA=−m，即可求解；
(3)连接AQ，BP，IA，IB，点I为△POQ的角平分线交点，根据角平分线的定义可得∠1=∠3=12∠PQO，∠2=12∠OPQ，进而得出∠PIQ=180°−(∠1+∠2)=135°，证明△QIB≌△QIP，可得出∠BIP=90°，则△IPB是等腰直角三角形，同理可得△PAI≌△PQI，可得△AIQ是等腰直角三角形，延长IC至F，使得CF=IC，连接AF，倍长中线法证明△ACF≌△BCI，进而证明△FAI≌△PIQ，可得IF=PQ，即2IC=PQ，即可得证．
本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，轴对称的性质求线段的和，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．观察下列计算过程：
11×2+12×3+13×4+14×5
=(11−12)+(12−13)+(13−14)+(14−15)
=1−15=45
这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算．
阅读下面一道例题的解答过程：
因式分解：x2+3x+2
解：我们可以将3x拆成x和2x
即原式=x2+2x+x+2
=x(x+2)+(x+2)
=(x+2)(x+1)
在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法．