2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学创新部高一（下）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(−1,1)，B(3,1)，直线l过点C(1,3)，A，B两点在直线l的同侧，则直线l斜率的取值范围是( )
A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
2.“m<−1或m>2”是“方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A. 13, 33B. 33,13C. 22,12D. 12, 22
4.已知直线l：ax−y+2=0与圆M：x2+y2−4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P(0,−1)，|PA+PB+PC|的最大值为( )
A. 12B. 10C. 9D. 8
5.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦AB中点坐标为(2,−1)，则椭圆的面积为( )
A. 36 2πB. 18 2πC. 9 2πD. 6 2π
6.已知椭圆x2+y2b2=1(1>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆上一点，点A是线段F1F2上一点，且∠F1MF2=2∠F1MA=2π3，|MA|=32，则该椭圆的离心率为( )
A. 32B. 12C. 2 23D. 33
7.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2−y2b2=1，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD=90°，tan∠ABC=−34，则该双曲线的离心率为( )
A. 52B. 5C. 102D. 10
8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，|AF|=4，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则OM⋅ON的取值范围是( )
A. [−6325,9]B. [−3,21]C. [6325,21]D. [3,27]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程x24−t+y2t−1=1表示曲线C，则( )
A. 当1B. 当t>4或t<1时，曲线C一定是双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t>4
10.已知二次函数y=x2−2x+m(m≠0)交x轴于A，B两点(A,B不重合)，交y轴于点C.圆M过A，B，C三点，下列说法正确的是( )
A. 圆心M在直线x=1上B. m的取值范围是(0,1)
C. 圆M半径的最小值为1D. 存在定点N，使得圆M恒过点N
11.已知O为坐标原点，M(1,2)，P是抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点，F为其焦点，若F与双曲线x23−y2=1的右焦点重合，则下列说法正确的有( )
A. 若PF=6，则点P的横坐标为6
B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 33
C. 若△POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9π
D. △PMF周长的最小值为3+ 5
12.已知直线l： 3x−y− 3=0过抛物线C：y2=2px的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的方程为y2=4xB. 线段AB的中点到y轴的距离为83
C. 线段AB的长度为163D. ∠MFN=90°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若双曲线的渐近线方程为y=±2x，它的一个焦点是( 5,0)，则双曲线的方程是______．
14.已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，若|AB|=8，则k的值为______．
15.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=α，α∈[π12,π3]，则椭圆的离心率的取值范围为______．
16.已知抛物线方程y2=8x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|，已知点P(−2,8 2)，则d(P)=______；设点P(−2,t)(t>0)，若4d(P)−|PF|−k>0恒成立，则k的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知双曲线C：x24−y2=1，P为C上的任意点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
18.(本小题12分)
已知两点A(−1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[− 33−1, 3−1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
19.(本小题12分)
已知动点M到F(0,3)的距离与点M到直线l：y=−3的距离相等．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点F且倾斜角为60°的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．
21.(本小题12分)
为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF//DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．
(1)求灯罩轴线所在的直线方程；
(2)若路宽为10米，求灯柱的高．
22.(本小题12分)
如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F(1,0)，E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记△ABE，△MNE的面积分别为S1，S2．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)S12|AB|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)求S1+S2的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：kAC=1−3−1−1=1，kBC=1−33−1=−1，
∵直线l过点C(1,3)，A，B两点在直线l的同侧，则直线l斜率的取值范围是(−1,1)，
故选：A．
分别求出kAC，kBC，根据直线l过点C(1,3)，A，B两点在直线l的同侧，即可得出直线l斜率的取值范围．
本题考查了斜率的计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得：m2>m+2>0，解得−22．
所以“m>2”是“方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件．
−2但是m<−2，方程表示双曲线，
所以“m<−1或m>2”是“方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
由方程x2m2+y22+m=1表示焦点在x轴上的椭圆，可得：m2>m+2>0，解得m范围即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
所以a+b=−1，ab=c，两条直线之间的距离d=|a−b| 2，
∴d2=(a+b)2−4ab2=1−4c2，因为0≤c≤18，
所以12≤1−4c≤1，
即d2∈[14,12]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 22,12．
故选C．
利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．
本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆的方程，考查向量知识的运用，属于中档题．
由题意，圆M：x2+y2−4y+3=0可化为x2+(y−2)2=1，利用|PA+PB+PC|=|2PM+PC|≤|2PM|+|PC|，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，圆M：x2+y2−4y+3=0，
可化为x2+(y−2)2=1．
圆心M为(0,2)，
又易知直线l：ax−y+2=0过圆心，
所以|PA+PB+PC|=|2PM+PC|≤|2PM|+|PC|=2×3+4=10，
当且仅当PM与PC同向时等号成立，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减可得，(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)b2=0，
∵线段AB的中点坐标为(2,−1)，
∴y1−y2x1−x2=2×b2a2，
∵直线的斜率为0+13−2=1，
∴2×b2a2=1，
∵右焦点为F(3,0)，
∴a2−b2=9，
∴a2=18，b2=9，
∴椭圆方程为：x218+y29=1，
∴椭圆的面积为πab=9 2π.
故选：C．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为(2,−1)，求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F(3,0)，求出a，b的值，即可得出椭圆的方程，可求椭圆的面积．
本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查椭圆的面积的求法，考查学生的计算能力，属中档题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
利用余弦定理，结合三角形的面积转化求解椭圆的几何量，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
【解答】
解：设|MF1|=r1，|MF2|=r2，则r1+r2=2a=2，
由余弦定理得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2−2|MF1||MF2|cs2π3，
即4c2=r12+r22+r1r2=(r1+r2)2−r1r2=4−r1r2，
所以r1r2=4−4c2，
因为S△F1MF2=S△F1MA+S△AMF2，
所以12r1r2sin23π=12r1⋅|MA|⋅sinπ3+12r2⋅|MA|⋅sinπ3，
整理得r1r2=(r1+r2)⋅|MA|，即4−4c2=2×32，整理得c2=14，
所以c=12，a=1，e=ca=12，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义和性质，以及直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
设|AF1|=n，由同角的基本关系式求得sin∠ABF1=35，可得|BF1|=53n，|AB|=43n，再由双曲线的定义，求得n=3a，结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
【解答】
解：设|AF1|=n，
由tan∠ABC=sin∠ABCcs∠ABC=−34，
sin2∠ABC+cs2∠ABC=1，
可得sin∠ABC=35，即sin∠ABF1=35，
在直角三角形ABF1中，可得|BF1|=53n，|AB|=43n，
由双曲线的定义可得|BF2|=53n−2a，
则|AF2|=43n−(53n−2a)=2a−13n，
由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，
即n−(2a−13n)=2a，解得n=3a，
在直角三角形AF1F2中，|AF1|=3a，|AF2|=a，|F1F2|=2c，
则(3a)2+a2=(2c)2，
即c2=52a2，可得e=ca= 102，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，
设A(3, 6p)，
所以|AF|=3+p2=4，解得p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，
A(3,2 3)，B(3,−2 3)，F(1,0)，
所以直线AF的方程为y= 3(x−1)，
设圆心坐标为(x0,0)，
所以(x0−1)2=(3−x0)2+12，
解得x0=5，即E(5,0)，
∴圆的方程为(x−5)2+y2=16，
不妨设yM>0，设直线OM的方程为y=kx，则k>0，
根据|5k| 1+k2=4，解得k=43，
由y=43x(x−5)2+y2=16，
解得M(95,125)，
设N(4csθ+5,4sinθ)，
所以OM⋅ON=365csθ+485sinθ+9=125(3csθ+4sinθ)+9，
因为3csθ+4sinθ=5sin(θ+φ)∈[−5,5]，
所以OM⋅ON∈[−3,21]．
故选：B．
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p，进而得到抛物线的方程，求得A，B，F的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N的坐标，求得M的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：方程方程x24−t+y2t−1=1表示的曲线为C．
当1当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线，所以B正确；
曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，可得4−t>t−1>0，解得1曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，可得1−t<0，并且4−t<0，解得t>4，所以D正确；
故选：BD．
结合t的范围判断选项A，B，利用曲线的形状，求解t的范围判断C，D．
本题考查曲线与方程的应用，双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：二次函数y=x2−2x+m(m≠0)的对称轴为x=1，
因为对称轴x=1为线段AB的中垂线，
所以圆心在直线x=1上，故A正确，
因为二次函数与x轴由两个不同的交点，
所以Δ=4−4m>0，即m<1，故B错误，
不妨设A在B的左边，则A(1− 1−m,0)，C(0,m)，
设圆方程为(x−1)2+(y−b)2=r2，则
(1− 1−m−1)2+(0−b)2=r2(0−1)2+(m−b)2=r2，
解得b=m+12，r2=14(m−1)2+1，
因为m<1，所以r2=14(m−1)2+1>1，即r>1，故C错误，
由上得圆方程为(x−1)2+(y−m+12)2=14(m−1)2+1，
即x2−2x+y2−y−m(y−1)=0，恒过点N(0,1)(2,1)，故D正确，
故选：AD．
根据圆的性质得圆心横坐标为1，根据二次函数性质与二次函数与x轴与两个交点可得m的取值范围，假设圆的方程为(x−1)2+(y−b)2=r2，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点．
本题考查二次函数的性质，待定系数法，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：由双曲线方程知：F(2,0)，
∴p2=2，
则p=4，
∴抛物线C：y2=8x，
对于A，设P(x0,y0)，
则|PF|=x0+2=6，
解得：x0=4，
即A错误；
对于B，抛物线准线方程为：x=−2，
联立x23−y2=1x=−2，
解得：y=± 33，
∴准线被双曲线截得的线段长度为2 33，
即B错误；
对于C，∵△POF外接圆圆心在线段OF的中垂线上，
则其横坐标为1，
又该圆与抛物线准线相切，
∴该圆的半径r=1+2=3，
∴该圆的面积S=πr2=9π，
即C正确；
对于D，设P和M在准线上的投影分别为P′，M′，
由抛物线定义知：|PF|=|PP′|，
则|PF|+|PM|=|PP′|+|PM|≥|MM′|(当且仅当M，P，P′三点共线时取等号，此时P′，M′重合)，
又|MM′|=1+2=3，|MF|= (1−2)2+(2−0)2= 5，
∴△PMF周长的最小值为3+ 5，
即D正确．
故选：CD．
由双曲线方程可确定焦点F坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A错误；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据△POF外心的横坐标为1且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知|PF|+|PM|=|PP′|+|PM|≥|MM′|，由此可求得△PMF周长的最小值，知D正确．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了运算能力，属中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：直线l： 3x−y− 3=0经过点F(1,0)，
可得p=2，即抛物线C：y2=4x，准线方程为x=−1，
联立直线 3x−y− 3=0和抛物线C：y2=4x，
可得3x2−10x+3=0，
可得A(3,2 3)，B(13,−2 33)，
即有|AB|= (3−13)2+(2 3+2 33)2=163，
由M(−1,2 3)，N(−1,−2 33)，F(1,0)，
可得kNF⋅kMF=2 332⋅2 3−2=−1，
则MF⊥NF，即∠MFN=90°，
线段AB的中点为(53,4 33)，
则线段AB的中点到y轴的距离为53，
综上可得A，C，D正确，B错误．
故选：ACD．
求得直线经过点F91，0)，可得p=2，即有抛物线方程，求得准线方程，联立直线方程和抛物线方程求得A，B的坐标，可得M，N的坐标，由两点的距离公式和两直线垂直的条件，即可判断A，B，C，求得A，B的中点坐标，可判断D错误．
本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查化简运算能力，属于中档题．
13.【答案】x2−y24=1
【解析】解：由双曲线的一个焦点为( 5,0)，可知双曲线是焦点在x轴上的双曲线，且c= 5，
设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
则其渐近线方程为y=±bax=±2x，即ba=2，
联立c= 5ba=2a2+b2=c2，解得a=1，b=2，
所以双曲线的标准方程为x2−y24=1．
故答案为：x2−y24=1．
由题意可知，双曲线是焦点在x轴上的双曲线，设出标准方程，求得渐近线方程，可得ba=2，结合c= 5及a，b，c的关系，求得a，b的值，则双曲线方程可求．
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
14.【答案】±1
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，
所以直线l的方程为y=k(x−1)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−1)y2=4x，整理可得：k2x2−(2k2+4)x+k2=0，
可得x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，
由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8，
即k2=1，解得k=±1，
故答案为：±1．
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由题意设直线l的方程，与抛物线的方程联立，求出两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的表达式，由题意可得k的值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于基础题．
15.【答案】[ 22, 63]
【解析】解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccsα …③
②③代入①2csinα+2ccsα=2a，
∴ca=1sinα+csα，
即e=1sinα+csα=1 2sin(α+π4)
∵α∈[π12,π3]，
∴π3≤α+π4≤7π12
∴ 32≤sin(α+π4)≤1，
∴ 22≤e≤ 63
故答案为：[ 22, 63].
设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出ca即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．
16.【答案】4 (−∞,4)
【解析】解：如下图所示，过点Q作抛物线倠线的垂线QE，垂足为点E，
设∠PFO=θ，则θ为锐角，
设抛物线y2=8x的准线与x轴的交点为M，则|MF|=4，
由抛物线的定义可知|QF|=|QE|,|PF|=|MF|csθ=4csθ,csθ=|QE||PQ|=|QF||PF|−|QF|，
所以，|PF||QF|=1+csθcsθ，
当点P的坐标为(−2,8 2)时，|PF|= 42+(8 2)2=12，
则csθ=|MF||PF|=13，
此时d(P)=|PF||FQ|=1+csθcsθ=4；
当点P(−2,t)(t>0)时，
若4d(P)−|PF|−k>0恒成立，则k<4d(P)−|PF|，
4d(P)−|PF|=4(1+csθ)csθ−4csθ=4，
∴k<4，
故答案为：4；(−∞,4)．
过点Q作抛物线准线的垂线QE，垂足为点E，设∠PFO=θ，则θ为锐角，利用抛物线的定义结合锐角三角函数的定义可得出d(P)=|PF||QF|=1+csθcsθ，当点P(−2,8 2)时，求出csθ的值，可求得d(P)的值；求出4d(P)−|PF|的值，可得出k的取值范围．
本题考查了抛物线的定义和性质以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
17.【答案】解：
(1)设P(x1,y1)是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x−2y=0和x+2y=0．
点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是|x1−2y1| 5和|x1+2y1| 5，
它们的乘积是|x1−2y1| 5⋅|x1+2y1| 5=|x12−4y12|5=45．
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x,y)，则|PA|2=(x−3)2+y2=(x−3)2+x24−1=54(x−125)2+45
∵|x|≥2，∴当x=125时，|PA|2的最小值为45，
即|PA|的最小值为2 55．
【解析】(1)先设P(x1,y1)是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P(x1,y1)到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．
(2)先设P的坐标为(x,y)，根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线方程为x24−y2=1，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．
本题主要考查双曲线的基本性质--渐近线方程，考查点到线的距离公式和两点间的距离公式．
18.【答案】解：(1)当m=−1时，直线AB的方程为x=−1，
当m≠−1时，直线AB的方程为y−2=1m+1(x+1)．
(2)①当m=−1时，α=π2；
②当m≠−1时，m+1∈[− 33,0)∪(0, 3]，
∴k=1m+1∈(−∞,− 3]∪[ 33,+∞)，
∴α∈[π6,π2)∪(π2,2π3].
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[π6,2π3].
【解析】(1)当m=−1时，直线AB的方程为x=−1，当m≠−1时，利用点斜式即可得出；
(2)当m=−1时，α=π2；当m≠−1时，m+1∈[− 33,0)∪(0, 3]，可得tanα=k=1m+1∈(−∞,− 3]∪[ 33,+∞)，即可得出．
本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、点斜式、正切函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的拋物线，
所以p2=3，则p=6，
所以动点M的轨迹方程是x2=12y；
(2)由已知可得直线AB的方程是y−3=tan60°⋅x= 3x，即 3x−y+3=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由 3x−y+3=0x2=12y得x2−12 3x−36=0,Δ=(12 3)2+144>0，
所以x1+x2=12 3，则y1+y2=( 3x1+3)+( 3x2+3)= 3(x1+x2)+6=42，
故|AB|=y1+y2+6=48．
【解析】(1)由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；
(2)可知直线AB的方程为 3x−y+3=0，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率为12，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．
所以c=1，a=2.所以b2=3．
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设点M的坐标为(x0,y0)，则x024+y023=1．
由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，
所以M到l的距离4−x0小于或等于圆的半径R．
因为R2=MF12=(x0+1)2+y02，
所以(4−x0)2≤(x0+1)2+y02，
即y02+10x0−15≥0．
又因为x024+y023=1，
所以3−3x024+10x0−15≥0.解得43≤x0≤12．
又−2因为△MF1F2面积为12|y0||F1F2|=|y0|，
所以当|y0|= 153时，△MF1F2面积有最大值 153．
【解析】(1)根据△MF1F2的周长等于6，再由离心率为12可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．
(2)先设M的坐标为(x0,y0)根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4−x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0−15≥0，再由x024+y023=1即可消去y0，求出x0的取值范围，再表示出△MF1F2面积即可求出最大值．
本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，
要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．
21.【答案】解：(1)由题意知，BF=12，则xA=1.5+12=2，
代入y2=2x得yA=2，故A(2,2)．
设点A处的切线方程为y−2=k(x−2)，
代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2−2y+4−4k=0．
则△=4−4k(4−4k)=0，解得k=12．
故灯罩轴线的斜率为−2，其方程为y−2=−2(x−2)，即y=−2x+6．
(2)由于路宽为10，则当x=112时，y=−5，从而FD=5．
又CF=1，则CD=6．
答：灯柱的高为6米．
【解析】(1)求出A的坐标，设点A处的切线方程，代入抛物线方程，求出斜率，即可得出灯罩轴线所在的直线方程；
(2)求出FD，利用CF，可求灯柱的高．
本题考查考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)抛物线C：y2=2px的焦点为F(1,0)，
即有p2=1，即p=2，可得抛物线的方程为y2=4x；
(2)由已知可得E(−1,0)，F(1,0)，由于直线AB的斜率不可能为0，
可设AB：x=my+1，联立x=my+1y2=4x，消去x可得y2−4my−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以S1=12|EF|⋅|y1−y2|=12×2× (y1+y2)2−4y1y2=4 1+m2，
而|AB|=x1+x2+2=my1+1+my2+1+2=m(y1+y2)+4=4(1+m2)，
所以S12|AB|=4(定值)；
(3)直线AE：y=y1x1+1(x+1)，可得M(0,y1x1+1)，同理可得N(0,y2x2+1)，
所以S2=12×1×|y2x2+1−y1x1+1|=12|y2my2+2−y1my1+2|，
即S2=|y2−y1m2y1y2+2m(y1+y2)+4|=4 1+m2|−4m2+8m2+4|=1 1+m2，
所以S1+S2=4 1+m2+1 1+m2，
令 1+m2=t(t≥1)，则S1+S2=4t+1t，
设f(t)=4t+1t，t≥1，f′(t)=4−1t2>0，即f(t)在[1,+∞)递增，
可得S1+S2≥5，
故S1+S2的最小值为5，此时直线AB⊥x轴．
【解析】(1)由抛物线的焦点坐标，可得p2=1，解得p，可得抛物线的方程；
(2)设AB的方程，与抛物线的方程联立，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，结合抛物线的定义可得|AB|，相除，可得定值；
(3)求得直线AE的方程，求得M的坐标，同理可得N的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和对勾函数的单调性，可得所求最小值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查三角形的面积公式和对勾函数的单调性的运用，突出考查方程思想和运算能力，属于中档题．