2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年甘肃省天水一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.440°角的终边落在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知x∈R，则“x≤−3”是“(x+2)(x−3)≥0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.下列命题中的真命题是( )
A. 若a>b，则ac>bcB. 若ac2C. 若a>b，则ab>1D. 若a>b，c>d，则a−c>b−d
4.已知函数f(x)=xln(1+x)−x，则f(x)的大致图像为( )
A. B.
C. D.
5.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t12(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据ln≈1.1)( )
A. 10分钟B. 14分钟C. 15分钟D. 20分钟
6.已知函数f(x)=x+2,x≤02x,0A. 若f(x)=2，则x=0B. f(x)的值域为(−∞,4)
C. f(x)在(−∞,2)上单调递增D. f(x)<2的解集为(0,1)
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.下列函数是奇函数的是( )
A. f(x)=sinxB. f(x)=x2+x
C. f(x)=3x−3−x2D. f(x)=lg2|1+x|
8.下列选项中的图象变换，能得到函数y=sin2x−π4的图象的是
( )
A. 先将y=csx的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移3π8个单位长度
B. 先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π8个单位长度
C. 先将y=sinx的图象向右平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12
D. 先将y=csx的图象向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标缩小为原来的12
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
9.三个数a=40.5，b=0.54，c=lg0.54的大小关系为______．
10.已知α∈(0,π)，且sinα+csα=713，则sinα−csα= ______．
四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题16分)
已知tanα=−32，求下列各式的值．
(1)sin(2π−α)cs(π+α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(α−π)sin(3π2+α)；
(2)2sin2α−3cs2α+1．
12.(本小题16分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)．
(1)求f(x)的最小正周期以及对称轴方程；
(2)设函数g(x)=3f(x−π12)，求g(x)在[0,π2]上的值域．
13.(本小题16分)
已知函数f(x)=lg2a−x1+x为奇函数，g(x)=m⋅4x−2x+2+1．
(1)求实数a的值；
(2)∀x1∈[0.1]，∃x2∈[0,1)，使得g(x1)=f(x2)，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查象限角，属于基础题．
由已知条件可得，440°=360°+80°，即可求解．
【解答】
解：∵440°=360°+80°，
∴440°角的终边落在第一象限，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】
解：因为x≤−3时，不等式(x+2)(x−3)≥0成立，即充分性成立；
解不等式(x+2)(x−3)≥0得，x≤−2或x≥3，
所以(x+2)(x−3)≥0时，x≤−3不一定成立，即必要性不成立；
所以是充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：选项A：若c≤0，则ac>bc不成立，即A错误；
选项B：由不等式性质可知：若ac2选项C：当a>0，b<0时，由a>b，可得ab<1，即C错误；
选项D：当a=5，b=2，c=11，d=2时，有a>b，c>d成立，
但此时a−c=5−11=−6，b−d=2−2=0，由−6<0可知，a−c>b−d不成立，即D错误．
故选：B．
选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；
选项B，不等式ac20，两边同乘c2，不等号不变；
选项C，从不等式a>b到不等式ab>1，是不等式两边同乘1b，但1b不一定是正数；
选项D，对于结论a−c>b−d，实际上是a+(−c)>b+(−d)，但−c<−d，无法保证同向相加．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
根据函数值的对应性，分别进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
【解答】
解：由1+x>0得x>−1，当x=0时，f(x)无意义，
f(1)=1ln2−1<0，排除A，D，
当x=−12时，f(−12)=−12ln12+12=−1212−ln2=12ln2−12>0，排除C，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：由题意知，当t=0时，y=0.2，
∴0.05+λe0=0.2，即λ=0.15，
∴y=0.05+0.15e−t12≤0.1，解得e−t12≤13，
∴−t12≤−ln3，t≥12ln3≈13.2，
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟．
故选：B．
将t=0，y=0.2代入式子y=0.05+λe−t12(λ∈R)，可得λ=0.15，结合对数函数的知识，解不等式y=0.05+0.15e−t12≤0.1，即可求解．
本题考查了对数函数的实际应用，需要熟练掌握公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
由函数值求解x值判断A；求解分段函数的值域判断B；由f(0)=f(1)，可判断C；求解函数不等式判断D．
本题考查分段函数的应用，涉及值域的求法，函数单调性的判断，不等式的解法，是中档题．
【解答】
解：对于A，若f(x)=2，则x≤0x+2=2或0解得x=0或x=1，故A错误；
对于B，当x≤0时，f(x)=x+2∈(−∞,2]，
当0故函数的值域为(−∞,4)，故B正确；
对于C，因为f(0)=f(1)，故C错误；
对于D，由f(x)<2，可得x≤0x+2<2或0故f(x)<2的解集为(−∞,0)∪(0,1)，故D错误．
故选：B．
7.【答案】AC
【解析】解：对A，函数的定义域为R，且f(−x)=sin(−x)=−sinx=−f(x)，故函数为奇函数，符合题意；
对B，函数的定义域为R，且f(−x)=x2−x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对C，函数的定义域为R，且f(−x)=3−x−3x2=−f(x)，故函数为奇函数，符合题意；
对D，函数定义域为{x|x≠−1}，故函数为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：AC．
由奇函数的定义结合正弦函数、指数函数以及对数函数的概念逐一验证即可．
本题考查函数奇偶性，属于基础题．
8.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用三角函数的平移变换和伸缩变换即可求出结果．
【解答】
解：先将y=csx的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得y=cs2x，
再向右平移3π8个单位长度，即可得到y=cs⁡2(x−3π8)=cs⁡(2x−π4−π2)=sin⁡(2x−π4)，故A正确；
先将y=sinx的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得y=sin2x，
再向右平移π8个单位长度，即可得到y=sin(2x−π4)，故B正确；
先将y=sinx的图象向右平移π4个单位长度，得y=sin(x−π4)，
再将各点的横坐标缩小为原来的12即可得到y=sin(2x−π4)，故C正确．
先将y=csx的图象向左平移π4个单位长度，得y=cs⁡(x+π4)，
再将各点的横坐标缩小为原来的12得y=cs⁡(2x+π4)=cs⁡(2x−π4+π2)=−sin⁡(2x−π4)，故D错误，
故选：ABC．
9.【答案】a>b>c
【解析】解：由于y=4x在R上单调递增，a=40.5>40=1，
y=0.5x在R上单调递减，b=0.54∈(0,0.50)=(0,1)，
y=lg0.5x在(0,+∞)上单调递减，故c=lg0.54故a>b>c．
故答案为：a>b>c．
根据函数单调性得到a>1，b∈(0,1)，c<0，比较出大小关系．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
10.【答案】1713
【解析】解：由α∈(0,π)可知sinα>0，
又sinα+csα=713⇒(sinα+csα)2=sin2α+2sinαcsα+cs2α
=1+2sinαcsα=49169，即2sinαcsα=49169−1=−120169，
则csα<0⇒sinα−csα>0，
所以(sinα−csα)2=sin2α−2sinαcsα+cs2α=1−2sinαcsα=289169，
故sinα−csα=1713．
故答案为：1713．
利用同角三角函数的平方关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
11.【答案】解：(1)sin(2π−α)cs(π+α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(α−π)sin(3π2+α)=(−sinα)⋅(−csα)⋅sinα(−csα)⋅(−sinα)⋅(−csα)=−tanα=32．
(2)2sin2α−3cs2α+1=2sin2α−3cs2αsin2α+cs2α+1=2tan2α−3tan2α+1+1
=2×94−394+1+1=1913．
【解析】(1)根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可；
(2)根据2sin2α−3cs2α+1=2sin2α−3cs2αsin2α+cs2α+1，结合同角三角函数的关系求解即可．
本题考查诱导公式、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(2x+π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．
令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)，得对称轴方程为x=kπ2+π12(k∈Z)．
(2)由题意可知g(x)=3sin[2(x−π12)+π3]=3sin(2x+π6)，
因为x∈[0,π2]，所以2x+π6∈[π6,7π6]，
故−12≤sin(2x+π6)≤1，所以−32≤g(x)≤3，
即g(x)在[0,π2]上的值域为[−32,3]．
【解析】(1)根据三角函数的最小正周期、对称轴的求法求得正确答案．
(2)先求得g(x)，然后根据三角函数值域的求法求得正确答案．
本题考查正弦函数的周期与对称性的判断及正弦函数的定义域与值域的应用，属于中档题．
13.【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(−x)+f(x)=0，
所以lg2a+x1−x+lg2a−x1+x=0，所以a2−x2=1−x2，
所以a2=1，解得a=±1，
当a=−1时，a−x1+x=−1<0，舍去；
当a=1时，函数f(x)的定义域为(−1,1)，符合题意．
所以实数a的值为1．
(2)设M={g(x1)|x1∈[0,1]}，N={f(x2)|x2∈[0,1)}，
由∀x1∈[0.1]，∃x2∈[0,1)，使得g(x1)=f(x2)，可得M⊆N．
由(1)知，f(x)=lg21−x1+x=lg2(−1+21+x)，
当x∈[0,1)时，−1+21+x∈(0,1]，所以N=(−∞,0]．
又g(x)=m⋅4x−2x+2+1=m⋅(2x)2−4⋅2x+1，
设t=2x，则函数h(t)=mt2−4t+1，t∈[1,2]．
①当m=0时，h(t)=−4t+1，可得[h(t)]max=h(1)=−3⩽0，符合题意；
②当m≠0时，h(t)=m(t−2m)2+1−4m，h(t)图象的对称轴为t=2m．
(i)当m<0时，对称轴t=2m<0，
所以h(t)在区间[1,2]上单调递减，故[h(t)]max=h(1)=m−3，
由M⊆N，得m−3⩽0，即m⩽3，所以m<0；
(ii)当m>0时，若2m⩽32，即m⩾43时，[h(t)]max=h(2)=4m−7，
由M⊆N，得4m−7⩽0，所以43⩽m⩽74；
若2m>32，即0由M⊆N，得m−3⩽0，所以0综上，m的取值范围是(−∞,74]．
【解析】(1)根据f(x)为奇函数，利用定义求出a的值，再检验即可；
(2)设M={g(x1)|x1∈[0,1]}，N={f(x2)|x2∈[0,1)}，由∀x1∈[0.1]，∃x2∈[0,1)，使得g(x1)=f(x2)，可得M⊆N，再求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用函数恒成立与能成立求参数的取值范围，考查了方程思想、分类讨论思想和转化思想，属中档题．

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