2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|1A. (0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. (1,2]
2.命题：“∀x∈(−1,1)，都有x2<1”的否定是(( )
A. ∀x∈(−1,1)，都有x2≥1B. ∀x∉(−1,1)，都有x2≥1
C. ∃x∈(−1,1)，使得x2≥1D. ∃x∉(−1,1)，使得x2≥1
3.函数f(x)= x+3+1x+1的定义域为( )
A. {x|x≥−3且x≠−1}B. {x|x>−3且x≠−1}
C. {x|x≥−1}D. {x|x≥−3}
4.a=lg1.10.9，b=1.11.3，c=sin1，则a、b、c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. a5.函数f(x)=x3+ex−e−x2的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)=sin2x+ 3cs2x的最小正周期为( )
A. π4B. π2C. πD. 2π
7.函数f(x)=lg3x+x 3−9的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
8.设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=lg12x−x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则ac>bcB. 若a>b>0，则1a<1b
C. 若ac2>bc2，则a>bD. 若a10.下列各式中，值为12的是( )
A. 2sin15°cs15°B. 2cs2π12−1C. 1+cs30°2D. tan22.5°1−tan222.5∘
11.将函数f(x)= 3cs(2x+π3)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质( )
A. 最大值为 3，图象关于直线x=−π3对称
B. 图象关于y轴对称
C. 最小正周期为π
D. 图象关于点(π4,0)成中心对称
12.设函数f(x)=|x|,x≤1|lg12(x−1)|,x>1，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1A. 4B. 5C. 163D. 6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg24+lg42= ．
14.设x>0，y>0，x+y=4，则1x+4y的最小值为______．
15.已知tanα=−12，α∈(π2,π)，则sinα−2csα= ．
16.设函数f(x)=x3+(x+1)2x2+1在区间[−2,2]上的最大值为M，最小值为N，则(M+N−1)2023的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|−2(1)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+cs2x．
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)当x∈[−7π12,π12]时，求函数f(x)的值域．
19.(本小题12分)
在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知csA−2csCcsB=2c−ab
(1) 求sinCsinA的值
(2) 若csB=14,b=2 ，求ΔABC的面积．
20.(本小题12分)
某手机生产商计划在2022年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)=10x2+100x,0(1)求出2022年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式；(利润=销售额−成本)
(2)2022年产量为多少(千部)时，该生产商所获利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−4x+3，g(x)=(a+4)x−3，a∈R．
(1)若∃x∈[−1,0]，使得方程f(x)−2m=0有解，求实数m的取值范围；
(2)若对任意的x1∈[−1,5]，总存在x2∈[−1,5]，使得f(x1)≤g(x2)，求实数a的取值范围；
(3)设h(x)=|f(x)+g(x)|，记M(a)为函数h(x)在[0,1]上的最大值，求M(a)的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象关于点(π12,0)对称．
(1)令g(x)=f(x+π3)，判断函数g(x)的奇偶性；
(2)是否存在实数m满足对任意x1∈[−1,1]，任意x2∈R，使4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+5≥f(x2)成立.若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={x|1∴A∩B={x|1故选：D．
由A与B，求出两集合的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则否定是特称命题即：
∃x∈(−1,1)，使得x2≥1，
故选：C．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题．
可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足x+3≥0x+1≠0，解出x的范围即可．
【解答】
解：要使f(x)有意义，则：x+3≥0x+1≠0；
解得x≥−3且x≠−1；
∴f(x)的定义域为：{x|x≥−3且x≠−1}．
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．
利用对数函数和指数函数的性质求解即可．
【解答】
解：∵a=lg1.10.9∵b=1.11.3>1.10=1，∴b>1，
∵0<1<π2，∴0∴b>c>a，
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．
根据函数的奇偶性和特殊值即可排除．
【解答】
解：f(−x)=(−x)3+e−x−ex2=−f(x)，定义域为R，
则f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
f(1)=1+e−1e2>0，故排除A．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查辅助角公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．
由已知利用辅助角公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x+π3)，利用三角函数的周期公式即可得解．
【解答】
解：∵f(x)=sin2x+ 3cs2x
=2sin(2x+π3)，
∴最小正周期T=2π2=π．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点所在区间的判断，属于基础题．
先判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理求解即可．
【解答】
解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且函数单调递增，
因为f(2)=lg32−1<0，f(3)=lg33+27−9=19>0，
所以f(2)·f(3)<0，
所以，函数f(x)=lg3x+x3−9的零点所在区间是(2,3)．
故选C．
8.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=lg12x−x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，
就是方程x12=x−1，lg12x=x−1，(12)x=x−1方程的的解，
在坐标系中画出函数y=x12，y=lg12x，y=(12)x，与y=x−1的图象，如图：
可得b故选：D．
先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．
本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：当a>b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A错误；
当a>b>0时，两边同乘以1ab，有aab>bab，即1a<1b，故B正确；
当ac2>bc2，两边同乘以1c2，则a>b.故C正确；
当a故选：BC．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：2sin15°cs15°=sin30°=12，A正确；
2cs2π12−1=csπ6= 32≠12，B错误；
1+cs30°2=cs15°≠12，C错误；
tan22.5°1−tan222.5∘=12tan45°=12，D正确．
故选：AD．
利用二倍角的三角函数公式对四个选项逐一计算可得答案．
本题考查二倍角的三角函数公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：将函数f(x)= 3cs(2x+π3)的图象向左平移π3个单位长度，
得到函数g(x)= 3cs(2x+π)=− 3cs2x的图象．
令x=π3，求得g(x)= 32，不是最值，故g(x)的图象图象不关于直线x=−π3对称，故A错误；
由于g(x)为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
显然，g(x)的最小正周期为2π2=π，故C正确；
令x=π4，求得g(x)=0，可得g(x)的图象图象关于点(π4,0)成中心对称图形，故D正确，
故选：BCD．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：函数f(x)的图象如图所示，设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，由图可知，
当0交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1x>1时，令f(x)=|lg12(x−1)|=1，解得x=32或x=3．
由−x1=x2=lg12(x3−1)=−lg12(x4−1)=t，
可得x1+x2=0，32≤x3<2，2x3−1=1x4−1，则有x3=1x4−1+1，
所以4x4+1+(x1+x2+2)x3=4x4+1+2x3=4x4+1+2x4−1+2．
令g(x)=4x+1+2x−1+2(2故4≤4x4+1+(x1+x2+2)x3<163，且4∈[4,163),5∈[4,163)．
故选：AB．
作出函数f(x)的图象，可得x1+x2=0，32≤x3<2，2本题考查分段函数的图象，以及函数的单调性，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
13.【答案】52
【解析】【分析】
本题考查了对数运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
利用对数运算性质即可得出．
【解答】
解：原式=2+lg2lg4=2+12=52．
故答案为：52．
14.【答案】94
【解析】解：x+y4(1x+4y)=14(1+4+yx+4xy)≥14(5+4)=94
当且仅当x=43，y=83时取等．
故答案为：94
变形后用基本不等式：x+y4(1x+4y)=14(1+4+yx+4xy)
本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．
15.【答案】 5
【解析】【分析】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】
解：因为tanα=sinαcsα=−12，
又sin2α+cs2α=1，α∈(π2,π)，
解得sinα= 55，csα=−2 55，
所以sinα−2csα= 55−2×(−2 55)= 5．
故答案为： 5．
16.【答案】1
【解析】解：由题意知，f(x)=x3+2xx2+1+1(x∈[−2,2])，
设g(x)=x3+2xx2+1，则f(x)=g(x)+1，
因为g(−x)=−x3−2xx2+1=−g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值的和为0，
故M+N=2，
所以(M+N−1)2023=(2−1)2023=1．
故答案为：1．
将所给函数分离常数，根据奇偶性，可求得M+N=2，代入所求关系式即可．
本题主要考查函数最值的求法，考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，
∴B是A的真子集，可得2a−1≤a+12a−1>−2a+1≤1，解得−12(2)由A∩B=⌀，可得2a−1≤a+1a+1≤−2或2a−1≤a+12a−1>1，解得a≤−3或1∴实数a的取值范围为(−∞,−3]∪(1，2]．
【解析】(1)根据必要不必要条件与集合间的等价关系，根据集合的包含关系列出不等式解出；
(2)根据已知条件和问题列出不等式组即可解出．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+cs2x= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
令2x+π6=kπ，得x=kπ2−π12，k∈Z，
故函数f(x)的对称中心(kπ2−π12,0)k∈Z；
(2)当x∈[−7π12,π12]时，−π≤2x+π6≤π3，
所以−1≤sin(2x+π6)≤ 32，
所以函数f(x)的值域为[−2, 3].
【解析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求；
(2)结合正弦函数的性质即可直接求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵csA−2csCcsB=2c−ab=2sinC−sinAsinB，
∴csAsinB−2sinBcsC=2csBsinC−sinAcsB，
∴sinAcsB+csAsinB=2sinBcsC+2csBsinC，
∴sin(A+B)=2sin(B+C)，
∴sinC=2sinA，
∴sinCsinA=2；
(2)由(1)可得c=2a，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
∴4=a2+4a2−a2，
解得a=1，则c=2，
∵csB=14，
∴sinB= 154，
∴S=12acsinB=12×1×2× 154= 154．
【解析】本题考查正余弦定理解三角形三角形的面积公式，涉及和角的三角函数，属中档题．
(1)根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，
(2)由(1)可得c=2a，再由余弦定理可得a，c的值，根据三角形的面积公式计算即可
20.【答案】解：(1)销售x千部手机获得的销售额为0.5×1000x=500x，
当0当x≥25时，W(x)=500x−510x−9000x+4250−200=−10x−9000x+4050，
故W(x)=−10x2+400x−200,0(2)当0所以当x=20时，W(x)max=3800，
当x≥25时，W(x)=−10x−9000x+4050≤−2 10x⋅9000x+4050=3450，
当且仅当−10x=−9000x，即x=30时，等号成立，
因为3800>3450，
所以当x=20(千部)时，所获利润最大，最大利润为3800万元．
【解析】本题考查函数的实际应用，熟练掌握分段函数，二次函数，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)根据利润=销售额−成本=500x−R(x)−200，再分0(2)当021.【答案】解：(1)∃x∈[−1,0]，f(x)−2m=0⇔2m=x2−4x+3，
因为函数f(x)=x2−4x+3的图象的对称轴是直线x=2，
所以y=f(x)在[−1,0]上为减函数，
故f(x)max=f(−1)=8，f(x)min=f(0)=3，
故2m∈[3,8]，所以m的取值范围为[lg23,3]；
(2)因为对任意的x1∈[−1,5]，总存在x2∈[−1,5]，使得f(x1)≤g(x2)，
所以在区间[−1,5]上，f(x)max≤g(x)max，
又函数f(x)=x2−4x+3图象的对称轴是直线x=2，
又x∈[−1,5]，故当x=5时，函数f(x)有最大值为f(5)=52−4×5+3=8，
①当a=−4时，g(x)=−3，不符合题意，舍去；
②当a>−4时，g(x)在[−1,5]上的值域为[−a−7,5a+17]，则有5a+17≥8，得a≥−95；
③当a<−4时，g(x)在[−1,5]上的值域为[5a+17,−a−7]，则有−a−7≥8，得a≤−15；
综上，a的取值范围为{a|a≤−15或a≥−95}；
(3)函数为h(x)=|x2+ax|的对称轴为x=−a2，
①当a≤−2或a≥0时，h(x)在[0,1]上单调递增，则M(a)=f(1)=|a+1|；
②当−2解不等式组−2|a+1|，得−2故当−2综上，M(a)=a24,−2所以M(a)在(−∞,2(1− 2))上单调递减，在[2(1− 2),+∞)上单调递增，
故a=2(1− 2)时，M(a)取最小值为|2(1− 2)+1|=3−2 2．
【解析】(1)根据二次函数的单调性，结合存在性的定义及对数函数的单调性进行求解即可；
(2)根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；
(3)根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可．
本题考查函数零点与方程的根的关系，考查利用函数性质解决存在性和任意性问题，考查二次函数的单调性和最值问题，属难题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴2πω=π，∴ω=2．
函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称，
∴π6+φ=kπ,φ=kπ−π6,k∈Z．
|φ|<π2，∴φ=−π6，
∴f(x)=2sin(2x−π6),g(x)=f(x+π3)=2sin(2x+π2)=2cs2x，易得g(x)定义域为R，
∵g(−x)=2cs(−2x)=2cs2x=g(x)，∴函数g(x)为偶函数．
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x−π6),f(x)max=2，
∴实数m满足对任意x1∈[−1,1]，任意x2∈R，
使得4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+5≥f(x2)成立，
即4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+5≥f(x)max成立，
即4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+5≥2成立，
令y=4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+5，设2x1−2−x1=t，
则4x1+4−x1=(2x1−2−x1)2+2=t2+2，
∵x1∈[−1,1]，∴t∈[−32,32]，
所以不等式可等价转化为：t2+mt+5≥0在t∈[−32,32]上恒成立．
令h(t)=t2+mt+5，其图象对称轴t=−m2，∵t∈[−32,32]，
∴①当−m2≤−32时，即m≥3,h(t)min=h(−32)=294−3m2≥0，解得3≤m≤296；
②当−32<−m2<32，即−3③当32≤−m2，即m≤−3时，h(t)min=h(32)=294+3m2≥0，解得−296≤m≤−3；
综上可得，存在m，且m的取值范围是[−296,296]．
【解析】(1)由周期求得ω，由对称点坐标求得φ得解析式f(x)，代入计算得g(x)；
(2)由(1)求得由余弦函数性质求得f(x)的最大值为2，令t=2x1−2−x1，由x1∈[−1,1]，得t∈[−32,32]，则4x1+4−x1=(2x1−2−x1)2+2=t2+2，问题转化为t2+mt+5≥0在t∈[−32,32]上恒成立，令h(t)=t2+mt+5，求出函数h(t)的最小值即可求解．
本题考查了函数恒成立问题，考查了构造函数解决问题的能力，考查了转化思想及函数思想，属于中档题．

2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

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