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北京师达中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题
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这是一份北京师达中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题，共20页。试卷主要包含了 下列运算正确的是， 若，则多项式的值为， 下列说法中，正确的是， 下列方程变形中，正确的是， 如图，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试卷共3页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹的签字笔作答．
3.答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束，请将答题纸交回．
一、选择题（本题共20分，每题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，那么从上面看这个几何体得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的位置．从上面看得到从左往右2列，正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可．
【详解】解：根据几何体可得此图形的俯视图从左往右有2列，正方形的个数依次为2，1．
故选：A．
2. 北京地铁19号线，又称北京地铁R3线，是一条穿越中心城的大运量南北向地铁线路．位于北京市西部地区，于2015年开工建设，标识色为暗粉色，该线路呈南北走向，南起丰台区新宫站，途经西城区，北至海淀区牡丹园站，采用A型车8节编组，全线长．其有利于承接北京功能向外疏解．将22400用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当原数绝对值大于等于10时，要确定n的值，看把原数变成a，小数点向左移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，由此您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 多项式的项分别是B. 都是单项式
C. 都是多项式D. 是整式
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的基本概念，根据单项式，多项式的基本概念分别判断即可解答．
【详解】A. 多项式的项分别是，本选项的说法错误，不符合题意；
B. 不是单项式，本选项的说法错误，不符合题意；
C. 不是多项式，本选项的说法错误，不符合题意；
D. 是整式，本选项的说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.根据合并同类项运算法则进行判断即可
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D. 计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确理解合并同类项法则是解答本题的关键
5. 若，则多项式的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整体法计算代数式的值，变形整体代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴
．
故选D．
6. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论一定成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．解决本题的关键是牢记实数的加减乘除法则．
根据两个数的正负以及加减乘除法法则，对每个选择作出判断，得正确结论．
【详解】解：由于，由数轴知：或，，
所以，所以，故A成立；
当时，，故B不成立；
当时，，故C不成立；
当时，，故D不成立．
故选：A．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 射线和射线是同一条射线
B. 如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等
C. 如果两个角互补，那么它们的角平分线所在直线的夹角为
D. 如果，那么是线段的中点
【答案】B
【解析】
【分析】利用射线的定义，线段的中点的定义，补角的定义，补角的性质对各选项进行分析即可．
本题主要考查补角，射线，线段，角平分线的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握．
【详解】解：A、射线和射线不是同一射线，其端点及延长的方向不一样，故此选项不符合题意；
B、如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，故此选项符合题意．
C、在一平角中，如果一条直线把平角分成两个角，则这两个角互为补角，其角平分线所在直线的夹角为，故此选项不符合题意；
D、若点C在线段上，如果，则是线段的中点，故此选项不符合题意；
故选：B．
8. 下列方程变形中，正确的是（ ）
A. 方程，移项得
B. 方程，系数化为1得
C. 方程，去括号得
D. 方程，去分母得
【答案】C
【解析】
【分析】、根据等式的性质1即可得到答案；、根据等式的性质1即可得到答案；、根据去括号法则即可得到答案；、根据等式的性质，两边同时乘6，可得答案．
【详解】解：、方程，移项得，原变形不正确，不符合题意；
、方程，移项，未知数系数化为1，得，原变形不正确，不符合题意；
、方程，去括号，得，原变形正确，符合题意；
、，去分母得，原变形不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
9. 如图，下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判断，选项错误；
B、，可以判断，不能判断，选项错误；
C、，可以判断，不能判断，选项错误；
D、，可以判断，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
10. 某商店在甲批发市场以每包元的价格进了包茶叶，又在乙批发市场以每包元的价格进了同样的包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店的盈亏情况为（ ）
A. 盈利元B. 亏损元
C. 盈利元D. 没盛利也没亏损
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据大于判断出其结果大于，可得出这家商店盈利了．
【详解】解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为；
在乙批发市场茶叶的利润为，
∴该商店的总利润为，
∵，
∴，即，
则这家商店盈利了元．
故选A
二、填空题（本题共24分，每题3分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角度的计算，解题的关键是掌握度分秒的换算单位．先将化成，再相减即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 已知关于x的方程的解是，则a的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】把代入，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握一元一次方程解的概念是解题的关键．
13. 如果整式与整式的和为一个数值，我们称为数的“伙伴整式”，例如：和为数的“伙伴整式”；和为数的“伙伴整式”．若关于的整式与为数的“伙伴整式”，则的值为_______________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题中所给定义“伙伴整式”可直接进行求解．
【详解】解：∵整式与为数的“伙伴整式”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
14. 点，，在同一条直线上，如果，那么________．
【答案】3或5##5或3
【解析】
【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解本题的关键．
分类讨论，在线段上或在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：当在线段上时，，
；
当在线段的延长线上，，
．
故答案为：3或5．
15. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，那么这个角的度数是________．
【答案】45
【解析】
【分析】设这个角为，表示出其余角，补角，列式计算即可．本题考查了余角即两个角的和为，补角即两个角的和为，熟练掌握余角，补角表示方法是解题的关键．
【详解】解：设这个角为，则，
∴，
故这个角为，
故答案为：45．
16. 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的北偏西方向上，同时，海岛在它的东南方向上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得，然后由计算获得答案即可．
【详解】解：根据题意，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的北偏西方向上，同时，海岛在它的东南方向上，如下图，
可知，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方位角的知识，解题关键是理解题意并结合图形进行分析．
17. 如图，长方形中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为________．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得，结合计算即可．
【详解】设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得
，
解得
故，
故答案为：18．
18. 综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下：
在不考虑其他因素的前提下，
（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要__________分钟；
（2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要__________分钟．
【答案】 ①. ②. 19
【解析】
【分析】此题主要考查了推理与论证，也考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目．
（1）由表格信息可得由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作的时间；
（2）分两种情况，①当前一名同学先打磨模型B．②当前一名同学先打磨模型A．再比较大小即可．
【详解】解：（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要分钟
（2）前一名同学先打磨模型B，需要5分钟，然后后一名同学组装模型B需要10分钟，同时前一名同学打磨模型A完成，之后后一名组同学组装模型A需要4分钟，则共用时间为分钟，
前一名同学先打磨模型A，需要8分钟，然后后一名同学组装模型A需要4分钟，同时前一名同学打磨模型B完成，之后后一名组同学组装模型B需要10分钟，则共用时间为分钟，
∵，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为19分钟．
三、解答题（本题共56分，第19－20题各7分，第21、22、24题各4分，第23、25－28题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）27 （2）0
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，
(1)按照先乘除，再算加减的顺序计算即可．
(2)按照先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的顺序计算即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
（1）按去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．
（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．
【小问1详解】
解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
把系数化为1，得．
【小问2详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
21. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案.
【详解】解：，
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝3，
则方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组.
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；31
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
【详解】
；
当时，
原式
．
23. 如图，已知直线l和直线外两点A，B，按下列要求作图并回答问题：
（1）画射线，交直线l于点C；
（2）画直线，垂足为D；
（3）在直线上画出点E，使；
（4）连接；
（5）通过画图、测量：
点A到直线l的距离________（精确到0.1）；
图中有相等的线段（除以外）或相等的角，写出你的发现：____．
【答案】（1）（1）见解答．
（2）见解答． （3）见解答．
（4）见解答． （5）．
【解析】
【分析】（1）根据射线的定义画图即可．
（2）根据垂线的作图方法作图即可．
（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E．
（4）根据线段的定义画图即可．
（5）直接测量线段的长即可得答案；由题意可得，直线l为线段的垂直平分线，进而可得答案．
【小问1详解】
解∶作射线，交于点C，
如图所示．
【小问2详解】
以A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于M、N两点，以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点P，作直线，交直线l于点D，
如图所示，直线为求作的．
【小问3详解】
以点D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E．
线段为求作的．
【小问4详解】
连接，如图所示：
【小问5详解】
点A到直线l的距离（以答题卡上实际测量距离为准）．
图中相等的线段和相等的角有：，，，．
故答案为：．
24. 如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】依据角平分线的定义以及对顶角相等，即可得到∠ECD=∠ACB，再根据∠B=∠ACB，即可得出∠B=∠ECD，进而判定AB∥CE．
【详解】∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=∠DCF，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠ECD=∠ACB，
又∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ECD，
∴AB∥CE．
【点睛】考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
25. 某校整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？（列方程解答）
【答案】具体先安排3人工作．
【解析】
【详解】试题分析：根据题意可得，每个人每小时完成，设具体先安排x人工作，根据题意的工作方式可得出方程，解出即可．
试题解析：解：设先安排x人工作4小时，则依题意得：
；
解得x=3；
答：应先安排3人工作．
考点：列一元一次方程解实际问题
26. 对于任意有理数，我们规定：当时，都有；当时，都有．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
（1）计算： ．
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了新定义，有理数混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数混合运算法则和解一元一次方程是解本题的关键．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求解；
（2）已知等式利用题中新定义列方程，解方程即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵当时，都有；当时，都有．
又∵，
∴；
小问2详解】
解：当时，即当时，
∵
∴，
解得：．
当时，即当时，
∵
∴，
解得：（舍去）．
综上，的值为．
27. 如图，点在直线上，，射线在内部．
（1）如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 °；
（2）如图2，当时，，画出相应图形，求度数．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查垂线、画角平分线、角计算，熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义求出，用量角器画出射线即可，再计算度数即可；
（2）根据垂直的定义得，分两种情况：当在上方时，当在下方时，利用角的和与差即可得度数．
【小问1详解】
解：如图1，射线即为所画的射线，
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图2，当在上方时，
，
，
，
如图3，当在下方时，
，
，
，
．
综上所述：或．
28. 对于数轴上两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段．
（1）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段中，与线段互为友好线段的是______；
（2）在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段互为友好线段，直接写出的值．
【答案】（1）
（2），7，9，26
【解析】
【分析】（1）根据互为友好线段定义分析即可；
（2）分的中点是的三等分点和的中点是的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可．
【小问1详解】
∵点表示的数为2，点表示的数为，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或．
∵点表示的数为，点表示的数为2，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或．
∵点表示的数为2，点表示的数为，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或；
∵的中点是的一个三等分点，的中点是的一个三等分点，
∴，与互为友好线段．
∵与无重叠部分，
∴与不可能是互为友好线段．
故答案为：，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或；
∵点表示的数分别为，
∴的中点表示的数是．
当的中点是的一个三等分点时，
则或，
∴或．
当的中点是的一个三等分点时，
若，即时，
，，
∴三等分点表示的数是或，
∴或，
解得或．
若，即时，
，，
∴三等分点表示的数是或，
∴或，
解得（舍去）或（舍去）．
综上可知，x的值为，7，9，26．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．工序
时间（分钟）
模型
打磨
组装
A模型
8
4
B模型
5
10
考生须知：
1.本试卷共3页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间90分钟．
2.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹的签字笔作答．
3.答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束，请将答题纸交回．
一、选择题（本题共20分，每题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，那么从上面看这个几何体得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的位置．从上面看得到从左往右2列，正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可．
【详解】解：根据几何体可得此图形的俯视图从左往右有2列，正方形的个数依次为2，1．
故选：A．
2. 北京地铁19号线，又称北京地铁R3线，是一条穿越中心城的大运量南北向地铁线路．位于北京市西部地区，于2015年开工建设，标识色为暗粉色，该线路呈南北走向，南起丰台区新宫站，途经西城区，北至海淀区牡丹园站，采用A型车8节编组，全线长．其有利于承接北京功能向外疏解．将22400用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，当原数绝对值大于等于10时，要确定n的值，看把原数变成a，小数点向左移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，由此您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 多项式的项分别是B. 都是单项式
C. 都是多项式D. 是整式
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的基本概念，根据单项式，多项式的基本概念分别判断即可解答．
【详解】A. 多项式的项分别是，本选项的说法错误，不符合题意；
B. 不是单项式，本选项的说法错误，不符合题意；
C. 不是多项式，本选项的说法错误，不符合题意；
D. 是整式，本选项的说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.根据合并同类项运算法则进行判断即可
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D. 计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确理解合并同类项法则是解答本题的关键
5. 若，则多项式的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整体法计算代数式的值，变形整体代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴
．
故选D．
6. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论一定成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．解决本题的关键是牢记实数的加减乘除法则．
根据两个数的正负以及加减乘除法法则，对每个选择作出判断，得正确结论．
【详解】解：由于，由数轴知：或，，
所以，所以，故A成立；
当时，，故B不成立；
当时，，故C不成立；
当时，，故D不成立．
故选：A．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 射线和射线是同一条射线
B. 如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等
C. 如果两个角互补，那么它们的角平分线所在直线的夹角为
D. 如果，那么是线段的中点
【答案】B
【解析】
【分析】利用射线的定义，线段的中点的定义，补角的定义，补角的性质对各选项进行分析即可．
本题主要考查补角，射线，线段，角平分线的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握．
【详解】解：A、射线和射线不是同一射线，其端点及延长的方向不一样，故此选项不符合题意；
B、如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，故此选项符合题意．
C、在一平角中，如果一条直线把平角分成两个角，则这两个角互为补角，其角平分线所在直线的夹角为，故此选项不符合题意；
D、若点C在线段上，如果，则是线段的中点，故此选项不符合题意；
故选：B．
8. 下列方程变形中，正确的是（ ）
A. 方程，移项得
B. 方程，系数化为1得
C. 方程，去括号得
D. 方程，去分母得
【答案】C
【解析】
【分析】、根据等式的性质1即可得到答案；、根据等式的性质1即可得到答案；、根据去括号法则即可得到答案；、根据等式的性质，两边同时乘6，可得答案．
【详解】解：、方程，移项得，原变形不正确，不符合题意；
、方程，移项，未知数系数化为1，得，原变形不正确，不符合题意；
、方程，去括号，得，原变形正确，符合题意；
、，去分母得，原变形不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
9. 如图，下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判断，选项错误；
B、，可以判断，不能判断，选项错误；
C、，可以判断，不能判断，选项错误；
D、，可以判断，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
10. 某商店在甲批发市场以每包元的价格进了包茶叶，又在乙批发市场以每包元的价格进了同样的包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，卖完后，这家商店的盈亏情况为（ ）
A. 盈利元B. 亏损元
C. 盈利元D. 没盛利也没亏损
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据大于判断出其结果大于，可得出这家商店盈利了．
【详解】解：根据题意列得：在甲批发市场茶叶的利润为；
在乙批发市场茶叶的利润为，
∴该商店的总利润为，
∵，
∴，即，
则这家商店盈利了元．
故选A
二、填空题（本题共24分，每题3分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角度的计算，解题的关键是掌握度分秒的换算单位．先将化成，再相减即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 已知关于x的方程的解是，则a的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】把代入，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握一元一次方程解的概念是解题的关键．
13. 如果整式与整式的和为一个数值，我们称为数的“伙伴整式”，例如：和为数的“伙伴整式”；和为数的“伙伴整式”．若关于的整式与为数的“伙伴整式”，则的值为_______________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题中所给定义“伙伴整式”可直接进行求解．
【详解】解：∵整式与为数的“伙伴整式”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
14. 点，，在同一条直线上，如果，那么________．
【答案】3或5##5或3
【解析】
【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解本题的关键．
分类讨论，在线段上或在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：当在线段上时，，
；
当在线段的延长线上，，
．
故答案为：3或5．
15. 已知一个角的补角等于这个角的余角的3倍，那么这个角的度数是________．
【答案】45
【解析】
【分析】设这个角为，表示出其余角，补角，列式计算即可．本题考查了余角即两个角的和为，补角即两个角的和为，熟练掌握余角，补角表示方法是解题的关键．
【详解】解：设这个角为，则，
∴，
故这个角为，
故答案为：45．
16. 如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的北偏西方向上，同时，海岛在它的东南方向上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得，然后由计算获得答案即可．
【详解】解：根据题意，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的北偏西方向上，同时，海岛在它的东南方向上，如下图，
可知，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方位角的知识，解题关键是理解题意并结合图形进行分析．
17. 如图，长方形中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为________．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得，结合计算即可．
【详解】设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得
，
解得
故，
故答案为：18．
18. 综合实践课上，老师带领学生制作A，B两个飞机模型，每个飞机模型都需要先进行打磨，再进行组装两道工序，才能完成制作，已知制作这两个飞机模型每道工序所需的时间如下：
在不考虑其他因素的前提下，
（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要__________分钟；
（2）如果由两名学生分工合作，一名学生只负责打磨，另一名学生只负责组装，那么完成这两个飞机模型的制作最少需要__________分钟．
【答案】 ①. ②. 19
【解析】
【分析】此题主要考查了推理与论证，也考查学生的分析问题和解决问题的能力，分类讨论的思想，是一道比较简单的题目．
（1）由表格信息可得由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作的时间；
（2）分两种情况，①当前一名同学先打磨模型B．②当前一名同学先打磨模型A．再比较大小即可．
【详解】解：（1）如果由一名学生单独完成这两个飞机模型的制作，那么需要分钟
（2）前一名同学先打磨模型B，需要5分钟，然后后一名同学组装模型B需要10分钟，同时前一名同学打磨模型A完成，之后后一名组同学组装模型A需要4分钟，则共用时间为分钟，
前一名同学先打磨模型A，需要8分钟，然后后一名同学组装模型A需要4分钟，同时前一名同学打磨模型B完成，之后后一名组同学组装模型B需要10分钟，则共用时间为分钟，
∵，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为19分钟．
三、解答题（本题共56分，第19－20题各7分，第21、22、24题各4分，第23、25－28题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）27 （2）0
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，
(1)按照先乘除，再算加减的顺序计算即可．
(2)按照先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的顺序计算即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
（1）按去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．
（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．
【小问1详解】
解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
把系数化为1，得．
【小问2详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
21. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案.
【详解】解：，
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝3，
则方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组.
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；31
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可．
【详解】
；
当时，
原式
．
23. 如图，已知直线l和直线外两点A，B，按下列要求作图并回答问题：
（1）画射线，交直线l于点C；
（2）画直线，垂足为D；
（3）在直线上画出点E，使；
（4）连接；
（5）通过画图、测量：
点A到直线l的距离________（精确到0.1）；
图中有相等的线段（除以外）或相等的角，写出你的发现：____．
【答案】（1）（1）见解答．
（2）见解答． （3）见解答．
（4）见解答． （5）．
【解析】
【分析】（1）根据射线的定义画图即可．
（2）根据垂线的作图方法作图即可．
（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E．
（4）根据线段的定义画图即可．
（5）直接测量线段的长即可得答案；由题意可得，直线l为线段的垂直平分线，进而可得答案．
【小问1详解】
解∶作射线，交于点C，
如图所示．
【小问2详解】
以A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于M、N两点，以为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点P，作直线，交直线l于点D，
如图所示，直线为求作的．
【小问3详解】
以点D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E．
线段为求作的．
【小问4详解】
连接，如图所示：
【小问5详解】
点A到直线l的距离（以答题卡上实际测量距离为准）．
图中相等的线段和相等的角有：，，，．
故答案为：．
24. 如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．
【答案】见解析
【解析】
【分析】依据角平分线的定义以及对顶角相等，即可得到∠ECD=∠ACB，再根据∠B=∠ACB，即可得出∠B=∠ECD，进而判定AB∥CE．
【详解】∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=∠DCF，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠ECD=∠ACB，
又∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ECD，
∴AB∥CE．
【点睛】考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
25. 某校整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？（列方程解答）
【答案】具体先安排3人工作．
【解析】
【详解】试题分析：根据题意可得，每个人每小时完成，设具体先安排x人工作，根据题意的工作方式可得出方程，解出即可．
试题解析：解：设先安排x人工作4小时，则依题意得：
；
解得x=3；
答：应先安排3人工作．
考点：列一元一次方程解实际问题
26. 对于任意有理数，我们规定：当时，都有；当时，都有．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
（1）计算： ．
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了新定义，有理数混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数混合运算法则和解一元一次方程是解本题的关键．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求解；
（2）已知等式利用题中新定义列方程，解方程即可求出的值．
【小问1详解】
解：∵当时，都有；当时，都有．
又∵，
∴；
小问2详解】
解：当时，即当时，
∵
∴，
解得：．
当时，即当时，
∵
∴，
解得：（舍去）．
综上，的值为．
27. 如图，点在直线上，，射线在内部．
（1）如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 °；
（2）如图2，当时，，画出相应图形，求度数．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查垂线、画角平分线、角计算，熟练掌握垂直的定义和角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义求出，用量角器画出射线即可，再计算度数即可；
（2）根据垂直的定义得，分两种情况：当在上方时，当在下方时，利用角的和与差即可得度数．
【小问1详解】
解：如图1，射线即为所画的射线，
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图2，当在上方时，
，
，
，
如图3，当在下方时，
，
，
，
．
综上所述：或．
28. 对于数轴上两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段．
（1）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为4，在线段中，与线段互为友好线段的是______；
（2）在数轴上，点表示的数分别为，且不重合．若线段互为友好线段，直接写出的值．
【答案】（1）
（2），7，9，26
【解析】
【分析】（1）根据互为友好线段定义分析即可；
（2）分的中点是的三等分点和的中点是的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可．
【小问1详解】
∵点表示的数为2，点表示的数为，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或．
∵点表示的数为，点表示的数为2，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或．
∵点表示的数为2，点表示的数为，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或；
∵的中点是的一个三等分点，的中点是的一个三等分点，
∴，与互为友好线段．
∵与无重叠部分，
∴与不可能是互为友好线段．
故答案为：，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，，
∴的中点表示的数是，
三等分点表示的数是或；
∵点表示的数分别为，
∴的中点表示的数是．
当的中点是的一个三等分点时，
则或，
∴或．
当的中点是的一个三等分点时，
若，即时，
，，
∴三等分点表示的数是或，
∴或，
解得或．
若，即时，
，，
∴三等分点表示的数是或，
∴或，
解得（舍去）或（舍去）．
综上可知，x的值为，7，9，26．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的n等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．工序
时间（分钟）
模型
打磨
组装
A模型
8
4
B模型
5
10
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