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2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高一（下）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省咸宁市崇阳县众望中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={−2,2,4}，B={x|x2=4}，则A∩B=( )
A. {4}B. {2}C. {2,4}D. {−2,2}
2.lg287+lg27的值为( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
3.已知sinα+csα=13，则sin2α=( )
A. −89B. −12C. 12D. 89
4.已知a，b为非零实数，且a<0A. a25.当x∈[−1,1]时，函数f(x)=3x−2的值域是( )
A. [1,53]B. [−1,1]C. [−53,1]D. [0,1]
6.函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是( )
A. f(x)+g(x)为奇函数B. f(x)+g(x)为偶函数
C. f(x)g(x)为奇函数D. f(x)g(x)为偶函数
7.已知幂函数f(x)的图象过点(2,14)，则f(3)=( )
A. 9B. 3C. 13D. 19
8.若函数f(x)=(1−2a)x+3a,x<1x2−4x+3,x≥1的值域为R，则a的取值范围是( )
A. (−1,12)B. [−2,12)C. [−1,12)D. (−2,12)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “a>1“是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
10.已知函数f(x)=sin(π2+x)−cs2(π−x)−1,x∈[π6,π2]，则( )
A. 函数f(x)的最大值为−34B. 函数f(x)的最大值为2 3−74
C. 函数f(x)的最小值为−1D. 函数f(x)的最小值为2 3−74
11.已知函数f(x)=x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是( )
A. f( 2)=2B. 若f(m)=9，则m≠±3
C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R单调递减
12.下列说法中正确的是( )
A. 若α是第二象限角，则点P(cs(−α),tan(π+α))在第三象限
B. 圆心角为1rad，半径为2的扇形面积为2
C. 利用二分法求方程lg2x=4−x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)
D. 若α∈(π,3π2)，且sinα+csα=−75，则sinα−csα=−15
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式2x2−3x+1<12的解集是 ．
14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−eax.若f(ln2)=8，则a= ．
15.函数的图象是两条线段(如图)，它的定义域为[−1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)−f(−x)>−1的解集为______．
16.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC、AC，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，cs∠DAB=45，则cs∠DAC=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知csα= 55,csβ=35，其中α，β都是锐角．求：
(1)sin(α−β)的值；
(2)tan(α−β)的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+x,x≥02−x,x<0．
(1)若f(a)=6，求实数a的值；
(2)画出函数的图象并写出函数f(x)在区间[−2,2]上的值域；
(3)若函数g(x)=f(x)+(2a−1)x+2，求函数g(x)在[1,4]上最大值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1．
(1)求f(x)的周期和单调区间；
(2)若f(α)=85，α∈(π4,π2)，求cs2α的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(1−x)+lga(x+3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)若函数f(x)的最小值为−4，求a的值．
21.(本小题12分)
f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x.
(1)若f(x)=1，求sin2(x+π3)的值；
(2)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m．
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={−2,2,4}，
B={x|x2=4}={−2,2}，
∴A∩B={−2,2}．
故选：D．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据对数的运算法则计算即可．
本题考查了对数的运算，属于基础题．
【解答】
解：lg287+lg27=lg2(87×7)=lg28=3，
故选：A
3.【答案】A
【解析】解：∵sina+csa=13，
∴(sina+csa)2=19，
∴1+2sinacsa=19，
∴sin2a=−89．
故选：A．
条件两边平方，结合二倍角公式即可求解．
考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值．
4.【答案】B
【解析】解：根据a，b为非零实数且a<0取a=−1，b=1，则可排除A，C，D．
故选：B．
根据条件取a=−1，b=1即可排除错误选项．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法．
利用指数函数的单调性，先判断函数f(x)的单调性，再利用单调性求函数的值域即可。
【解答】
解：∵函数f(x)=3x−2在R上为单调增函数，
∴当x∈[−1,1]时，f(−1)≤f(x)≤f(1)，即13−2≤f(x)≤3−2
即f(x)∈[−53,1]
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及判断，注意函数奇偶性的性质，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
则f(x)、g(x)公共定义域必定关于原点对称，
依次分析选项：
对于f(x)+g(x)，f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)，既不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；
对于f(x)g(x)，f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)，是奇函数，C正确，D错误；
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：设f(x)=xα，
∵幂函数f(x)的图象过点(2,14)，
∴2α=14，∴α=−2，
∴f(x)=x−2，
则f(3)=19，
故选：D．
先设f(x)=xα，再求出α=−2，求解即可．
本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．
先求出当x≥1时f(x)≥−1，因为函数f(x)的值域为R，所以当x<1时，需满足1−2a>0(1−2a)×1+3a≥−1，从而求出a的取值范围．
【解答】
解：当x≥1时，f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1≥−1，
∵函数f(x)的值域为R，
∴当x<1时，1−2a>0(1−2a)×1+3a≥−1，
解得：−2≤a<12，
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，当a>1时，1a<1，充分性成立；当1a<1时，有a<0或a>1，必要性不成立，
所以“a>1“是“1a<1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故B正确；
对于C，x，y∈R，则x≥2且y≥2时，x2+y2≥4，充分性成立；x2+y2≥4时，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，
所以“a≠0”是“ab≠0”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
根据充分条件和必要条件的定义分别判断ACD，根据全称命题的否定判断B．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了全称命题的否定，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由诱导公式可得，sin(π2+x)=csx,cs(π−x)=−csx，
故f(x)=sin(π2+x)−cs2(π−x)−1=csx−cs2x−1，
∵x∈[π6,π2]，∴csx∈[0, 32]，
令csx=t，则g(t)=−t2+t−1=−(t−12)2−34,t∈[0, 32]；
∴当t=12时，g(t)在[0, 32]内取得最大值为−34，即f(x)的最大值为−34；
当t=0时，g(t)在[0, 32]内取得最小值为−1，f(x)的最小值为−1；
故选：AC．
根据诱导公式化简函数解析式，再用换元法将三角函数转化为二次函数，求区间内的最值即可．
本题考查了三角函数的性质，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数的性质以及分段函数问题的处理方法，属于中档题．
通过代入计算、解方程、奇偶函数的定义以及函数的单调性性质，结合分段函数的性质逐项计算、判断即可．
【解答】
解：f( 2)=−( 2)2=−2，故A错误；
由f(m)=9得m≤0m2=9，或m>0−m2=9(舍)，解得m=−3，故B错误；
当x<0时，−x>0，故f(x)=x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x)，
同理可知当x>0时，也有f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，故f(x)是奇函数，故C正确；
当x≤0时，y=x2在(−∞,0]上单调递减，且f(0)=0，当x>0时，y=−x2单调递减，且f(x)<0，故f(x)在R上单调递减，故D正确．
故选CD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了三角函数诱导公式、扇形面积公式及利用二分法求函数的零点，属于基础题．
根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及sinα+csα，sinα−csα之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】
解：对A.若α是第二象限角，则cs(−α)=csα<0，tan(π+α)=tanα<0，故点P在第三象限，则A正确；
对B.根据题意，扇形面积S=12×1×22=2，故B正确；
对C.对lg2x=4−x，当x=2时lg22=1<4−2=2，当x=3时，lg23>4−3=1，
故可以取的一个区间是(2,3)，则C正确；
对D.α∈(π,3π2)，且sinα+csα=−75，则1+2sinαcsα=4925，解得sinαcsα=1225，
则sinα−csα=± 1−2sinαcsα=±15，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，属于基础题．
确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于x的不等式，得到结果、
【解答】
解：因为y=2x为单调递增函数，
故不等式2x2−3x+1<12⇒x2−3x+1<−1⇒x2−3x+2<0⇒1故答案为：(1,2)．
14.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据奇函数的定义，可得结果．
【解答】
解：∵f(x)是奇函数，
∴−f(ln2)=f(−ln2)=−8，
又∵当x<0时，f(x)=−eax，
∴f(−ln2)=−e−aln2=−8，
∴−aln2=ln8，
∴a=−3．
故答案为−3．
15.【答案】[−1,0)∪(12,1]
【解析】解：根据题意，由函数的图象，f(x)为奇函数，且解析式为f(x)=x+1,−1≤x<0x−1,0则f(x)−f(−x)>−1⇔2f(x)>−1⇔f(x)>−12，
结合函数的图象，必有x−1>−120解可得：−1≤x<0或12故答案为：[−1,0)∪(12,1]．
根据题意，由函数的图象分析f(x)的奇偶性和解析式，由此可得f(x)−f(−x)>−1⇔2f(x)>−1⇔f(x)>−12，结合解析式分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】4 3+310
【解析】解：因为以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，所以ACBC= 3，
所以在直角三角形ABC中∠BAC=π6，
因为cs∠DAB=45，所以sin∠DAB=35，
所以cs∠DAC=cs(∠DAB−π6)
=cs∠DABcsπ6+sin∠DABsinπ6
=45× 32+35×12=4 3+310，
故答案为：4 3+310．
由以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，可得ACBC= 3，求出∠BAC=π6，利用两角差的余弦公式即可求解．
本题考查解三角形，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由于已知csα= 55,csβ=35，
则π2>α>β>0，
故sinα=2 55，sinβ=45；
所以tanα=2，tanβ=43；
则sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=2 55×35− 55×45=2 525．
(2)tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=211．
【解析】(1)直接利用三角函数的定义求出函数的值，进一步求出差角的正弦；
(2)直接利用差角的正切求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三家函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)①当a≥0时，f(a)=a2+a=6，解得a=2，
②当a<0时，f(a)=2−a=6，解得a=−4
由上知a=2或a=−4．
(2)函数f(x)的图象如右图：，
∵f(0)=0，f(2)=22+2=6，f(−2)=2−(−2)=4，
∴由图象知函数f(x)的值域为[0,6]．
(3)当x∈[1,4]时，
g(x)=f(x)+(2a−1)x+2=x2+2ax+2，
配方得g(x)=(x+a)2+2−a2，
当−a≤52即a≥−52时，g(x)max=g(4)=18+8a，
当−a>52即a<−52时，g(x)max=g(1)=3+2a，
综上，g(x)max=18+8a,a≥−523+2a,a<−52．
【解析】本题主要考查了分段函数的应用，考查了二次函数的性质，同时考查了学生的作图能力，是中档题．
(1)对a分情况讨论，分别求出a的值即可．
(2)画出函数f(x)的图象，根据图象即可求出函数f(x)在区间[−2,2]上的值域．
(3)由题意可知g(x)=(x+a)2+2−a2，对称轴为x=−a，对对称轴的位置分两种情况讨论，在区间[1,4]的中点52的左侧或右侧，分别求出函数g(x)的最大值即可．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)，
∴T=2π2=π；
∴令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，
(2)∵f(α)=2sin(2α+π6)=85，
∴可得sin(2α+π6)=45，
∵α∈(π4,π2)，可得2α+π6∈(2π3,7π6)，
∴cs(2α+π6)=− 1−sin2(2α+π6)=−35，
∴cs2α=cs(2α+π6−π6)=cs(2α+π6)csπ6+sin(2α+π6)sinπ6=−35× 32+45×12=4−3 310．
【解析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f(x)的最小正周期；利用正弦函数的性质可求其单调区间．
(2)由已知可得sin(2α+π6)=45，可求范围2α+π6∈(2π3,7π6)，利用同角三角函数基本关系式可求cs(2α+π6)的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可求解．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)要使函数有意义：则有1−x>0x+3>0，解之得：−3则函数的定义域为：(−3,1)
(2)函数可化为f(x)=lga(1−x)(x+3)=lga(−x2−2x+3)
由f(x)=0，得−x2−2x+3=1，
即x2+2x−2=0，x=−1± 3
∵−1± 3∈(−3,1)，∴函数f(x)的零点是−1± 3
(3)函数可化为：
f(x)=lga(1−x)(x+3)=lga(−x2−2x+3)=lga[−(x+1)2+4]
∵−3∵0即f(x)min=lga4，由lga4=−4，得a−4=4，
∴a=4−14= 22
【解析】(1)根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
(2)利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f(x)=0，即−x2−2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
(3)把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值lga4，得lga4=−4利用对数的定义求出a的值．
本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)，
若f(x)=1，即有sin(2x+π6)=12，
所以sin2(x+π3)=1−cs(2x+2π3)2=1−cs[(2x+π6)+π2]2=1+sin(2x+π6)2=1+122=34；
(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，
因为x∈[0,π2]，可得2x+π6∈[π6,7π6]，
故当2x+π6=π2，即x=π6时f(x)取得最大值，且最大值为f(π6)=2，
∴m≤2，
即实数m的取值范围为(−∞,2]．
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．
(2)由题意，利用正弦函数的图象和性质，求得sin(2x+π6)的范围，可得m的范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，
则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcsθ=20csθ，且θ∈(0,π2)，
因为A，D关于原点对称，所以AD=2OA=40csθ，
设矩形ABCD的面积为S，则S=AD⋅AB=40csθ⋅20sinθ=400sin2θ，
因为θ∈(0,π2)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，Smax=400(m2)，
此时AO=DO=10 2(m)，
故当A，D距离圆心O为10 2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2；
(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40csθ，
所以AB+BC+CD=40sinθ+40csθ=40 2sin(θ+π4)，
又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,34π)，
当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40 2，
此时AO=DO=10 2，
即当A，D距离圆心O为10 2m时，步行小路的距离最远．
【解析】(1)设∠AOB=θ，利用直角三角形的边角关系以及倍角公式得出S=400sin2θ，再由正弦函数的性质得出最值；
(2)由AB+BC+CD=40 2sin(θ+π4)，结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换及三角函数在生活中的实际应用，属于中档题．
1.设集合A={−2,2,4}，B={x|x2=4}，则A∩B=( )
A. {4}B. {2}C. {2,4}D. {−2,2}
2.lg287+lg27的值为( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
3.已知sinα+csα=13，则sin2α=( )
A. −89B. −12C. 12D. 89
4.已知a，b为非零实数，且a<0
A. [1,53]B. [−1,1]C. [−53,1]D. [0,1]
6.函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是( )
A. f(x)+g(x)为奇函数B. f(x)+g(x)为偶函数
C. f(x)g(x)为奇函数D. f(x)g(x)为偶函数
7.已知幂函数f(x)的图象过点(2,14)，则f(3)=( )
A. 9B. 3C. 13D. 19
8.若函数f(x)=(1−2a)x+3a,x<1x2−4x+3,x≥1的值域为R，则a的取值范围是( )
A. (−1,12)B. [−2,12)C. [−1,12)D. (−2,12)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “a>1“是“1a<1”的充分不必要条件
B. 命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
10.已知函数f(x)=sin(π2+x)−cs2(π−x)−1,x∈[π6,π2]，则( )
A. 函数f(x)的最大值为−34B. 函数f(x)的最大值为2 3−74
C. 函数f(x)的最小值为−1D. 函数f(x)的最小值为2 3−74
11.已知函数f(x)=x2,x≤0,−x2,x>0,则下列结论中正确的是( )
A. f( 2)=2B. 若f(m)=9，则m≠±3
C. f(x)是奇函数D. 在f(x)上R单调递减
12.下列说法中正确的是( )
A. 若α是第二象限角，则点P(cs(−α),tan(π+α))在第三象限
B. 圆心角为1rad，半径为2的扇形面积为2
C. 利用二分法求方程lg2x=4−x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)
D. 若α∈(π,3π2)，且sinα+csα=−75，则sinα−csα=−15
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式2x2−3x+1<12的解集是 ．
14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−eax.若f(ln2)=8，则a= ．
15.函数的图象是两条线段(如图)，它的定义域为[−1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)−f(−x)>−1的解集为______．
16.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC、AC，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，cs∠DAB=45，则cs∠DAC=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知csα= 55,csβ=35，其中α，β都是锐角．求：
(1)sin(α−β)的值；
(2)tan(α−β)的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+x,x≥02−x,x<0．
(1)若f(a)=6，求实数a的值；
(2)画出函数的图象并写出函数f(x)在区间[−2,2]上的值域；
(3)若函数g(x)=f(x)+(2a−1)x+2，求函数g(x)在[1,4]上最大值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1．
(1)求f(x)的周期和单调区间；
(2)若f(α)=85，α∈(π4,π2)，求cs2α的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(1−x)+lga(x+3)(0
(2)求函数f(x)的零点；
(3)若函数f(x)的最小值为−4，求a的值．
21.(本小题12分)
f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x.
(1)若f(x)=1，求sin2(x+π3)的值；
(2)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m．
(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={−2,2,4}，
B={x|x2=4}={−2,2}，
∴A∩B={−2,2}．
故选：D．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据对数的运算法则计算即可．
本题考查了对数的运算，属于基础题．
【解答】
解：lg287+lg27=lg2(87×7)=lg28=3，
故选：A
3.【答案】A
【解析】解：∵sina+csa=13，
∴(sina+csa)2=19，
∴1+2sinacsa=19，
∴sin2a=−89．
故选：A．
条件两边平方，结合二倍角公式即可求解．
考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值．
4.【答案】B
【解析】解：根据a，b为非零实数且a<0
故选：B．
根据条件取a=−1，b=1即可排除错误选项．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了指数函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法．
利用指数函数的单调性，先判断函数f(x)的单调性，再利用单调性求函数的值域即可。
【解答】
解：∵函数f(x)=3x−2在R上为单调增函数，
∴当x∈[−1,1]时，f(−1)≤f(x)≤f(1)，即13−2≤f(x)≤3−2
即f(x)∈[−53,1]
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及判断，注意函数奇偶性的性质，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
则f(x)、g(x)公共定义域必定关于原点对称，
依次分析选项：
对于f(x)+g(x)，f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)，既不是奇函数也不是偶函数，A，B错误；
对于f(x)g(x)，f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)，是奇函数，C正确，D错误；
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：设f(x)=xα，
∵幂函数f(x)的图象过点(2,14)，
∴2α=14，∴α=−2，
∴f(x)=x−2，
则f(3)=19，
故选：D．
先设f(x)=xα，再求出α=−2，求解即可．
本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的应用，考查了解不等式，是中档题．
先求出当x≥1时f(x)≥−1，因为函数f(x)的值域为R，所以当x<1时，需满足1−2a>0(1−2a)×1+3a≥−1，从而求出a的取值范围．
【解答】
解：当x≥1时，f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1≥−1，
∵函数f(x)的值域为R，
∴当x<1时，1−2a>0(1−2a)×1+3a≥−1，
解得：−2≤a<12，
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，当a>1时，1a<1，充分性成立；当1a<1时，有a<0或a>1，必要性不成立，
所以“a>1“是“1a<1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故B正确；
对于C，x，y∈R，则x≥2且y≥2时，x2+y2≥4，充分性成立；x2+y2≥4时，不能得出x≥2且y≥2，必要性不成立，
所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，设a，b∈R，a≠0时，不能得出ab≠0，充分性不成立；“ab≠0”时，得出a≠0，必要性成立，
所以“a≠0”是“ab≠0”的是必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
根据充分条件和必要条件的定义分别判断ACD，根据全称命题的否定判断B．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了全称命题的否定，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由诱导公式可得，sin(π2+x)=csx,cs(π−x)=−csx，
故f(x)=sin(π2+x)−cs2(π−x)−1=csx−cs2x−1，
∵x∈[π6,π2]，∴csx∈[0, 32]，
令csx=t，则g(t)=−t2+t−1=−(t−12)2−34,t∈[0, 32]；
∴当t=12时，g(t)在[0, 32]内取得最大值为−34，即f(x)的最大值为−34；
当t=0时，g(t)在[0, 32]内取得最小值为−1，f(x)的最小值为−1；
故选：AC．
根据诱导公式化简函数解析式，再用换元法将三角函数转化为二次函数，求区间内的最值即可．
本题考查了三角函数的性质，考查了函数思想及转化思想，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数的性质以及分段函数问题的处理方法，属于中档题．
通过代入计算、解方程、奇偶函数的定义以及函数的单调性性质，结合分段函数的性质逐项计算、判断即可．
【解答】
解：f( 2)=−( 2)2=−2，故A错误；
由f(m)=9得m≤0m2=9，或m>0−m2=9(舍)，解得m=−3，故B错误；
当x<0时，−x>0，故f(x)=x2，f(−x)=−(−x)2=−x2=−f(x)，
同理可知当x>0时，也有f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，故f(x)是奇函数，故C正确；
当x≤0时，y=x2在(−∞,0]上单调递减，且f(0)=0，当x>0时，y=−x2单调递减，且f(x)<0，故f(x)在R上单调递减，故D正确．
故选CD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了三角函数诱导公式、扇形面积公式及利用二分法求函数的零点，属于基础题．
根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及sinα+csα，sinα−csα之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】
解：对A.若α是第二象限角，则cs(−α)=csα<0，tan(π+α)=tanα<0，故点P在第三象限，则A正确；
对B.根据题意，扇形面积S=12×1×22=2，故B正确；
对C.对lg2x=4−x，当x=2时lg22=1<4−2=2，当x=3时，lg23>4−3=1，
故可以取的一个区间是(2,3)，则C正确；
对D.α∈(π,3π2)，且sinα+csα=−75，则1+2sinαcsα=4925，解得sinαcsα=1225，
则sinα−csα=± 1−2sinαcsα=±15，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】(1,2)
【解析】【分析】
本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，属于基础题．
确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于x的不等式，得到结果、
【解答】
解：因为y=2x为单调递增函数，
故不等式2x2−3x+1<12⇒x2−3x+1<−1⇒x2−3x+2<0⇒1
14.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据奇函数的定义，可得结果．
【解答】
解：∵f(x)是奇函数，
∴−f(ln2)=f(−ln2)=−8，
又∵当x<0时，f(x)=−eax，
∴f(−ln2)=−e−aln2=−8，
∴−aln2=ln8，
∴a=−3．
故答案为−3．
15.【答案】[−1,0)∪(12,1]
【解析】解：根据题意，由函数的图象，f(x)为奇函数，且解析式为f(x)=x+1,−1≤x<0x−1,0
结合函数的图象，必有x−1>−120
根据题意，由函数的图象分析f(x)的奇偶性和解析式，由此可得f(x)−f(−x)>−1⇔2f(x)>−1⇔f(x)>−12，结合解析式分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，不等式的解法，属于基础题．
16.【答案】4 3+310
【解析】解：因为以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，所以ACBC= 3，
所以在直角三角形ABC中∠BAC=π6，
因为cs∠DAB=45，所以sin∠DAB=35，
所以cs∠DAC=cs(∠DAB−π6)
=cs∠DABcsπ6+sin∠DABsinπ6
=45× 32+35×12=4 3+310，
故答案为：4 3+310．
由以直角边AC、BC为直径的两个半圆的面积之比为3，可得ACBC= 3，求出∠BAC=π6，利用两角差的余弦公式即可求解．
本题考查解三角形，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由于已知csα= 55,csβ=35，
则π2>α>β>0，
故sinα=2 55，sinβ=45；
所以tanα=2，tanβ=43；
则sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=2 55×35− 55×45=2 525．
(2)tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=211．
【解析】(1)直接利用三角函数的定义求出函数的值，进一步求出差角的正弦；
(2)直接利用差角的正切求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的定义，三家函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)①当a≥0时，f(a)=a2+a=6，解得a=2，
②当a<0时，f(a)=2−a=6，解得a=−4
由上知a=2或a=−4．
(2)函数f(x)的图象如右图：，
∵f(0)=0，f(2)=22+2=6，f(−2)=2−(−2)=4，
∴由图象知函数f(x)的值域为[0,6]．
(3)当x∈[1,4]时，
g(x)=f(x)+(2a−1)x+2=x2+2ax+2，
配方得g(x)=(x+a)2+2−a2，
当−a≤52即a≥−52时，g(x)max=g(4)=18+8a，
当−a>52即a<−52时，g(x)max=g(1)=3+2a，
综上，g(x)max=18+8a,a≥−523+2a,a<−52．
【解析】本题主要考查了分段函数的应用，考查了二次函数的性质，同时考查了学生的作图能力，是中档题．
(1)对a分情况讨论，分别求出a的值即可．
(2)画出函数f(x)的图象，根据图象即可求出函数f(x)在区间[−2,2]上的值域．
(3)由题意可知g(x)=(x+a)2+2−a2，对称轴为x=−a，对对称轴的位置分两种情况讨论，在区间[1,4]的中点52的左侧或右侧，分别求出函数g(x)的最大值即可．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=2csx( 3sinx+csx)−1= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)，
∴T=2π2=π；
∴令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，
(2)∵f(α)=2sin(2α+π6)=85，
∴可得sin(2α+π6)=45，
∵α∈(π4,π2)，可得2α+π6∈(2π3,7π6)，
∴cs(2α+π6)=− 1−sin2(2α+π6)=−35，
∴cs2α=cs(2α+π6−π6)=cs(2α+π6)csπ6+sin(2α+π6)sinπ6=−35× 32+45×12=4−3 310．
【解析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f(x)的最小正周期；利用正弦函数的性质可求其单调区间．
(2)由已知可得sin(2α+π6)=45，可求范围2α+π6∈(2π3,7π6)，利用同角三角函数基本关系式可求cs(2α+π6)的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可求解．
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)要使函数有意义：则有1−x>0x+3>0，解之得：−3
(2)函数可化为f(x)=lga(1−x)(x+3)=lga(−x2−2x+3)
由f(x)=0，得−x2−2x+3=1，
即x2+2x−2=0，x=−1± 3
∵−1± 3∈(−3,1)，∴函数f(x)的零点是−1± 3
(3)函数可化为：
f(x)=lga(1−x)(x+3)=lga(−x2−2x+3)=lga[−(x+1)2+4]
∵−3
∴a=4−14= 22
【解析】(1)根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
(2)利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f(x)=0，即−x2−2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
(3)把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值lga4，得lga4=−4利用对数的定义求出a的值．
本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=csx(2 3sinx+csx)−sin2x=2 3sinxcsx+cs2x−sin2x= 3sin2x+cs2x=2( 32sin2x+12cs2x)=2sin(2x+π6)，
若f(x)=1，即有sin(2x+π6)=12，
所以sin2(x+π3)=1−cs(2x+2π3)2=1−cs[(2x+π6)+π2]2=1+sin(2x+π6)2=1+122=34；
(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，
因为x∈[0,π2]，可得2x+π6∈[π6,7π6]，
故当2x+π6=π2，即x=π6时f(x)取得最大值，且最大值为f(π6)=2，
∴m≤2，
即实数m的取值范围为(−∞,2]．
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．
(2)由题意，利用正弦函数的图象和性质，求得sin(2x+π6)的范围，可得m的范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ，
则AB=OBsinθ=20sinθ，OA=OBcsθ=20csθ，且θ∈(0,π2)，
因为A，D关于原点对称，所以AD=2OA=40csθ，
设矩形ABCD的面积为S，则S=AD⋅AB=40csθ⋅20sinθ=400sin2θ，
因为θ∈(0,π2)，所以当sin2θ=1，即θ=π4时，Smax=400(m2)，
此时AO=DO=10 2(m)，
故当A，D距离圆心O为10 2m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2；
(2)由(1)知AB=20sinθ，AD=40csθ，
所以AB+BC+CD=40sinθ+40csθ=40 2sin(θ+π4)，
又θ∈(0,π2)，所以θ+π4∈(π4,34π)，
当θ+π4=π2，即θ=π4时，(AB+BC+CD)max=40 2，
此时AO=DO=10 2，
即当A，D距离圆心O为10 2m时，步行小路的距离最远．
【解析】(1)设∠AOB=θ，利用直角三角形的边角关系以及倍角公式得出S=400sin2θ，再由正弦函数的性质得出最值；
(2)由AB+BC+CD=40 2sin(θ+π4)，结合正弦函数的性质求解即可．
本题考查了三角恒等变换及三角函数在生活中的实际应用，属于中档题．
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