专题1.5 二次根式章末拔尖卷-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·河北承德·八年级统考期末）若x=5−3，则x2+6x+9的值为（ ）
A．5B．5C．5+3D．2
【答案】A
【分析】将原式变形为x+32，然后将x的值代入计算即可．
【详解】解：∵x=5−3，
∴x2+6x+9
=x+32
=5−3+32
=52
=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
2．（3分）（2023春·福建莆田·八年级统考期中）已知n是正整数，28n是整数，则n的最小值是( )
A．0B．2C．3D．7
【答案】D
【分析】首先把28n进行化简，然后根据28n是整数确定n的最小值．
【详解】解：∵28n=27n，且28n是整数，
∴7n是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)
∴n的最小值是7．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“7n是个完全平方数”．
3．（3分）（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知a<0，那么−4ab可化简为（ ）
A．2b−ab B．−2babC．−2b−abD．2b−ab
【答案】D
【分析】结合已知条件、分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出b的取值范围，然后根据二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解：由题意可知：a<0b≠0−4ab≥0
解得：b＞0
∴−4ab=−4ab=2−a•bb•b=2−abb=2b−ab
故选D．
【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
4．（3分）（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）下列二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1的选项是（ ）
A．x−2x−1B．x−12C．x−1x−2D．2x−1
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件，A选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0；B选项保证被开放式大于等于0；C选项保证被开放式大于等于0，且坟墓不为0；D选项保证被开放式大于等于0，且分母不为0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：A. x−2x−1中，x的取值范围是x>1，故此项不符合题意；
B. x−12中，x的取值范围是x≥1，故此项符合题意；
C. x−1x−2中，x的取值范围是x≥1，且x≠2，故此项不符合题意；
D. 2x−1中，x的取值范围是x>1，故此项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
5．（3分）（2023春·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．12+3与12−3互为倒数
B．若2−2x>1则x>12−2
C．若x+3与3是同类二次根式，则x+3与3不一定相等
D．若a+b<0，则ab=1bab
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【详解】A.12+3×12−3=−1，不是互为倒数，选项错误；
B.若2−2x>1，由于2−2<0，则x<12−2，选项错误；
C.若x+3与3是同类二次根式，则x+3与3不一定相等，选项正确；
D.由ab可得ab≥0，结合a+b<0可得a≤0，b<0，则ab=−1bab，选项错误；
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．
6．（3分）（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）若25+22在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．6和7B．7和8C．8和9D．9和11
【答案】B
【分析】根据二次根式乘法运算、二次根式性质及无理数估算即可得到答案．
【详解】解：25+22
=10+4，
∵9<10<16，
∴9<10<16，即3<10<4，
∴ 7<10+4<8，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式运算及无理数估算，掌握无理数估算方法是解决问题的关键．
7．（3分）（2023春·重庆·八年级校联考期中）设a=2，b=3，若用含a、b的式子表示0.54，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3abB．3abC．0.1abD．0.1a３b
【答案】A
【详解】∵0.54=0.09×2×3=0.3×2×3，2a，3=b，
∴0.54=0.3ab.
故选：A.
8．（3分）（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）设a1=1+112+122，a2=1+122+132，a3=1+132+142，……，an=1+1n2+1(n+1)2．其中n为正整数，则a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2021的值是（ ）
A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022
【答案】D
【分析】根据题意，先求出an=1+1n(n+1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵n为正整数，
∴an=1+1n2+1(n+1)2
＝n2•(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2
＝[n(n+1)]2+2n(n+1)+1n2(n+1)2
＝(n2+n+1)2n(n+1)
＝n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)；
∴a1+a2+a3+⋯+a2021
＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）
＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022
＝2021+1﹣12022
＝202120212022．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数1n(n+1)化成1n−1n+1，再化简an，寻找抵消规律求和．
9．（3分）（2023春·湖南·八年级期末）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1a的值为（ ）
A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+1
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】3+5−3−5
=6+252-6-252
=5+12-5-12
=2
∴a的小数部分为2-1，
6+33−6−33
=12+632−12−632
=3+32-3-32
=6
∴b的小数部分为6-2，
∴2b−1a=26-2-12-1=6+2-2-1=6-2+1，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
10．（3分）（2023春·重庆开州·八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如2+32−3=2+32+32−32+3=7+43．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子15−2进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以2+5；
②若a是2的小数部分，则3a的值为2+1；
③比较两个二次根式的大小：16−2>15−3；
④计算23+3+253+35+275+57+⋅⋅⋅+29997+9799=1−33；
⑤若x=n+1−nn+1+n，y=1x，且19x2+123xy+19y2=1985，则整数n=2．
以上结论正确的是（ ）
A．①③④B．①④⑤C．①②③⑤D．①③⑤
【答案】D
【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；
②估计无理数的整数部分，求出小数部分a=2−1，进而分母有理化进行化简；
③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；
④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值；
⑤x与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故xy=1，然后观察方程特点，求得n的值．
【详解】解： (5−2)(5+2)=5−2=3，故将式子15−2进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以2+5，故①对；
∵a是2 的小数部分，
∴a=2−1，
∴3a=32−1=3(2+1)(2−1)(2+1)=3(2+1)，
故②错误；
∵16−2=6+2(6−2)(6+2)=6+22，15−3=5+3(5−3)(5+3)=5+32，
又∵(6+2)2=10+46=10+224，(5+3)2=8+215，
∴(6+2)2>(5+3)2，
∴6+2>5+3，
∴6+22>5+32，
∴16−2>15−3，
故③对；
∵23+3+253+35+275+57+⋅⋅⋅+29997+9799
=2(3−3)(3+3)(3−3)+2(53−35)(53+35)(53−35)+2(75+57)(75+57)(75−57)+⋯+2(9997−9799)(9997+9799)(9997−9799)
=(1−33)+(33−55)+(55−77)+⋯+(9797−9999)
=1−33+33−55+55−77+⋯+(9797−9999)
=1−9999，
故④错误；
⑤∵x=n+1−nn+1+nn+1+nn+1−n=(n+1−n)(n+1−n)(n+1+n)(n+1−n)=(n+1−n)2，
∴x>0，
∵y=1x，
∴xy=1，y=n+1+nn+1−n=(n+1+n)2，
∴y>0，
∴x+y>0，
∵19x2+123xy+19y2=1985，
∴19x2+123+19y2=1985，
x2+y2=1985，
x2+y2+2xy=98+2xy，
(x+y)2=98+2，
(x+y)2=100，
∵x+y>0，
∴xy=10，
即(n+1−n)2+(n+1+n)2=10，
解得n=2.
故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化,解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·河北衡水·八年级校考期中）比较大小6−5 5−2，15+5 13+7．
【答案】 ＜ ＜
【分析】前一题先分别求得相应的倒数，通过比较倒数的大小从而判断原数的大小，后一题先分别求得对应的平方结果，进而可比较原数的大小．
【详解】解：∵16−5=6+5，15−2=5+2，
又∵6+5>5+2，
∴16−5>15−2，
∴6−5<5−2；
∵(15+5)2=20+275，(13+7)2=20+291，
又∵75<91，
∴(15+5)2<(13+7)2，
∴15+5<13+7．
故答案为：＜；＜．
【点睛】本题考查了二次根式的比较大小：结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的方法比较二次根式的大小是解决本题的关键．
12．（3分）（2023春·山东济南·八年级统考期末）若最简根式2与5m−3是同类二次根式，则m= ．
【答案】1
【分析】根据同类二次根式的定义可得5m−3=2，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵最简根式2与5m−3是同类二次根式，
∴5m−3=2，
5m=5，
m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13．（3分）（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x，则x+22= ．
【答案】4
【详解】根据题意得AB=2-1，
又∵AC=AB，
∴AC=2-1，
∴x=1-(2-1)=2-2，
∴x+22=(2-2+2)2=4．
故答案为4．
14．（3分）（2023春·浙江温州·八年级校考期中）若y2=4y−x−3−4，则x+2y的值是 ．
【答案】7
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而代入得出答案．
【详解】∵y2=4y−x−3−4，
∴(y−2)2+x−3=0，
∴y−2=0，x−3=0，
解得：y=2，x=3，
∴x+2y=3+2×2=7．
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
15．（3分）（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中a、b、c三个实数的积为 ．
【答案】18
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方62c=6a=23b=23ac，然后求解即可．
【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴62c=6a=23b=23ac，
解得，a=6,c=3,b=32，
abc=6×3×32=18
故答案为：18．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式．
16．（3分）（2023春·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知m,x,y是两两不相等的实数，且满足mx−m+my−m=x−m−m−y，则3x2+xy−y2x2−xy+5y2的值为 ．
【答案】17
【分析】根据被开方数是非负数，确定出m=0，x=−y，代入原式即可解决问题．
【详解】解：∵m，x，y是两两不相等的实数且满足m(x−m)+m(y−m)=x−m−m−y，
又∵ m−y≥0x−m≥0m(y−m)≥0m(x−m)≥0，
∴m=0，x=−y，x≠0，y≠0，
∴原式=3y2−y2−y2y2+y2+5y2=17．
故答案为：17
【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出m=0，x=−y，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）化简或计算：
(1)54−5−6+322
(2)ab5⋅−32a3b÷ba
【答案】(1)46+13
(2)−32a2b2ab
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式=36−5−6+18
=36−5+6+18
=46+13；
（2）解：原式=−32ab5⋅a3b÷ba
=−32ab5⋅a3b⋅ab
=−32a5b5
=−32a2b2ab．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（6分）（2023春·广东阳江·八年级校联考期中）已知若a=3+2，b=3−2，求：
(1)求a2b+ab2的值．
(2)求a2−3ab+b2的值．
【答案】(1)−23
(2)17
【分析】（1）先求出a+b和ab的值，然后把a2b+ab2因式分解后代入计算即可；
（2）先求出a−b和ab的值，然后把a2−3ab+b2变形后代入计算即可．
【详解】（1）∵a=3+2，b=3−2，
∴a+b=3+2+3−2=23，ab=3+23−2=−1，
∴a2b+ab2=aba+b=−23；
（2）∵a=3+2，b=3−2，
∴a−b=3+2−3+2=4，ab=3+23−2=−1，
∴a2−3ab+b2
=a2−2ab+b2−ab
=a−b2−ab
=a−b2−ab
=42−−1
=17．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及因式分解的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
19．（8分）（2023春·四川达州·八年级统考期中）已知x=12+3，y=12−3；
(1)求x2+y2−3xy的值；
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求a+b2+a−b2的值．
【答案】(1)11
(2)23−2
【分析】（1）先进行分母有理化，再直接代入计算即可；
（2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a，b的值，再直接代入计算即可．
【详解】（1）解：∵x=12+3=2−3，y=12−3=2+3，
∴x2+y2−3xy
=2−32+2+32−32−32+3
=7−43+7+43−3
=11；
（2）解：∵1<3<2，
∴0<2−3<1，3<2+3<4，
由（1）知x=2−3，y=2+3，
∴0又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a=2−3，b=2+3−3=3−1，
∴a+b2+a−b2
=2−3+3−12+2−3−3+12
=1+23−3
=23−2．
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键．
20．（8分）（2023春·北京西城·八年级校考期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：223=83=22×23=223，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如338=338、4415=4415等等．
(1)猜想：6635=______；
(2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
(3)请用只含有一个正整数nn≥2的等式表示上述规律：______．
【答案】(1)6635
(2)5524=5524（答案不唯一，符合规律即可）
(3)nnn2−1=nnn2−1
【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
（3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
【详解】（1）解：6635，验证如下：
6635=21635=62×635=6635．
故答案为6635．
（2）解：根据已知等式的规律可写出：5524=5524，…．
故答案为5524=5524（答案不唯一，符合规律即可）．
（3）解：第一个等式为223=223，即2222−1=2222−1；
第二个等式为338=338，即3332−1=3332−1；
第三个等式为4415=4415，即4442−1=4442−1．
∴用含正整数n(n≥2)的式子表示为：nnn2−1=nnn2−1．
【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
21．（8分）（2023春·广西河池·八年级统考期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：(1−3x)2−|1−x|
解：隐含条件1−3x≥0，解得：x≤13
∴1−x>0
∴原式=(1−3x)−(1−x)=1−3x−1+x=−2x
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简(3−x)2−(2−x)2；
【类比迁移】
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(a+b)2−|b−a|；

(3)已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：(a+b+c)2+(a−b−c)2+(b−a−c)2+(c−b−a)2．
【答案】(1)1
(2)−a−2b
(3)2a+2b+2c
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b<0、b−a>0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形三边间的关系得出a−b−c<0、b−a−c<0、c−b−a<0，再利用二次根式的性质化简可得．
【详解】（1）解：隐含条件2−x≥0解得：x≤2，
∴x−3<0，
∴原式=(3−x)−(2−x)
=3−x−2+x
=1；
（2）观察数轴得隐含条件：a<0，b>0，|a|>|b|，
∴a+b<0，b−a>0，
∴原式=−a−(a+b)−(b−a)
=−a−a−b−b+a
=−a−2b；
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c>0，b+c>a，a+c>b，a+b>c，
∴a−b−c<0，b−a−c<0，c−b−a<0，
∴原式=(a+b+c)−(a−b−c)−(b−a−c)−(c−b−a)
=a+b+c−a+b+c−b+a+c−c+b+a
=2a+2b+2c．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质a2=|a|及三角形三边间的关系等知识点．
22．（8分）（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）阅读下列材料，并解决问题：
【观察发现】
∵5+22=5+2+25×2=7+210，
∴7+210=5+22=5+2；
∵6+82=6+8+26×8=14+248=14+83，
∴14+83=14+248=6+82=6+8=6+22；
∵5−22=5+2−25×2=7−210，
∴7−210=5−22=5−2．
【建立模型】形如p±2q的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数m、n（m>n），使m+n=p，mn=q，那么p±2q=m±n．
【问题解决】
（1）化简：①11+230=______；②71−167=______；
（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为113030+2、宽为230的矩形，当它们的面积相等，求正方形的边长a．
【答案】（1）①6+5；②8−7；（2）10+23
【分析】（1）根据模型解释，找到使m+n=p，mn=q成立的两个正整数m、n即可求解；
（2）由题意得113030+2×230=a2即可求解．
【详解】解：（1）①令m+n=11，mn=30
解得：m=6,n=5或m=5,n=6
∴11+230=62+52+2×6×5=6+52=6+5
②71−167=71−2448
令m+n=71，mn=448
解得：m=64,n=7或m=7,n=64
∴71−2448=642+72−2×64×7=64−72=8−7
（2）由题意得：113030+2×230=a2
113030+2×230=22+430=22+2120
令m+n=22，mn=120
解得：m=10,n=12或m=12,n=10
∴22+2120=102+122+2×10×12=10+122
∴10+122=a2
解得：∴a=10+12=10+23
【点睛】本题以完全平方公式为背景，考查复合二次根式的化简．读懂模型是解决问题的关键．
23．（8分）（2023春·江西宜春·八年级校考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 23+1= 2(3−1)(3+1)(3−1)= 2(3−1)(3)2−1= 2(3−1)2= 3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则a2+b2=(a+b)2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：13+1+ 15+3+ 17+5+ ...+12019+2017；
(2)m 是正整数， a m+1−mm+1+m，b m+1+mm+1−m且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
(3)已知15+x2−26−x2=1，求15+x2+26−x2的值．
【答案】(1)2019−12
(2)m=2
(3)15+x2+26−x2=9
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可；
（3）先得到15+x2⋅26−x2=20，然后可得(15+x2+26−x2)2=(15+x2−26−x2)2+415+x2⋅26−x2=81，最后由15+x2≥0,26−x2≥0，求出结果
【详解】（1）原式=3−12+5−32+7−52+⋯+2019−20172
=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172
=2019−12，
（2）∵a m+1−mm+1+m，b m+1+mm+1−m，
∴a+b=(m+1−m)2+(m+1+m)2(m+1+m)(m+1−m)=2(2m+1),ab=1，
∵2a2+1823ab+2b2=2019，
∴2(a2+b2)+1823=2019，
∴a2+b2=98，
∴4(2m+1)2=100，
∴2m=±5−1，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由15+x2−26−x2=1得出(15+x2−26−x2)2=1，
∴15+x2⋅26−x2=20，
∵(15+x2+26−x2)2=(15+x2−26−x2)2+415+x2⋅26−x2=81，
∵15+x2≥0,26−x2≥0，
∴15+x2+26−x2=9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23
1
b
3
a
2
2
6
c