专题13 直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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题型一 判断直线与圆的位置关系
题型二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值
题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离
题型四 求直线平移到与圆相切时运动的距离
题型五 切线的判定定理
题型六 切线的性质定理
题型七 切线的性质与判定定理
题型八 切线长定理的应用
题型九 三角形内心的有关应用
题型十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
题型十二 圆的综合问题
【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】
1．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知，点在的平分线上，，以点为圆心，为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．不确定
【答案】A
【分析】过点作于点，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，又因为大于半径，即可得到与的位置关系．
【详解】解：过点作于点，
，点在的平分线上，
，
在中，，
，
，
与的位置关系是相离，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，30度角所对的直角边等于斜边一半，直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题关键．
2．（2022·上海·九年级专题练习）如果x的取值范围是a＜x＜b，我们就将b与a的差叫做x的变化区间长度．如图，在菱形ABCD中，对角线AC交BD于点O，且AC＝16，BD＝12．如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，那么r的变化区间长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求出r变化的临界值，根据变化区间长度的定义即可求解．
【详解】解：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，
∴AB＝＝10，
过点O作OH⊥AB于点H，如图，
∵OA·OB＝AB·OH，
∴OA·OB＝AB·OH，
∴OH＝，
∵菱形的中心O到各边的距离都相等，
∴以点O为圆心，为半径画圆，该圆与菱形的各边都相切，此时⊙O与菱形ABCD的各边有4个公共点；
当以点O为圆心，6为半径画圆，该圆过点B、D，与菱形ABCD的各边有6个公共点，
∴如果以O为圆心，r为半径的⊙O与菱形ABCD的各边有8个公共点，则＜r＜6，
∴r的变化区间长度是6﹣，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理，菱形的性质等知识，求得r变化的临界值是解题的关键．
3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是 ．

【答案】相交
【分析】根据点P的坐标得出，进而得出平移后，再将点O到圆心的距离与半径比较，即可x轴和圆的位置关系．
【详解】解：∵，
∴，
将沿y轴负方向平移个单位长度后，，
∵，
∴平移后x轴与的位置关系是相交，
故答案为：相交．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系有相交，相切，相离；若圆到直线的距离为d，时，圆与直线相交；时，圆与直线相切；时，圆与直线相离．
4．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且与点O的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后与直线相切．

【答案】4或8
【分析】分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间．
【详解】解：当点在射线时与相切，如图，过作与，

，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间（秒；
当点在射线时与相切，如图，过作与，

，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间（秒．
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，为边上一点（不与点重合）．若的半径为，当在什么范围内取值时，直线与相离、相切、相交？
【答案】当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交
【分析】作于点D，根据直角三角形的性质得出，根据直线和圆的位置关系进行解答即可．
【详解】解：作于点D，如图所示：

∵，，
∴，
.∵，
∴，
若与直线相离，则有，即，解得，∴；
若与直线相切，则有，即，解得；
若与直线相交，则有，即，解得，∴；
综上可知：当时，直线与相离；当时，直线与相切；当时，直线与相交．
【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质得出．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；
(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________（填“相交”“相切”或“相离”）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)相切
【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点O即为圆心；
（2）根据题意可得，则，利用勾股定理求出，进而利用勾股定理求出半径R即可；
（3）根据直线到圆的距离等于半径，即可知直线l与圆相切．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；

（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴所求圆的半径为；
（3）解：∵直线l到圆心的距离等于，且圆的半径为，
∴直线l与圆相切，
故答案为：相切．
【点睛】本题主要考查了确定圆心的位置，垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
【经典例题二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（ ）
A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜3
【答案】D
【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
【详解】解：由题意知，
两圆内含，则0≤d＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），
即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d＞R+r；②外切，则d=R+r；③相交，则R-r＜d＜R+r；④内切，则d=R-r；⑤内含，则d＜R-r．
2．（2021秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（ ）
A．0≤x≤3B．x＞3C．﹣3≤x≤3D．﹣3≤x≤3，且x≠0
【答案】D
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝3，∠P′OC＝45°，
OP′＝3，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3，
同理可得：
过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3≤x＜0，
综上所述：﹣3≤x≤3，且x≠0．
故选D．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于及一个矩形给出如下定义：如果上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．若矩形的“等距圆” 始终在矩形内部（含边界），则的半径r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定最大圆的位置，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：矩形的顶点的坐标为，顶点、在轴上，且．
它的中心点坐标为，如图，
经过点且在矩形内部（含边界）的最大圆为过点且和，相切的圆，
设切点分别为，，如图，
连接，，，过点作轴于点，设的半径为，
则，，，
在中，
，
，
解得，，
由题意，，而，
应舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，一元二次方程的解法，解题的关键是确定出最大圆的位置，利用勾股定理解答．
4．（2022秋·河北邢台·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，，，，若以点C为圆心，r为半径的圆与边所在直线相离，则r的取值范围为 ；若与边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再利用面积法求出即可判断．
【详解】解：如图，作于．
在中，∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心，为半径的圆与边所在直线相离，
∴的取值范围为，
∵与边只有一个公共点，
∴的取值范围为或，
故答案为：，或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为；
当点在直线右侧时，，解得；
∴；
当点在直线左侧时，，得，
∴，

∴当与直线相切时，点的坐标为或．
（2）解：由（1）可知当时，与直线相交
当或时，与直线相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键．
6．（2023·江苏常州·统考二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作.
已知点，，连接．

(1)填空： ______；
(2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围；
(3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C.
①当时，求此时r的值；
②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)①，②
【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案；
（2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案；
（3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴轴，
∴，
故答案为：3；
（2）如图所示，表示与线段有交点，

此时,
∴；
（3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，

过点C作，垂足为H，
，，
，，
点C落在x轴上，
，
；
②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，

此时，，
∴．
【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点．
【经典例题三 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是．
【详解】解：设切点为，连接，则
圆的半径，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．
【答案】B
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．
【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
3．（2023秋·九年级课时练习）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ．
【答案】或
【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且．
【详解】作轴，连结，如图，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，
∴过点或者与轴相切，
∴或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质．
4．（2021·福建龙岩·统考二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ．
【答案】．
【分析】过点作交于点，与圆交于点，根据直线与轴、轴分别交于和点，可得点坐标是（0，-2），点坐标是（-4，0），则有，，，再根据圆心为（0，2）的圆与轴相切，可得,，根据,可求得，利用，可求得结果．
【详解】解：如图示，过点作交于点，与圆 交于点，则点为所求，
直线与轴、轴分别交于 和点，
∴当时，，
∴点坐标是（0，-2），
∴当时，，
∴点坐标是（-4，0），
∴，，
∴，
又∵圆心为（0，2）的圆与轴相切，
∴,，
∴，
∴，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心到直线的距离是解题的关键．
5．（2020秋·安徽铜陵·九年级统考期末）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则．
(1)如图（1），，，⊙的半径为2，则 ， ；
(2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，．
①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标；
②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围 ．
【答案】（1）2，；（2）①是⊙的切线，；②或．
【分析】（1）根据图形M，N间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可．
（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．首先证明∠CBO＝30，再证明DH＝DE即可证明是⊙的切线，再求出OE,DE的长即可求出点D的坐标．
②根据，得到不等式组解决问题即可．
【详解】（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，
∴d（C，⊙C）＝2，
d（O，⊙C）＝AC−2＝，
故答案为2；；
（2）①连接，作于.设．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∵是⊙的切线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
∵，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
②∵
∴B（0，）
∴BD=
由，，得
解得或
故答案为：或．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了图形M，N间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
6．（2020秋·山东济宁·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”．
（1）当的半径为1时，
①在点中，的“离心点”是_____________；
②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；
（2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．
【答案】（1）①；②；（2）圆心C的纵坐标满足或
【分析】(1) ①分别计算的长，判断P到的切线长是否小于或等于2r，即可解题；②设，根据题意，当过点P的切线长为2时，OP=5，列出相应的一元二次方程，解方程即可；
(2) 分类讨论，当C在y轴的正半轴上时，当点C在y轴的负半轴上时，当圆C与直线相切时，画出相应的图形，结合全等三角形的判定与性质解题．
【详解】①
所以点不在圆上，不符合题意；
因为过点的切线长为，
所以是圆的离心点
因为过的切线长为
所以是离心点；
故答案为；
②如图设
当过点P的切线长为2时，OP=5，
所以
解得m=1或m=2
观察图像得
（2）如图2，当C在y轴的正半轴上时，经过点B(1，0)，A(2，0)
当AC=，点A是离心点，此时C(0，4)；
观察图像知圆的纵坐标满足，线段AB上所有的点都是离心点；
如图3，当点C在y轴的负半轴上时，，点B是离心点，此时C(0， )
如图4，当圆C与直线相切时，设切点为N，
如图，由题意得
，，
观察图像得当圆C的纵坐标满足，线段AB上的所有点都是离心点；
综上所述,圆C的纵坐标满足或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线等知识，是重要考点，难度中等，掌握相关知识是解题关键．
【经典例题四 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
1．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（ ）
A．1B．5C．3D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为，
当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为，
综上所述，向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
2．（2021·四川绵阳·一模）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10B．4≤x≤16C．4≤x≤4D．2≤x≤8
【答案】D
【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论．
【详解】解：当点O2在点O1的右侧时，
当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M，
则O2M=4，
又∵∠AO2O1=30°，
∴O1O2=2•O2M=8，
当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2，
所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8；
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【详解】如图，与分别切AB于D、E．
由，，易得，则A点坐标为．
连接、，则、，则在中，，
同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为，
当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为，
横坐标为整数的点P的坐标为、、．
故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．
4．（2021春·九年级课时练习）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切.
【答案】3或5
【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．
【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，
∴PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==3（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF=1cm，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==5（秒）．
故答案为3或5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.
5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系．
（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围
【答案】相切;1cm＜d＜5cm
【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30度，
∴O′C=PO′=1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
考点：直线与圆的位置关系．
6．（2022春·全国·九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．
（1）∠BCD的度数为______°.
（2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形.
（3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P．
①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切.
②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个．
【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜．
【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案.
【详解】（1）∵A（5，0）、C（0，3），
∴OC＝3，OA＝5，
又∵AD＝2，
∴OD＝OA﹣AD＝3，
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
又∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠ODC＝45°，
故答案为：45；
（2）若△PCD为等腰三角形，
①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合，
∴P（0，0），
∵E（﹣5，0），
∴PE＝5，
∴t＝5.
②当CP＝CD时，
∵CO⊥PD，
∴CO垂直平分PD，
∴PO＝OD＝3，
∴P（﹣3，0），
∵E（﹣5，0），
∴PE＝2，
∴t＝2.
③当DC＝DP时，
在Rt△COD中，DC＝＝3，
∴DP＝3，
∴OP＝3﹣3，
∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3，
∴t＝8﹣3.
故答案为：5或2或8﹣3
（3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时，
PC⊥CD，
∵∠CDO＝45°，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∵CO⊥PD，
∴PO＝DO＝3，
∴EP＝2，
即t＝2；
如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时，
∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC，
∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切，
∴t＝5.
如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时，
PA为⊙P半径，
设PC＝PA＝r，
在Rt△PCD中，
OP＝OA﹣PA＝5﹣r，
∵PC2＝OC2+OP2，
∴r2＝32+（5﹣r）2，
解得，r＝，
∴t＝EP＝10﹣＝.
∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切.
②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点.
如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点.
如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点.
如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝，
综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键.
【经典例题五 切线的判定定理】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)B．点(1，3)C．点(6，0)D．点(6，1)
【答案】B
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，当O'B⊥BF时F点的位置即可．
【详解】∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴由垂径定理可得圆心为：O'(2,0)，如图所示，
由切线性质可知当O'B⊥BF时，BF与圆相切，
当△BO'D≌△BFA时，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，
此时O'B⊥BF，BF与圆相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，
∴F坐标为（1,3），
同理可得F'（5,1），
所以满足条件的F点的坐标为：(5,1)或(1,3)，
故选B.
【点睛】本题考查由垂径定理确定圆心和切线的性质，确定圆心是本题的关键.
3．（2023春·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
4．（2021春·全国·九年级专题练习）张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容：
如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点．
张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空．
（1）在屏幕内容中添加条件，则的长为 ．
（2）以下是小明、小聪的对话：
参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）． ．
【答案】 3 ，求的长
【分析】(1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2，然后计算OA+OD即可；
(2)添加∠DCB=30°，求ACAC的长，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明∠A=∠DCB=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长．
【详解】解：(1)连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC=2，
∴AD=AO+OD=1+2=3；
(2)添加∠DCB=30°，求AC的长，
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∵∠ACO=∠A，
∴∠A=∠DCB=30°，
在Rt△ACB中，BC= AB=1，
∴AC= = ．
故答案为3；，求的长.
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
5．（2022秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）已知：内接于，过点A作直线．
(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①___________；②_____________．
(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线．
【答案】(1)①(或)(答案不唯一)
②；(答案不唯一)
(2)见解析
【分析】（1）①根据切线的判断由或可判断为的切线；②当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线；
（2）作直径，连接，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线；
【详解】（1）解：①当(或)可判断为的切线；
②当，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一)
（2）证明：如图，作直径，连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴为的切线；
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．
6．（2020秋·江西上饶·九年级统考期末）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．
【答案】（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．
(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．
(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠
BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．
【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，
理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
②∵AB是⊙0直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=90°，
∴OA⊥EF，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，
（2）作直径AM，连接CM，

即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠FAC=∠B，
∴∠FAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（3）∵OA=OB，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，
∴∠BAC=∠B，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
【经典例题六 切线的性质定理】
1．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，由点为的中点可得,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：如图：连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，是的直径，点是延长线上的一点，且.点是上的一点，点和点关于直线对称，设，则下列是真命题的是（ ）
A．当是的切线时，四边形是正方形
B．当时，可能为等边三角形
C．当线段与只有一个公共点点时，的范围是
D．当线段与有两个交点、时，若于点，则
【答案】D
【分析】根据切线的性质、等边三角形的性质与判定及三角形中位线可进行求解．
【详解】解：由题意可知，点是四边形的对角线的中点，故当点与点不重合时，不经过点，则四边形不可能是特殊四边形，不可能为等边三角形；
如图1，在点与只有一个公共点的情况下，当是的切线时，的度数取最大值，且，故，
∴的范围是；
如图2，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，则是的中位线，是的中位线；
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质、正方形的判定及三角形中位线，熟练掌握切线的性质、正方形的判定及三角形中位线是解题的关键．
3．（2023秋·九年级课时练习）如图是的弦，交于点，过点的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据切线的性质可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相等，对顶角相等可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】先根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，则，再根据平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到，则利用互余可计算出的度数．
【详解】解：是的直径，是的中点，
，
为的切线，
，
，
，
是的直径，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
5．（2021秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如图，为的直径，切于点E，于点C．

(1)求证：平分
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据等边对等角，得到，根据切线的性质，以及，推出，进而推出，即可得证；
（2）连接，利用圆周角定理和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∴，
∵切于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；

（2）解：如图，连接，

则：，
∵，平分，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：的半径为2．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
6．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．

(1)求证：；
(2)若，求的直径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由为的切线，为切点，可得，即，，由，可得，由，可得，即，进而可得．
（2）设，则，在中，，在中，，即，解得，则，即的半径为，进而可求直径的长．
【详解】（1）证明：∵为的切线，为切点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，则．
在中，，
在中，，即，解得，
∴，即的半径为，
∴的直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【经典例题七 切线的性质与判定定理结合】
1．（2023·广东深圳·校考三模）矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，若固定不动，则E随的位置变动而变化，因，所以点E运动的轨迹是以为直径的圆，设该圆圆心为O，不难知道，当时，即为⊙O的切线时，最大，利用勾股定理即可求出答案．
【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，
，
点在以为直径的上，如下图，
∵当是⊙O的切线时，最大，
∴当最大时，，
∵，
∴，
∴．
故答案为D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、切线的性质、圆的基本性质，关键在于确定E点运动轨迹，有一定难度．
2．（2023春·九年级单元测试）如图，在矩形中，，是边上一点，且．已知经过点，与边所在直线相切于点（为锐角），与边所在直线交于另一点，且，当边或所在的直线与相切时，的长是（ ）
A．9B．4C．12或4D．12或9
【答案】C
【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，得EG：EN＝，依据勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求AB＝4．
【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，
切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN＝NF，
又∵，
∴EG：EN＝，
又∵GN＝AD＝8，
∴设EN＝x，则GE＝，
根据勾股定理得：，
解得：x＝4，
∴GE＝，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，
得：r2＝16＋（8−r）2，
∴r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又，即，
∴AB＝12；
当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
同理，可得OH＝AN＝5，
∴AE＝1，
又，
∴AB＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．
3．（2023秋·江西新余·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切．
【答案】或或
【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当只与轴相切时．
【详解】解：设与坐标轴的切点为，
∵直线与轴、轴分别交于点、，点，
∴时，，
时，，
时，，
∴，，，
根据勾股定理：，，，
∴是等腰直角三角形，，
①如图，当与轴相切时，
∵点是切点，的半径是，
∴轴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵点的速度为每秒个单位长度，
∴；
②如图，当与轴和轴都相切时，
∵，
∴，
∵点的速度为每秒个单位长度，
∴；
③当只与轴相切时，
∵，
∴，
∵点的速度为每秒个单位长度，
∴．
综上所述，则当或或秒时，与坐标轴相切．
故答案为：或或
【点睛】本题考查了切线的判定、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，解本题的关键在掌握切线的判定及性质，利用分类讨论的思想求解．
4．（2023春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动．在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得分米，分米，分米．
【解决问题】
(1)点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是_________分米．
(2)如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
(3)①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小．”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是_________分米；
②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．
【答案】(1)12
(2)不对，详见解析
(3)①6，②
【分析】（1）当O、P、Q三点共线时，在中，由勾股定理可求得的长度即可解答；
（2）显然不对，当Q、H重合时，，显然构不成直角三角形，故与不相切；
（3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为，此时直线l；
②当P到直线l的距离最大时，无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、，连接，则四边形是矩形，设与交于点D，那么，则，在中，，则，，最后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：当O、P、Q三点共线时，分米
在中，
由勾股定理可求得，
∴点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米．
故答案为：12；
（2）解：不对．理由如下：
∵，
∵当Q、H重合时，，
∵，即，
∴与不垂直．
∴与不相切．
（3）解：①因为的值永远是6，只有时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是6分米；
②由①知，在上存在点P，到l的距离为6，此时，将不能再向下转动，
如图．在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是．
连接，交于点D，
∵均与l垂直，且，
∴四边形是矩形，
∴,．
∴，得．
∴．
∴所求最大圆心角的度数为．
∴这个扇形面积的最大值．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
【经典例题八 切线长定理的应用】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，直径，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长．
2．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到的周长．
【详解】是的内切圆,
、、 是的切线，
又切于点K，

、、、、，
的周长为：
设，，，
则、、，
解得，
的周长为：．
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键．
3．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，点为外一点，过点作的切线，，点，为切点，连接并延长，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点已知，，则的长为 ．

【答案】5
【分析】连接，根据勾股定理求出的长度，进而得出的长度，设的半径为，则，，运用勾股定理列出方程，得出半径，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接．

，为的切线，
，，．
．
在中，，
．
设的半径为，则，．
在中，，即，
解得，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点解题是关键．
4．（2023·江苏·统考二模）【感知】（1）如图1，是的两条切线，切点分别为点B、C，连接交于点D，点E在优弧上，且，则线段的长为_____，的度数为_____，的度数为_____．
【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，点A是外一点，请作出一条经过点A的的切线，切点为点B；
（3）图3，点P、Q分别在直线的两侧，请在直线上确定一个点T，使得与的角平分线在同一条直线上．请作出符合条件的的角平分线．

【答案】（1）2，，；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接，利用圆周角定理求得，再利用切线长定理即可求解；
（2）连接，作线段的垂直平分线确定其中点，再作以为直径的圆，两圆的交点为B，作直线即可得出答案；
（3）以P为圆心，为半径作弧，交于点R，连接，过点P作的垂线交于点T，连接，则是的角平分线．
【详解】解：（1）连接，

∵，
∴，
∵是的两条切线，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：2，，；
（2）解：如图所示，直线即为所求．
；
（3）解：如图所示，射线即为所求．
.
【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和圆周角定理、垂径定理、切线长定理．
【经典例题九 三角形内心的有关应用】
1．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理求出根据点M为的内心可得由三角形外角的性质得出根据同弧所对的圆周角相等可得最后根据三角形内角和定理可得出．
【详解】解：∵且，
∴
∵点M为的内心，
∴
∴
∴
∵且
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
2．（2023·福建宁德·校考二模）如图，点是的内心，的延长线交于，点、关于所在的直线对称，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内心和三角形内角和，可以求得的度数，再根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质可以得到，然后根据，即可求得的度数．
【详解】解：，
，
，，
，
点、关于所在的直线对称，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．

【答案】/度
【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则．
【详解】解：如图所示，连接，设交于H，
∵是的内切圆，
∴分别是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与分别相切于点，，
∴，
又∵，
∴是的垂直平分线，
∴，即，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：
请用尺规作图法作出的内心I；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)推理与计算：
连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可；
（2）根据是的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，再根据角的等量代换得，即可求的长．
【详解】（1）解：如图1，点I为所求，

（2）解：如图2，连接，，，

∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是的内心I以及圆的基本性质、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识内容，正确掌握的内心I是角平分线的交点以及圆的基本性质是解题的关键．
【经典例题十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接，
∵与相切，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
设，
中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】连接、、，根据切线长定理可得，、，，可得四边形为正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】连接、、，
根据切线长定理可得，、，，
又∵，
∴四边形为正方形，即，
在中，，
∵，，
∴，，，
∴
解得，（舍去）
∴的半径为1，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键．
3．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为 ．

【答案】1
【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．
【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
如图所示，连接
∵分别与，，相切，切点分别为，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
故答案为；1．

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2023秋·河北沧州·九年级校考期末）阅读材料：如图，的周长为，面积为，内切圆☉的半径为，探究与，之间的关系．
解：连接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径．
(2)如图，若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式．
(3)若一个边形(为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，，…，，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，易得边长分别为5，12，13的三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质可得答案；
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，，类比阅读材料，可得，即可得出答案；
（3）由（1）（2）的结论，类比分析即可得出答案；
【详解】（1）∵，
∴此三角形为直角三角形，
∴三角形面积，
∴r= =2.
（2）设四边形内切圆的圆心为，连接、、，.
则
∴r= .
（3）类比（1）（2）的结论，
易得在圆内切边形中，有成立
【点睛】本题主要被考查学生根据阅读材料，结合课本知识，分析、解决问题的能力，认真阅读材料，理清题意是解此类题的关键．
【经典例题十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
1．（2023·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（ ）

A．1B．C．1.5D．2
【答案】A
【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可.
【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r，
则，，
∵
，
又的周长为18，面积为9，
∴，
∴，
故选：A.

【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键.
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
3．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ．
【答案】4
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．
【详解】如图，连接、，
在中，，
设内切圆半径为r，、为的切线，
∴，，
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
由切线长定理得，，，，，
∴，解得，
则的周长为
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．
4．（2021秋·九年级单元测试）如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、．
（1）求的周长；
（2）求内切圆的面积．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用切线长定理以及相似三角形的判定与性质得出DE，的长，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出△ABC内切圆的半径，进而得出内切圆的面积．
【详解】（1）连接，，，
∵，，圆内切于，切点分别为、、，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：；
（2）连接，，
由（1）得：，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴内切圆的面积为：．
【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质以及切线长定理和相似三角形的性质和判定等知识，根据题意得出FO的长是解题关键．
【经典例题十二 圆的综合问题】
1．（2023春·湖北鄂州·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，
∴QC＝QE＝5，
当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，
∴QB＝＝13，
∴BE＝QB﹣QE＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解；
【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，
则
∵
设
解得：
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，设．

①则 （用含的代数式表示）；
②当时，则 ．
【答案】
【分析】①连接，先根据含直角三角形的性质，得，再根据圆周角定理，得，即可得出结果；
②在上取点，连接，使，先根据题意求出，设，，在中和中，根据勾股定理，求出即可．
【详解】解：①如图，连接，

在中，，，
，
在中，，
，
，，
在中，，
故答案为：
②在上取点，连接，使，

由①中结论，，，
，
，设，，
由①中结论，在中，，
，
，解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题属于圆的综合题，考查了含直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
4．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
小明：我加的条件是，就可以求出的长
小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等．