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2023年江苏省宿迁市沭阳县九年级中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版）
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这是一份2023年江苏省宿迁市沭阳县九年级中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析2023年江苏省宿迁市沭阳县九年级中考二模数学模拟试题原卷版docx、精品解析2023年江苏省宿迁市沭阳县九年级中考二模数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 2023的绝对值为（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法与乘法、幂的乘方及合并同类项，根据同底数幂的除法与乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握同底数幂的除法与乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．与a不是同类项不能合并，该选项不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 一组数据：2，2，，1，1的中位数是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，将这组数据从小到大排列，按照中位数的定义求解即可．
【详解】解：一组数据：2，2，，1，1，
从小到大排列即：，1，1，2，2，
一共5个数，最中间的为第3个数，
则中位数为：1．
故选：A
4. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律，即可进行解答．
【详解】解：抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．
5. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义分别列出关系式求解，并取其公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，解得，则．
故选：A．
6. 对任意实数m，点一定不在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，利用分类讨论求出点P的横坐标和纵坐标与零的大小即可判断所处象限．
【详解】解：当时，，，
点在第一象限；
当时，，，
点在第二象限；
当时，，，
点在第四象限；
所以点一定不第三象限．
故选：C．
7. 如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和圆内接四边形性质，根据题意列出关系式化简即可．
【详解】解：在中，，在中，，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，，
则
，
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A. （0， ）B. （0，）C. （0，）D. （0，3）
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE＝×3＝，AE＝，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（−，），求出直线AD′的解析式为y＝−x＋，于是得到结论．
【详解】∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝×3＝，AE＝，
∴D（，），
∴D′（− ，），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝−x＋，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换−旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 计算：|﹣2|+2sin60°的值为___．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查特殊角的锐角三角函数值以及绝对值的性质，能正确去掉绝对值符号是解题的关键．
10. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．用因式分解法求解该方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
解得：．
故答案为：．
11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
12. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
如图，有5种不同取法；故概率为．
【点睛】本题考查的是概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商．
13. 已知点在反比例函数的图像上，则当时，y的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先把代入反比例函数，求出k的值，再由反比例函数的增减性即可得出结论．
【详解】∵点在反比例函数 的图象上，
∴，
∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：
14. 某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，其中A所在扇形的圆心角为30°，则在被调查的学生中选择跳绳的人数是______．
【答案】100人
【解析】
【分析】用喜欢篮球的人数除以喜欢篮球的人数所占的百分比，即可求出这些被调查的学生数；用总人数减去喜欢篮球、乒乓球和踢毽子的人数，即可求出喜欢跳绳20的人数．
【详解】解：由题意可得，
被调查的学生有：（人），
则选择跳绳的有：（人），
故答案为：100人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 已知抛物线的对称轴是直线．若关于x的一元二次方程的一个根为4，则该方程的另一个根为_________．
【答案】－6
【解析】
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解进行解答．
【详解】解：由题意抛物线的对称轴x=-1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（-6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个根为-6．
故答案为：-6
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16. 如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____．
【答案】5．
【解析】
【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质，由OF=，可求CG即可．
【详解】解：如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，
∵AC⊥BD，DG是直径，
∴∠DBG=90°=∠DCG，
∴BG⊥DB,
∴AC∥BG，
∴，
∴AB=CG，
∵OF⊥CD，
∴OF∥CG，
∴∠DOG=∠DGC
∴△DOF∽△DGC，，
∴，
∵OF=，
∴CG，
所以AB=CG=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．
17. 一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含角的三角板和一只含角的三角板，如图放置恰好有一边重合，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键．过点O作与点E，设，则，进而得出，推出，则，即可求解．
【详解】解：过点O作与点E，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
18. 在平面直角坐标系中，将二次函数图像x轴下方的部分关于x轴翻折，得到函数的图像，已知直线（m为常数）与该图像有三个交点，则m的值为______．
【答案】0或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
先得出将二次函数图像x轴下方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，再得出与x轴相交于，然后进行分类讨论：①当经过点A时，②当不经过点A时，即可解答．
【详解】解：将二次函数图像x轴下方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，
令与x轴相交于点A和点B，
当时，，
解得：，
∴，
①当经过点A时，
把代入得：，
∴
联立和得：
，
则，整理得：，
解得：，，
∴与相交于，
联立和得：
，
则，整理得：，
解得：，
∴与相交于，
∴当时，直线与有三个交点；
②当不经过点A时，
由图可知，将向上平移m个单位长度时，直线与有三个交点，
∴与有且只有一个交点，
联立得：，
则，整理得：，
∴，
解得：，
综上：m的值为0或，
故答案为：0或．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19. 解不等式组：
【答案】-1＜x≤4.
【解析】
【分析】先分别求出不等式组中两不等式的解集，然后确定解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得x＞-1；
由①得x≤4
∴不等式组的解集为-1＜x≤4.
【点睛】本题考主要查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将x的值代入计算即可．
详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中
（1）若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为；
（2）的正弦值是______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了相似变换、勾股定理以及解直角三角形，得出对应点位置，并熟练掌握正弦值的定义是解题关键．
（1）利用相似比为，将三角形各边扩大2倍，进而得出对应点位置即可得出答案；
（2）作于G，在中利用正弦函数的定义即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：如图，作于G，
∵在中，，，
∴，
∴；
故答案为：．
22. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
【答案】（1）四边形DHBG是菱形，理由见解析；（2）20．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出▱DHBG是菱形；
（2）设DH=BH=x，则AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积．
【详解】解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形、是完全相同的矩形，
∴，，．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是菱形．
由，设，则，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的边长．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23. 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中千米，，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直后的公路的长；
（2）问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米？
（结果精确到0.1，参考数据：）
【答案】（1）千米
（2）千米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练的掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键．
（1）过A作交延长线于点D，判定是等腰直角三角形，根据的长求出、的长，根据即可求解．
（2）用即可求出改直后该段路程比原来缩短了多少千米．
【小问1详解】
过A作交延长线于点D，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴千米，
【小问2详解】
在中，，
∴，
∴，
∴千米，
24. 如图，将一个棱长为4的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体．
（1）填空：分割后共有小正方体______个；
（2）从中任取一个小正方体，求这个小正方体有一个面涂有红色的概率；
（3）填空：将一个棱长为n的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则这个小正方体有两个面涂有红色的概率为______．
【答案】（1）64 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方体的特征，根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据正方体的特征，即可解答；
（2）求出有一个面涂有红色的小正方体，再根据概率公式求解即可；
（3）根据题意得出一共有个小正方体，有两个面涂有红色的小正方体有个，再根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
（个），
故答案为：64；
【小问2详解】
解：根据题意可得：
有一个面涂有红色的小正方体有（个），
∴这个小正方体有一个面涂有红色的概率；
【小问3详解】
解：根据题意可得：
一共有个小正方体，有两个面涂有红色的小正方体有个，
∴这个小正方体有两个面涂有红色的概率．
25. 国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量（个）与售价（元）之间的函数关系（）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
【答案】（1）
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元
【解析】
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高1元，销售量就会减少个”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，然后令，解一元二次方程并检验即可解答．
【小问1详解】
解：设蝙蝠形风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知．
【小问2详解】
解：设王大伯获得的利润为，则，
令，则，
解得：，，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式、二次函数、一元二次方程的应用，根据数量关系找出函数的关系式是解答本题的关键．
26. 如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．
（1）求证：∠ACE=∠DCE；
（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；
（3）若AC=4，，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）
【解析】
【分析】（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；
（3）易证，由于，所以=，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．
∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G．
∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．
∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．
∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．
（3）∵O是AC中点，∴
，∴=．
∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．
∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴=，∴CF=CA=．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27. 如图，正方形顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为
（1）求顶点B的坐标；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线下滑，当顶点A落到原点O时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式．
【答案】（1）
（2）k的值为2或4 （3）
【解析】
【分析】（1）过点C作轴于，过点A作轴于N，连接和交于点K，根据题意可证，即可求得点C的坐标，结合正方形的性质和中点坐标公式即可求得点B；
（2）利用勾股定理求得，由题意得，分两种情形①当点Q在上时，利用求解；②当点Q在上时，利用，求解即可；
（3）下滑过程中形成新的正方形，设交x轴于点E，作轴于点F，则有，得，根据题意得，即可求得．
【小问1详解】
解：如图中，过点C作轴于，过点A作轴于N，连接和交于点K，
则，
∵四边形为正方形
∴，，
∵，，
∴，
则，
∴，，
∴
∵点K为正方形对角线交点，
∴，，解得，，
则点，
【小问2详解】
根据勾股定理可得，，
当时，．
①当点Q在上时，
，
∴只存在一点Q，使．
作于点D(如图2中)，则，
∴，
∴．
②当点Q在上时，由于，所以只存在一点Q，使，
∴，则．
综上所述，k的值为2或4．
【小问3详解】
正方形沿射线下滑过程中形成新的正方形，
设下滑过程中交x轴于点E，作轴于点F，如图3，
则，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中点坐标求解以及分类讨论思想的应用，解题的关键是熟练正方形的性质，并应用运动的思维和分类讨论思想解决问题．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝x2﹣x﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【解析】
【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
【详解】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴,
∵CD＝4AC，
∴
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得
解得
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
由 得x＝﹣1或x＝4，
即点D的横坐标为4，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴
解得：,
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（4，5a），
此时点Q与点D重合，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 2023的绝对值为（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法与乘法、幂的乘方及合并同类项，根据同底数幂的除法与乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握同底数幂的除法与乘法、幂的乘方及合并同类项的运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．与a不是同类项不能合并，该选项不符合题意；
B．，故该选项不正确，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 一组数据：2，2，，1，1的中位数是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数，将这组数据从小到大排列，按照中位数的定义求解即可．
【详解】解：一组数据：2，2，，1，1，
从小到大排列即：，1，1，2，2，
一共5个数，最中间的为第3个数，
则中位数为：1．
故选：A
4. 把抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律，即可进行解答．
【详解】解：抛物线向左平移个单位，所得的新抛物线的函数表达式为，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．
5. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义分别列出关系式求解，并取其公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，解得，则．
故选：A．
6. 对任意实数m，点一定不在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，利用分类讨论求出点P的横坐标和纵坐标与零的大小即可判断所处象限．
【详解】解：当时，，，
点在第一象限；
当时，，，
点在第二象限；
当时，，，
点在第四象限；
所以点一定不第三象限．
故选：C．
7. 如图，点A、B、C在上，P为上任意一点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和圆内接四边形性质，根据题意列出关系式化简即可．
【详解】解：在中，，在中，，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，，
则
，
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（ ）
A. （0， ）B. （0，）C. （0，）D. （0，3）
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转性质得到AM＝AM′，得出AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE＝×3＝，AE＝，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（−，），求出直线AD′的解析式为y＝−x＋，于是得到结论．
【详解】∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，
则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝×3＝，AE＝，
∴D（，），
∴D′（− ，），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝−x＋，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换−旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 计算：|﹣2|+2sin60°的值为___．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查特殊角的锐角三角函数值以及绝对值的性质，能正确去掉绝对值符号是解题的关键．
10. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．用因式分解法求解该方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
解得：．
故答案为：．
11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
12. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
如图，有5种不同取法；故概率为．
【点睛】本题考查的是概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商．
13. 已知点在反比例函数的图像上，则当时，y的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先把代入反比例函数，求出k的值，再由反比例函数的增减性即可得出结论．
【详解】∵点在反比例函数 的图象上，
∴，
∴函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：
14. 某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，其中A所在扇形的圆心角为30°，则在被调查的学生中选择跳绳的人数是______．
【答案】100人
【解析】
【分析】用喜欢篮球的人数除以喜欢篮球的人数所占的百分比，即可求出这些被调查的学生数；用总人数减去喜欢篮球、乒乓球和踢毽子的人数，即可求出喜欢跳绳20的人数．
【详解】解：由题意可得，
被调查的学生有：（人），
则选择跳绳的有：（人），
故答案为：100人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 已知抛物线的对称轴是直线．若关于x的一元二次方程的一个根为4，则该方程的另一个根为_________．
【答案】－6
【解析】
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解进行解答．
【详解】解：由题意抛物线的对称轴x=-1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（-6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个根为-6．
故答案为：-6
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16. 如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____．
【答案】5．
【解析】
【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质，由OF=，可求CG即可．
【详解】解：如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，
∵AC⊥BD，DG是直径，
∴∠DBG=90°=∠DCG，
∴BG⊥DB,
∴AC∥BG，
∴，
∴AB=CG，
∵OF⊥CD，
∴OF∥CG，
∴∠DOG=∠DGC
∴△DOF∽△DGC，，
∴，
∵OF=，
∴CG，
所以AB=CG=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．
17. 一次综合实践活动中，小明同学拿到一只含角的三角板和一只含角的三角板，如图放置恰好有一边重合，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键．过点O作与点E，设，则，进而得出，推出，则，即可求解．
【详解】解：过点O作与点E，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
18. 在平面直角坐标系中，将二次函数图像x轴下方的部分关于x轴翻折，得到函数的图像，已知直线（m为常数）与该图像有三个交点，则m的值为______．
【答案】0或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
先得出将二次函数图像x轴下方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，再得出与x轴相交于，然后进行分类讨论：①当经过点A时，②当不经过点A时，即可解答．
【详解】解：将二次函数图像x轴下方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，
令与x轴相交于点A和点B，
当时，，
解得：，
∴，
①当经过点A时，
把代入得：，
∴
联立和得：
，
则，整理得：，
解得：，，
∴与相交于，
联立和得：
，
则，整理得：，
解得：，
∴与相交于，
∴当时，直线与有三个交点；
②当不经过点A时，
由图可知，将向上平移m个单位长度时，直线与有三个交点，
∴与有且只有一个交点，
联立得：，
则，整理得：，
∴，
解得：，
综上：m的值为0或，
故答案为：0或．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
19. 解不等式组：
【答案】-1＜x≤4.
【解析】
【分析】先分别求出不等式组中两不等式的解集，然后确定解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得x＞-1；
由①得x≤4
∴不等式组的解集为-1＜x≤4.
【点睛】本题考主要查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，最后将x的值代入计算即可．
详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中
（1）若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为；
（2）的正弦值是______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了相似变换、勾股定理以及解直角三角形，得出对应点位置，并熟练掌握正弦值的定义是解题关键．
（1）利用相似比为，将三角形各边扩大2倍，进而得出对应点位置即可得出答案；
（2）作于G，在中利用正弦函数的定义即可求解；
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：如图，作于G，
∵在中，，，
∴，
∴；
故答案为：．
22. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
【答案】（1）四边形DHBG是菱形，理由见解析；（2）20．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出▱DHBG是菱形；
（2）设DH=BH=x，则AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积．
【详解】解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形、是完全相同的矩形，
∴，，．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是菱形．
由，设，则，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的边长．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
23. 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中千米，，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直后的公路的长；
（2）问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米？
（结果精确到0.1，参考数据：）
【答案】（1）千米
（2）千米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练的掌握解直角三角形的方法是解决问题的关键．
（1）过A作交延长线于点D，判定是等腰直角三角形，根据的长求出、的长，根据即可求解．
（2）用即可求出改直后该段路程比原来缩短了多少千米．
【小问1详解】
过A作交延长线于点D，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴千米，
【小问2详解】
在中，，
∴，
∴，
∴千米，
24. 如图，将一个棱长为4的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体．
（1）填空：分割后共有小正方体______个；
（2）从中任取一个小正方体，求这个小正方体有一个面涂有红色的概率；
（3）填空：将一个棱长为n的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则这个小正方体有两个面涂有红色的概率为______．
【答案】（1）64 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方体的特征，根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据正方体的特征，即可解答；
（2）求出有一个面涂有红色的小正方体，再根据概率公式求解即可；
（3）根据题意得出一共有个小正方体，有两个面涂有红色的小正方体有个，再根据概率公式，即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
（个），
故答案为：64；
【小问2详解】
解：根据题意可得：
有一个面涂有红色的小正方体有（个），
∴这个小正方体有一个面涂有红色的概率；
【小问3详解】
解：根据题意可得：
一共有个小正方体，有两个面涂有红色的小正方体有个，
∴这个小正方体有两个面涂有红色的概率．
25. 国际风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量（个）与售价（元）之间的函数关系（）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
【答案】（1）
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元
【解析】
【分析】（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为元时，销售量为个，若售价每提高1元，销售量就会减少个”即可得出y关于x的函数关系式；
（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，然后令，解一元二次方程并检验即可解答．
【小问1详解】
解：设蝙蝠形风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知．
【小问2详解】
解：设王大伯获得的利润为，则，
令，则，
解得：，，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式、二次函数、一元二次方程的应用，根据数量关系找出函数的关系式是解答本题的关键．
26. 如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．
（1）求证：∠ACE=∠DCE；
（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；
（3）若AC=4，，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）
【解析】
【分析】（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；
（3）易证，由于，所以=，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．
∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G．
∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．
∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．
∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．
（3）∵O是AC中点，∴
，∴=．
∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．
∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴=，∴CF=CA=．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分）
27. 如图，正方形顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为
（1）求顶点B的坐标；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
（3）若正方形以每秒个单位的速度沿射线下滑，当顶点A落到原点O时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式．
【答案】（1）
（2）k的值为2或4 （3）
【解析】
【分析】（1）过点C作轴于，过点A作轴于N，连接和交于点K，根据题意可证，即可求得点C的坐标，结合正方形的性质和中点坐标公式即可求得点B；
（2）利用勾股定理求得，由题意得，分两种情形①当点Q在上时，利用求解；②当点Q在上时，利用，求解即可；
（3）下滑过程中形成新的正方形，设交x轴于点E，作轴于点F，则有，得，根据题意得，即可求得．
【小问1详解】
解：如图中，过点C作轴于，过点A作轴于N，连接和交于点K，
则，
∵四边形为正方形
∴，，
∵，，
∴，
则，
∴，，
∴
∵点K为正方形对角线交点，
∴，，解得，，
则点，
【小问2详解】
根据勾股定理可得，，
当时，．
①当点Q在上时，
，
∴只存在一点Q，使．
作于点D(如图2中)，则，
∴，
∴．
②当点Q在上时，由于，所以只存在一点Q，使，
∴，则．
综上所述，k的值为2或4．
【小问3详解】
正方形沿射线下滑过程中形成新的正方形，
设下滑过程中交x轴于点E，作轴于点F，如图3，
则，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中点坐标求解以及分类讨论思想的应用，解题的关键是熟练正方形的性质，并应用运动的思维和分类讨论思想解决问题．
28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝x2﹣x﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【解析】
【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．
【详解】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴,
∵CD＝4AC，
∴
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得
解得
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，
设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．
∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，
由 得x＝﹣1或x＝4，
即点D的横坐标为4，
∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）
∴△ADE的面积的最大值为a，
∴
解得：,
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣
（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P（1，m），
①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（﹣4，21a），
m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，
∴P1（1，），
②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，
则Q（4，5a），
此时点Q与点D重合，不符合题意，舍去；
③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．
∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，
∴xQ＝2，
∴Q（2，﹣3a）．
∴yP＝8a
∴P（1，8a）．
∵四边形APDQ为矩形，
∴∠APD＝90°
∴AP2+PD2＝AD2
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2
即a2＝，
∵a＞0，
∴a＝
∴P2（1，4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．
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