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备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题10二次函数压轴题(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题10二次函数压轴题(原卷版+解析)，共118页。试卷主要包含了导边处理，导角处理，周长的最值问题等内容，欢迎下载使用。
二次函数综合题是中考数学的热点和难点，几乎每年中考倒数第二题解答题都会出现，主要考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何知识相互结合，对几何图形的性质要求熟练掌握，并且能运用到平面直角坐标系中。
1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）
3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：
1.导边处理（“SAS”法）
第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；
第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.
2.导角处理（“AA”法）
第一步:先找到一组关键的等角；
第二步,另两个内角分两类对应相等.
4 二次函数综合题中线段问题的解题通法
1.线段的数量关系问题:
（1）在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度;
（2）结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值).
2.线段的最值问题:
（1）一条线段的最值问题,根据1（1）中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值;
(2)两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决.
3.周长的最值问题:
一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题.
、
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
2．在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为．
(1)试求这个抛物线的表达式；
(2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求；
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.
(1)求上述抛物线的表达式；
(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．
4．在平面直角坐标系中，抛物线线经过，点C是该抛物线上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，求点C到x轴的距离；
(3)如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接，当时，在中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线经过和两点，与轴交于、两点（在的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点与点重合，连接，求的正弦值；
(3)若轴交于点，若，求点的坐标．
6．如图，抛物线与轴相交于A、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点.
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)当的面积为时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
7．如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标；
(3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：经过点．
(1)求抛物线C的表达式；
(2)将抛物线C沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
(3)将抛物线C沿直线翻折，得到的图象记为，设C与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点（点P不与A、O重合），过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，求的值；
(3)如图2，当轴时，点P停止运动，联结，在抛物线上是否存在点G，使得，如存在求出点G的横坐标，如不存在请说明理由．
11．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；
(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F，连接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若点P在线段上，且，请直接写出点P的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G.
(1)求抛物线的表达式；
(2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标.
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线上的一点的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使的面积为最大整数时点P的坐标．
19．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
20．已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标；
(3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度．
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．
①求的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
22．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
23．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
24．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．
（1）求证：；
（2）设点是抛物线上两点之间的动点，连接．在的条件下：
①若，求点的坐标；
②若，且的最大值为，直接写出的值．
25．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；
（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．
26．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
一、解答题
1． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
2． (2023·上海普陀·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
3． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
4． (2023·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
5． (2023·上海金山·统考二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
6． (2023·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
7． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
8． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4．
(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；
(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．
专题10 二次函数压轴题
二次函数综合题是中考数学的热点和难点，几乎每年中考倒数第二题解答题都会出现，主要考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何知识相互结合，对几何图形的性质要求熟练掌握，并且能运用到平面直角坐标系中。
1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）
3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：
1.导边处理（“SAS”法）
第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；
第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.
2.导角处理（“AA”法）
第一步:先找到一组关键的等角；
第二步,另两个内角分两类对应相等.
4 二次函数综合题中线段问题的解题通法
1.线段的数量关系问题:
（1）在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度;
（2）结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值).
2.线段的最值问题:
（1）一条线段的最值问题,根据1（1）中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值;
(2)两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决.
3.周长的最值问题:
一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题.
、
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐标为：或．
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案；
（3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，
当，则，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
设抛物线为，把代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，即，
∴．
（3）如图，过作于，
∵，，，
∴，，，，
∴，则，
∴，而，
∴，
而，
∴，
∴，
当和相似时，显然与对称轴没有交点，
∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，
当时，
∴，
∴，
∴，
当，
∴，
∴，解得：，
∴．
综上：P的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键．
2．在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为．
(1)试求这个抛物线的表达式；
(2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求；
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点、，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意作出图形，如图，过点作轴交于点，得出，，进而根据正切的定义即可求解；
（3）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，求得直线的解析式，设，根据勾股定理求得的值，进而即可求解．
【解析】（1）解：将点、，代入，得
解得：
∴这个抛物线的表达式为；
（2）解：∵,
则点，
令，解得：，则,
∴轴，
如图，过点作轴交于点，
则，
∴，，
在中，；
（3）解：如图所示，
连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵
∴，
即
∵,，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
设过点,的直线解析式为，
则
解得：
∴直线的解析式为,
设点，
∵
∴
解得：或
∵点在线段上
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，角度问题，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.
(1)求上述抛物线的表达式；
(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)①对称轴为直线；②
【分析】（1）先通过解直角三角形求出点A、B的坐标，直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①设平移后的解析式为，求出点，再利用待定系数法求函数解析式即可；②过点P作轴于N，则，通过证明，利用相似三角形的性质计算即可．
【解析】（1）∵抛物线（），当时，，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①设平移后的解析式为，
∵，
∴P在的中垂线上，
∴，
将坐标代入，得，
∴，
∴新的抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
②过点P作轴于N，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，二次函数与角相等的问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，抛物线线经过，点C是该抛物线上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，求点C到x轴的距离；
(3)如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接，当时，在中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，设点，证明，求出，，然后分两种情况进行讨论，求出结果即可；
（3）过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作的垂线，垂足为点Q，设点C的坐标为，求出，得出，在中，根据，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵抛物线经过和，
∴，
∴，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，如图所示：
设点，
∵，
∴，，
∵轴，轴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
①当时，点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令代入得：，
则，
此时点在y轴的负半轴，不符合题意，舍去；
②当时，点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令代入得：，
则，符合题意，
则点C到x轴的距离为．
（3）解：存在，．
过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作的垂线，垂足为点Q，如图所示：
由题意得，点C的坐标为，
∵轴，得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∵轴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论．
5．如图，已知抛物线经过和两点，与轴交于、两点（在的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点与点重合，连接，求的正弦值；
(3)若轴交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点E的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式；
（2）如下图，过点C作于点H，先求出点M，N的坐标，从而求得 ，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解；
（3）先证，得，，进而得，利用面积求得，设点E的坐标为，则点，进而有方程，解方程即可得解．
【解析】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式；
（2）解：如下图，过点C作于点H，
在抛物线中，令，则，
解得，，
∴，
又∵，
∴，，，
设直线为：，
∵过和，
∴，
解得，
∴直线为：，
令，则，解得，
∴，
∴，，
∴，即
∴，
∴；
（3）解：∵轴， 轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
设点E的坐标为，则点，
∵轴，
∴，
解得，
当时，，
当，，
∴点E的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键．
6．如图，抛物线与轴相交于A、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点.
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)当的面积为时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】(1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
(2)连接，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据，列方程求解即可；
(3)过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，首先根据矩形的性质及，即可证得，据此即可证得，可得，再由点B、C的坐标，即可求得直线的解析式为，设，则，则， ，可得，，即可得方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
，
解得：.，
所以，抛物线的解析式为：；
（2）解：如图：连接，过点D作于点E，
设，
，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，
令，则，
，
．
，
．
，的面积为，
，
∴，
整理得：．
解得：或，
的坐标为或；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则，则， ，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得，(不合题意，舍去)
，
∴点D的坐标为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，坐标与图形，不规则图形面积的求法，一元二次方程的解法，全等三角形的判定及性质，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．
7．如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标；
(3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)点P的坐标为或．
【分析】（1）将，代入，即可求解．
（2）设，过点D作x轴垂线交于点N，可证明，则，将D点代入抛物线解析式得，求得或．
（3）分当和时，两种情况讨论，据此求解即可．
【解析】（1）解：将，代入，
∴，，
∴．
（2）解：设，
如图，过点D作x轴垂线交于点N，
∵，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，解得或，
∴或．
（3）解：∵，
∴是直角三角形，且，
∵以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，
∴也是直角三角形，
显然，
当时，此时，如图，
∵抛物线的对称轴为，
∴点C的横坐标为1，
∴点P的坐标为；
当时，此时，如图，设与x轴交于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点C的横坐标为，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可；
（2）求出点坐标，设直线与交于点，分别用含的式子表示出的坐标，利用直线将四边形的面积平分，得到列式求解即可；
（3）分，三种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线过点、、三点，
设：，
则：，
解得：，
∴，
∴对称轴为：；
（2）解：∵，
当时：；
∴，
∴，
∵、、
∴，，，
∵直线与线段交于点，且平分四边形的面积，
∴直线与线段相交，设交点为，
当时，；当时，；
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，即：，
解得：；
（3）解：①当时，点在线段上，此时：；
②当时，设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴
③当时，设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴
综上：点、、、为顶点的四边形是梯形时，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：经过点．
(1)求抛物线C的表达式；
(2)将抛物线C沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
(3)将抛物线C沿直线翻折，得到的图象记为，设C与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）把点代入，根据待定系数法即可求得．
（2）把抛物线C的表达式化成顶点式，求得顶点P的坐标，然后求得关于直线的对称点的坐标，即为抛物线的顶点坐标；
（3）由抛物线C的顶点式求得对称轴，然后根据正方形的边长求得B的坐标，进而得出，解得．
【解析】（1）∵抛物线C：经过点，
∴．
∴．
∴抛物线C的表达式为．
（2）∵抛物线C：，
∴抛物线C的顶点为，如图1，
点关于直线的对称点为．
∴抛物线的顶点坐标为．
（3）∵抛物线C：，
∴抛物线的对称轴为，
∵正方形的边长为2，
∴正方形的顶点B的坐标为，如图2．
∴ ．
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质是解题的关键．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点（点P不与A、O重合），过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，求的值；
(3)如图2，当轴时，点P停止运动，联结，在抛物线上是否存在点G，使得，如存在求出点G的横坐标，如不存在请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为，点C的坐标为
(2)的值为．
(3)点G的坐标是．
【分析】（1）将代入，求得，则抛物线的表达式为；可得点C的坐标为；
（2）先求得直线的表达式为，设，则，，即可由，列方程得，求得，则，，即可由“等底三角形面积的比等于高的比”求得的值为；
（3）设交于点H，作轴于点K，先证明，得，求得，再求得直线的表达式为，将该表达式与抛物线的表达式联立方程组，解该方程组求出符合题意的解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
当时，，
∴点C的坐标为，
（2）如图1，设直线的表达式为，则， 解得，
∴，
设，则，，
当点D为的中点时，则，
∴ ，
解得，（不符合题意，舍去），
∴， ∴，，
∴ ，
∴的值为．
（3）存在， 如图2，设交于点H，作轴于点K，
∵轴，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，由得，，
∴，
∴，
∵，
∴， ∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
对于直线，当时，，
∴，
设直线的表达式为，则，
解得，
∴，
解方程组 ，
得 ，（不符合题意，舍去），
∴点G的坐标是．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
11．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；
(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标进而得到，如图所示，取中点E，作直线OE，则是线段的垂直平分线，，即可推出点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可；
（3）如图所示，连接，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，证明，求出，则，
同理可求出直线的解析式为，设点E的坐标为，则，据此求解即可．
【解析】（1）解：由题意得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为
（2）解：令，则，
∴，
∴，
如图所示，取中点E，作直线OE，
∴是线段的垂直平分线，，
∵，
∴点P即为直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点P的坐标为或
（3）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可求出直线的解析式为，
设点E的坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F，连接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若点P在线段上，且，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意易得点，则有，即，然后代入函数解析式进行求解即可；
（2）连接，由（1）可知二次函数解析式为，则有，然后可得，进而问题可求解；
（3）分别过点P作于点G，过点F作于点H，由（1）（2）可知，，然后可得，，进而根据解直角三角形可进行求解．
【解析】（1）解：由题意可令，代入二次函数得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：连接，如图所示：
由（1）可知二次函数解析式为，
∴顶点，
当时，则，
解得：，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：分别过点P作于点G，过点F作于点H，如图所示：
由（1）（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
（2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
（3）解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
【解析】（1）解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G.
(1)求抛物线的表达式；
(2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标.
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②
【分析】（1）将抛物线的解析式可以写成的形式，与对比即可求出a，b的值，进而求出抛物线的表达式；
（2）①画出大致图形，证明点B是与内切时的切点，即可得到；②设点F的坐标为，用含m的代数式分别表示出和，列等式即可求出m的值．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线的解析式可以写成的形式，
即，
∴，，
∴，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：由题意作图如下，
①∵的圆心为G，的圆心为E，
∴GE是与圆心的连线，
∵两圆相切时，圆心的连线经过切点，
∴当与内切时，GE经过切点，
∵点B是线段GE延长线上的点，且在上，
∴点B是与内切时的切点，
∴点B在以点E为圆心，为半径的上，
∴，
②在中，
令得，
∴抛物线与y轴交于点C的坐标为，
设直线BC的解析式为，
将和的坐标代入，
得，
∴，
∴设直线BC的解析式为．
∵点F在抛物线上，
∴设点F的坐标为，
由题意轴，
∴点E的坐标为，
∵点F在BC的上方，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∵点E在线段BC上，
∴，
∴,
∵，
∴，
整理得，，
解得或3，
当时，点E，F，B重合，此时不存在，
故不合题意，应舍去，
∴，
当时， ，
∴求点F的坐标为．
【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点B是与内切时的切点，进而得到是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)（2，-4）
【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，可证得OA∥BF，即BF⊥x轴，这种情况不存在；如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，设点E的坐标为（0，m），则，求出点E的坐标为（0，4），然后求出直线BE的解析式为，联立，即可求出点F的坐标为（，）；
（3）先求出点点C的坐标为（2，0），则OC=2，OA=1，，△AOC的周长，设点P的坐标为 ，根据PE∥x轴，得到∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，然后求出直线AB的解析式为得到点E的坐标为 ，则；证明△PDE∽△AOC，得到，则，由此求解即可．
【解析】（1）解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中得：
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，
∵∠OAC=∠CBF，
∴OA∥BF，即BF⊥x轴，
∴这种情况不存在；
如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E，
∵∠OAC=∠CBF，
∴EA=EB，
设点E的坐标为（0，m），
∴，
解得，
∴点E的坐标为（0，4），
设直线BE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BE的解析式为，
联立，
解得或，
∴点F的坐标为（，）
（3）解：∵B点坐标为（4，1），A点坐标为（0，-1），
∴AB的中点坐标为（2，0），
又∵直线AB与x轴的交点为C，
∴点C的坐标为（2，0），
∴OC=2，OA=1，
∴，
∴△AOC的周长，
设点P的坐标为 ，
∵PE∥x轴，
∴∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为
∴点E的坐标为 ，
∴，
∵PD⊥AB，
∴∠PDE=∠AOC=90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴P点的坐标为（2，-4）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，两点距离公式，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
【答案】(1)抛物线的解析式为；点A的坐标
(2)证明见解析
(3)直线的解析式为：
【分析】（1）将，代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解得m、n的值，即可得到抛物线解析式，再令，即可求出点A的坐标；
（2）根据题意画出图形，通过坐标证明为直角三角形，且，利用及角的关系证明，结合，即可证明两个三角形相似；
（3）作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线，先求直线A B’的解析式，与抛物线解析式联立求得F’的坐标，再求直线BB’的解析式，利用及求得的F’的坐标，即可求的解析式．
【解析】（1）解：将，代入抛物线解析式，得：
，解得
∴抛物线的解析式为
当时，，
∴点A的坐标
（2）如图所示，点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q
∵，，
∴
∴
即为直角三角形，且
∵，
∴OA=OC
∴
当时，点P只能在点B的右侧，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
（3）如图所示，作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线
∵，点B’和点B关于AC的对称，
∴
设直线A B’的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线A B’的解析式为：
联立
解得：（舍去）
则
设直线BB’的解析式为：，代入，得：
，解得
∴直线BB’的解析式为：
由题意可知
∴设直线的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线的解析式为：．
【点睛】本题是二次函数综合题．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系数法求解函数解析式，难度较大，综合性强．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线上的一点的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使的面积为最大整数时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）存在当是以BC为直角边的直角三角形时，点或；（3）使的面积为最大整数时点或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，由题意易得，然后根据对称轴为直线及点可求解；
（2）由题意可分当时和当时，然后根据等腰直角三角形的性质可分别求解点Q的坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，由题意易求直线BC的解析式，然后可得点M的坐标及线段PM的长，根据铅垂法可求出△BCP的面积，进而根据二次函数的性质可求解．
【解析】解：（1）∵，，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：
①当时，如图所示：
过点Q作QH⊥y轴于点H，
∵，，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△HCQ是等腰直角三角形，
∴，
设点，则有，
∴，解得：（不符合题意，舍去），
∴点；
②当时，如图所示：
过点B作x轴的垂线，然后过点Q、C分别作QE⊥BE于点E，CF⊥BE于点F，
∴，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△QEB是等腰直角三角形，
∴，
设点，则有，
∴，解得：（不符合题意，舍去），
∴点；
综上所述：当是以BC为直角边的直角三角形时，点或；
（3）由（1）可知：，，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，开口向下，
∴，
∴的面积为最大整数时的值为3，
∴，
解得：，
∴点或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）①证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；
②设C（t，），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．
【解析】（1）解：由y=-x+2可得：
当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；
（2）①如图1，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∴，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴∠DAE=∠DBC，
∴AE∥BC，
∴C点的纵坐标为2，
∴2=-x2+x+2，
∴x=0或x=2，
∴C（2，2），
∴t=2；
②如图2，设C（t，-t2+t+2），
过点B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH=∠ACE，
∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，
∴，
∴t=，
∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标；
(3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）分别求出和直线的解析式为，可得，，再求直线的解析式为，联立，即可求点；
（3）设，则，则，用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可求出，，直线与轴交点，则，再由，可得，则有方程，求出，即可求．
（1）
解：将点和点代入，
，
，
；
（2）
解：，
对称轴为直线，
令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立，
或（舍，
；
（3）
解：
设，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立，
，
，，
直线与轴交点，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键．
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．
①求的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为
【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解；
（2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解；
②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C，
∴当 时， ，
∴点 ，
将点 ，代入，得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
当 时， ，
∴点B（4,0），
将点，B（4,0），代入，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）①设 ，则 ，
∴ ，
设△PEF的周长为m，
∵，
∴∠PEF=∠BCO，
∵∠PFO=∠BCO=90°，
∴△PFE∽△BOC，
∴ ，
∵点B（4,0）， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴当 时，m最大，此时 ，
即的周长为最大值时点P的坐标为；
②抛物线的对称轴为 ，
如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°，
∴ ， ，
∴，
∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，
∵∠MGO=60°，
∴∠MOG=30°，
∵，
∴ ， ，
∴∠POB=60°，
∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，
∴点P、O、M三点共线，
设直线AC的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
∵，
∴可设直线BG的解析式为 ，
把点B（4,0），代入得： ，
∴直线BG的解析式为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴，
∴PM=10，
∴的最小值为10，
∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ，
∴此时点H的纵坐标为 ，
∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
22．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
【答案】（1）2；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据抛物线的解析式可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，从而易得OB=OC，由EF⊥OB即可求得EF的长，从而求得DE的长；
（2）设点G的坐标为(1，x)，分两种情况考虑：△COE∽△EGB和△COE∽△EBG，根据相似三角形的性质即可求得x的值，从而可求得点G的坐标；
（3）分两种情况考虑：点P在点A的右侧和点P在点A的左侧；当点P在点A的右侧时，由D(1，4)，则，得出∠α =∠DOF，然后根据三角形外角的性质可求得∠DPO=∠ADO，进而可得△ADP∽△AOD，由相似三角形的性质可求得OP的长，从而求得P点的坐标；当点P在点A的左侧时， 作点P关于抛物线对称轴的对称点，则点也满足题意．
【解析】（1）当时，解方程得：
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为A（-1，0）、B(3，0)
∴OB=3
∵在中，当x=0时，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，3)
∴OC=3
∵
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)
∴DF=4，OF=1
∵OB=OC=3，OC⊥OB
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵EF⊥OB
∴∠FEB=∠OBC=45°
∴EF=BF=OB-OF=3-1=2
∴DE=DF-EF=4-2=2
（2）设点G的坐标为(1，x)
在Rt△OBC及Rt△FBE中，由勾股定理得：，
∴
①若△COE∽△EGB
则有，∠GEB=∠OCE=45°
即OC∙BE=CE∙EG
∴点G只能在点E下方
∵由（1）可得点E的坐标为(1，2)
∴EG=2-x
∴
解得：x=-4
即点G的坐标为(1，-4)
②若△COE∽△EBG
则有，∠BEG=∠OCE=45°
即OC∙EG=CE∙BE
∴点G只能在点E下方
∴EG=2-x
∴
解得：
即点G的坐标为
综上所述，满足条件的点G的坐标为或
（3）①如图，当点P在点A的左侧时，连接DP、DA、DO
∵，
∴∠DOF=∠α=∠DAO+∠DPO，∠DOF=∠PDO+∠DPO
∴∠DAO=∠PDO
∴△OAD∽△ODP
∴，即
∵
∵OA=1
∴OP=17
∴点P的坐标为(-17，0)
②当点P在点A的右侧时，作点P(-17，0)关于抛物线的对称轴的对称点，则
∴
此时点满足题意，且其坐标为(19，0)
综上所述，满足条件的点P的坐标为或
【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点、顶点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求得三角形相似是关键．注意分类讨论．
23．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【解析】解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
24．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．
（1）求证：；
（2）设点是抛物线上两点之间的动点，连接．在的条件下：
①若，求点的坐标；
②若，且的最大值为，直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）①点的坐标为或；②或
【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，确定b=c-1，根据对称轴为x=，确定，得到c-1=m-1即c=m，问题得证；
（2）①过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点D，确定直线BC的解析式，用x表示点P的坐标，点E的坐标，根据面积关系建立方程求解即可；
②根据抛物线确定对称轴为x=1,分对称轴在取值范围内，取值范围的左边和右边三种情形求解．
【解析】解：（1）把A（-1，0）代入解析式，得-1-b+c=0即b=c-1．
∵y=-+bx+c的对称轴为x=，A（-1，0），B（m，0）是对称点，
∴，
∴b=m-1，
∴m-1=c-1，
∴m=c，
∵OB=m，OC=c，
∴OB=OC；
（2）①当m=3时，b=m-1=2，c=m=3，
∴抛物线的解析式为y=-+2x+3，
∴B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3；
∵A（-1，0），
∴AB=4，
∴,
∴，
过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y=kx+t，根据题意，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴点P的坐标（x，-+2x+3），点D的坐标（x，0），点E的坐标（x，-x+3），
∴PE=（-+2x+3）-（-x+3）=-+3x，
过点C作CF⊥PE，垂足为F，
则，
∴
∴，
解得x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）
②∵抛物线y=-+2x+3=，
∴当x=1时，函数y有最大值，且为4，
当n≤1≤n+2时即-1≤n≤1时，函数有最大值4，故2n=4，解得n=2，
不符合题意，故n=2舍去；
当1＜n≤x≤n+2时即取值范围在对称轴右边，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x=n时，函数有最大值，此时函数值为y=-+2n+3，
∴-+2n+3=2n，
解得n=或n= -（舍去）；
当n≤x≤n+2＜1时即取值范围在对称轴左边，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=n+2时，函数有最大值，此时函数值为y=-+2（n+2）+3，
∴-+2（n+2）+3，
解得n=或n=（舍去）；
∴n的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，二次函数的增减性，对称轴，线段与点的关系，熟练掌握待定系数法，二次函数的增减性，灵活运用分类思想是解题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；
（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；
（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解；
（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．
【解析】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4，
故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），
由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，
连接BC，如下图，
∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，
∵BC＝BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），
故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，
设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，
故点C的坐标为（0，），
则抛物线的表达式为y＝x2+；
（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，
由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝，
故直线CD的表达式为y＝x+②，
联立①②并解得，故点D的坐标为（，），
如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，
故DE＝yD＝，
则yF＝yC+DE＝，
故点F的坐标为（0，）；
（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），
由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，
联立①③并解得，点D的坐标为（，），
而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），
∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，
即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，
即9m2﹣36m＝0，
解得m＝4（舍去）或0，
故m＝0．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等．
26．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质结合勾股定理求出，从而得进而可得结论；
（3）过点作轴于点延长交延长线于点则∠分别求出，再运用待定系数法求出直线和的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，把代入两直线解析式，从而可进一步得出结论．
(1)
解：如图1，
在矩形中，////
当时，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
由折叠得，
∴
∴四边形是菱形，
∵∠，
∴四边形是正方形，
∴点在轴上，
∴
∴；
设抛物线的解析式为：
把代入得，
解得，
∴所以，经过三点的抛物线的解析式为：
(2)
解：如图2，当点在轴上时，
由折叠得，∠，
∴∠
∵
∴∠
在中，由勾股定理得，，
∴
∴在中，
∴
∴
在中，
(3)
解：如图 3，过点作轴于点延长交延长线于点则∠
∵点的横坐标为1，
∴
∴
由折叠得，∠
∴∠
∵∠，
∴∠
在中，由勾股定理得，
∴
在中，，
∴
∴
∴；
设直线的解析式为，
将代入，得：
解得，
∴直线的解析式为
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
又抛物线
∴抛物线顶点坐标为
当时，代入，得：
当时，代入得
∵抛物线的顶点在△内部，
∴
即
【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、解直角三角形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
一、解答题
1． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标是
(3)当与内切时，
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先证明，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线的解析式为．设点，，则，，建立方程求解即可得出答案；
（3）设的中点为点，则点 的坐标，过点作轴于点，则，，运用勾股定理可得，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点
∴
∴
∴；
（2）解：∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．即．
又∵，
∴，
设直线，又直线经过点，点，
∴∴，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点，
∵点N在直线上，
设点，
∴，
又，
∴．解之得（不合题意，舍去），
∴点P的坐标是；
（3）解：设的中点为点Q，则点Q的坐标，
又点，
过点作轴于点，则，，
在中，
∴，
当与内切时，，
∴，
解之得：，
∴当与内切时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键．
、
2． (2023·上海普陀·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
【答案】(1)，点D的坐标为
(2)①直线的截距是；②符合条件的直线应该是经过点E且垂直于x轴的直线，为直线和直线
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设点，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可得出答案；
②当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，则，可得，再求得，根据题意可得：，解得，故符合条件的直线为；当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，进而可得，建立方程求解即可得出符合条件的直线为．
【解析】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：①设点，直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
直线的截距为；
②抛物线顶点的坐标为，
抛物线对称轴为直线，
当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，如图1，
则，
，
，
由①知：直线的截距为，即，
又，
，
，
由题意：，
，
解得：或，
，
，
根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，
符合条件的直线为；
当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2，
、，
直线的解析式为，
，
．
，
，
，
解得：（舍去）或，
符合条件的直线为，
综上所述，符合条件的直线为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键．
3． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
（2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
（3）解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
4． (2023·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
【解析】（1）解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
5． (2023·上海金山·统考二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点是坐标是
【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可；
（3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案．
【解析】（1）直线与轴、轴相交于点、，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为.
（2）∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当x=1时，
∴，
∴.
（3）如图，设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴点是坐标是，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点是坐标是
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．
6． (2023·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将抛物线表达式设为顶点式，将A、H坐标代入即可求出；
（2）过点C向对称轴和x轴作垂线，设C点坐标为，根据角度相等，所以正切值相等，分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以m表示各线段长度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分别作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以两三角形面积比等于OM与AN的比，延长PQ交x轴于点D，则，得到三角形相似，继而得到OM与AN的比等于OD与AD的比，从而求出D点坐标，因为PQCH，先求出CH表达式为，则可将PQ的表达式设为形式，将D点坐标代入即可求出表达式．
【解析】（1）∵抛物线经过点，顶点为，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）分别过点C作，轴，垂足为点G、F，
设，
则：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
经检验，m=1是方程的解，
则，
∴C点坐标为．
（3）延长PQ交x轴于点D．分别过点O、A作直线PQ的垂线，垂足分别为点M、N．
∵点C坐标为，点H坐标为，
∴设直线CH的表达式为，将C、H坐标代入得 ，
解得，
∴直线CH表达式为：，
①当、在直线PQ的两侧时，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D点坐标为．
又∵，
∴设直线PQ的表达式为，
将D点坐标代入得，
解得，
∴PQ表达式为；
②当、在直线PQ的同侧时，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此时D点坐标为，
∴设直线PQ的表达式为，
将代入解得，
∴直线PQ的表达式为
综上所述，满足条件的直线PQ的表达式为或．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，需熟练掌握二次函数数形结合的综合应用．
7． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)平移的距离为
(3)m的取值范围为
【分析】（1）由直线解析式可求出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）过点B作BE⊥DC于点E，由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后可得，进而问题可求解；
（3）由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，则有点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，然后根据图象的平移可进行求解．
【解析】（1）解：令x=0时，则有，即点，
令y=0时，则有，解得：，即点，
把点A、B的坐标代入二次函数解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意可得如下图象：
过点B作BE⊥DC于点E，
由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平移距离；
（3）解：由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，
∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，
∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在内，
∴点M的横坐标为m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4．
(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；
(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．
【答案】(1)；D（1，4）；
(2)E（0，3）；
(3)．
【分析】（1）先求出抛物线对称轴，再根据AB= 4求出点B坐标，再代入函数关系式求出m的值，再求出顶点坐标；
（2）连接DG交EF于点Q，先证明四边形DEGF是菱形，设E（n，-n2+ 2n + 3），
再根据四边形DEGF是正方形得到EQ = DQ，据此求出n的值，得到点E的坐标；
（3）连接AC，过点H作HM⊥x轴于M，先求出AC的长，得到∠ABC = 45°，求出直线AC与直线BD的函数关系式，再联立方程组求出点H的坐标，再求出AH的长，得到，从而证得，可得结果．
【解析】（1）∵抛物线为的对称轴为直线，AB= 4，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴把B（3，0）代入得，
9m-6m +3 = 0，
解得：m=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x +3；
∵抛物线为，
∴顶点D（1，4）；
（2）如图1，连接DG交EF于点Q，
∵D（1，4），D与G关于EF对称，
∴EF垂直平分DG，
∴DE = EC，DF = FG，
∵EF//c轴，DG⊥x轴，点E、F关于直线DG对称，
∴DE = DF，线段DG在抛物线的对称轴上，
∴DE = DF= FG = EG，
∴四边形DEGF是菱形；
设E（n，-n2+ 2n + 3），
∴EQ = 1-n，DQ =4-（-n2 + 2n + 3）=n2- 2n+1，
又∵四边形DEGF是正方形，
∴EQ = DQ，
即，
解得n = 0或n = 1（舍去），
∴．E（0，3）；
（3）如图2，连接AC，过点H作HM⊥x轴于M，
∵抛物线为y =-x2 + 2x + 3，
∴C（0，3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AO = 1，AB = 4，OC = 3，OB = 3，
∴
∴OB = OC，
∴∠ABC = 45°，
设直线AC的解析式为y=rx +3（r≠ 0），
则0=-r+ 3，
∴r = 3，
∴直线AC的解析式为y= 3x+3，
设直线BD的解析式为y =ka +b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BD的解析式为y=-2x +6，
解方程组，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质及判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想的运用是解题的关键．
二次函数综合题是中考数学的热点和难点，几乎每年中考倒数第二题解答题都会出现，主要考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何知识相互结合，对几何图形的性质要求熟练掌握，并且能运用到平面直角坐标系中。
1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）
3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：
1.导边处理（“SAS”法）
第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；
第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.
2.导角处理（“AA”法）
第一步:先找到一组关键的等角；
第二步,另两个内角分两类对应相等.
4 二次函数综合题中线段问题的解题通法
1.线段的数量关系问题:
（1）在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度;
（2）结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值).
2.线段的最值问题:
（1）一条线段的最值问题,根据1（1）中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值;
(2)两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决.
3.周长的最值问题:
一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题.
、
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
2．在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为．
(1)试求这个抛物线的表达式；
(2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求；
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.
(1)求上述抛物线的表达式；
(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．
4．在平面直角坐标系中，抛物线线经过，点C是该抛物线上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，求点C到x轴的距离；
(3)如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接，当时，在中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线经过和两点，与轴交于、两点（在的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点与点重合，连接，求的正弦值；
(3)若轴交于点，若，求点的坐标．
6．如图，抛物线与轴相交于A、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点.
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)当的面积为时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
7．如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标；
(3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：经过点．
(1)求抛物线C的表达式；
(2)将抛物线C沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
(3)将抛物线C沿直线翻折，得到的图象记为，设C与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点（点P不与A、O重合），过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，求的值；
(3)如图2，当轴时，点P停止运动，联结，在抛物线上是否存在点G，使得，如存在求出点G的横坐标，如不存在请说明理由．
11．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；
(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F，连接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若点P在线段上，且，请直接写出点P的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G.
(1)求抛物线的表达式；
(2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标.
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线上的一点的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使的面积为最大整数时点P的坐标．
19．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
20．已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标；
(3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度．
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．
①求的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
22．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
23．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
24．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．
（1）求证：；
（2）设点是抛物线上两点之间的动点，连接．在的条件下：
①若，求点的坐标；
②若，且的最大值为，直接写出的值．
25．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；
（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．
26．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
一、解答题
1． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
2． (2023·上海普陀·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
3． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
4． (2023·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
5． (2023·上海金山·统考二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
6． (2023·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
7． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
8． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4．
(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；
(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．
专题10 二次函数压轴题
二次函数综合题是中考数学的热点和难点，几乎每年中考倒数第二题解答题都会出现，主要考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何知识相互结合，对几何图形的性质要求熟练掌握，并且能运用到平面直角坐标系中。
1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）
3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：
1.导边处理（“SAS”法）
第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；
第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.
2.导角处理（“AA”法）
第一步:先找到一组关键的等角；
第二步,另两个内角分两类对应相等.
4 二次函数综合题中线段问题的解题通法
1.线段的数量关系问题:
（1）在图中找出对应线段,弄清已知点和未知点,再联系函数设出只含有一个参数的未知点的坐标,然后用参数表示出线段的长度;
（2）结合已知条件,列出满足线段数量关系的等式,求出参数值(注意排除不符合题意的数值).
2.线段的最值问题:
（1）一条线段的最值问题,根据1（1）中所得的线段长度的式子,通过二次函数的性质求最值,继而得到线段的最值;
(2)两条线段和或差的最值问题,一般利用轴对称模型解决.
3.周长的最值问题:
一般利用转化思想,将求周长的最值转化为求不定线段和的问题.
、
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐标为：或．
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案；
（3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，
当，则，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
设抛物线为，把代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，即，
∴．
（3）如图，过作于，
∵，，，
∴，，，，
∴，则，
∴，而，
∴，
而，
∴，
∴，
当和相似时，显然与对称轴没有交点，
∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，
当时，
∴，
∴，
∴，
当，
∴，
∴，解得：，
∴．
综上：P的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键．
2．在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为．
(1)试求这个抛物线的表达式；
(2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求；
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点、，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意作出图形，如图，过点作轴交于点，得出，，进而根据正切的定义即可求解；
（3）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，求得直线的解析式，设，根据勾股定理求得的值，进而即可求解．
【解析】（1）解：将点、，代入，得
解得：
∴这个抛物线的表达式为；
（2）解：∵,
则点，
令，解得：，则,
∴轴，
如图，过点作轴交于点，
则，
∴，，
在中，；
（3）解：如图所示，
连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵
∴，
即
∵,，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
设过点,的直线解析式为，
则
解得：
∴直线的解析式为,
设点，
∵
∴
解得：或
∵点在线段上
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，角度问题，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.
(1)求上述抛物线的表达式；
(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)①对称轴为直线；②
【分析】（1）先通过解直角三角形求出点A、B的坐标，直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①设平移后的解析式为，求出点，再利用待定系数法求函数解析式即可；②过点P作轴于N，则，通过证明，利用相似三角形的性质计算即可．
【解析】（1）∵抛物线（），当时，，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①设平移后的解析式为，
∵，
∴P在的中垂线上，
∴，
将坐标代入，得，
∴，
∴新的抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
②过点P作轴于N，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，二次函数与角相等的问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，抛物线线经过，点C是该抛物线上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，求点C到x轴的距离；
(3)如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，连接，当时，在中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，设点，证明，求出，，然后分两种情况进行讨论，求出结果即可；
（3）过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作的垂线，垂足为点Q，设点C的坐标为，求出，得出，在中，根据，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵抛物线经过和，
∴，
∴，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：过点C作y轴的垂线，垂足为点N，过点A作y的垂线，垂足为点M，如图所示：
设点，
∵，
∴，，
∵轴，轴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
①当时，点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令代入得：，
则，
此时点在y轴的负半轴，不符合题意，舍去；
②当时，点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令代入得：，
则，符合题意，
则点C到x轴的距离为．
（3）解：存在，．
过点C作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作的垂线，垂足为点Q，如图所示：
由题意得，点C的坐标为，
∵轴，得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∵轴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论．
5．如图，已知抛物线经过和两点，与轴交于、两点（在的右侧），直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点与点重合，连接，求的正弦值；
(3)若轴交于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点E的坐标为或．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式；
（2）如下图，过点C作于点H，先求出点M，N的坐标，从而求得 ，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解；
（3）先证，得，，进而得，利用面积求得，设点E的坐标为，则点，进而有方程，解方程即可得解．
【解析】（1）解：∵抛物线经过和两点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式；
（2）解：如下图，过点C作于点H，
在抛物线中，令，则，
解得，，
∴，
又∵，
∴，，，
设直线为：，
∵过和，
∴，
解得，
∴直线为：，
令，则，解得，
∴，
∴，，
∴，即
∴，
∴；
（3）解：∵轴， 轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
设点E的坐标为，则点，
∵轴，
∴，
解得，
当时，，
当，，
∴点E的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键．
6．如图，抛物线与轴相交于A、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点.
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)当的面积为时，求点的坐标；
(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】(1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
(2)连接，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据，列方程求解即可；
(3)过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，首先根据矩形的性质及，即可证得，据此即可证得，可得，再由点B、C的坐标，即可求得直线的解析式为，设，则，则， ，可得，，即可得方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
，
解得：.，
所以，抛物线的解析式为：；
（2）解：如图：连接，过点D作于点E，
设，
，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，
令，则，
，
．
，
．
，的面积为，
，
∴，
整理得：．
解得：或，
的坐标为或；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则，则， ，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得，(不合题意，舍去)
，
∴点D的坐标为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，坐标与图形，不规则图形面积的求法，一元二次方程的解法，全等三角形的判定及性质，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．
7．如图，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，若恰好在抛物线上，求点的坐标；
(3)过点P作轴分别交直线，抛物线于点Q，C，连接．若以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)点P的坐标为或．
【分析】（1）将，代入，即可求解．
（2）设，过点D作x轴垂线交于点N，可证明，则，将D点代入抛物线解析式得，求得或．
（3）分当和时，两种情况讨论，据此求解即可．
【解析】（1）解：将，代入，
∴，，
∴．
（2）解：设，
如图，过点D作x轴垂线交于点N，
∵，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，解得或，
∴或．
（3）解：∵，
∴是直角三角形，且，
∵以点B、Q、C为顶点的三角形与相似，
∴也是直角三角形，
显然，
当时，此时，如图，
∵抛物线的对称轴为，
∴点C的横坐标为1，
∴点P的坐标为；
当时，此时，如图，设与x轴交于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点C的横坐标为，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象及性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可；
（2）求出点坐标，设直线与交于点，分别用含的式子表示出的坐标，利用直线将四边形的面积平分，得到列式求解即可；
（3）分，三种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线过点、、三点，
设：，
则：，
解得：，
∴，
∴对称轴为：；
（2）解：∵，
当时：；
∴，
∴，
∵、、
∴，，，
∵直线与线段交于点，且平分四边形的面积，
∴直线与线段相交，设交点为，
当时，；当时，；
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，即：，
解得：；
（3）解：①当时，点在线段上，此时：；
②当时，设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴
③当时，设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴
综上：点、、、为顶点的四边形是梯形时，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：经过点．
(1)求抛物线C的表达式；
(2)将抛物线C沿直线翻折，得到的新抛物线记为，求抛物线的顶点坐标；
(3)将抛物线C沿直线翻折，得到的图象记为，设C与围成的封闭图形为M，在图形M上内接一个面积为4的正方形（四个顶点均在M上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行．求n的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）把点代入，根据待定系数法即可求得．
（2）把抛物线C的表达式化成顶点式，求得顶点P的坐标，然后求得关于直线的对称点的坐标，即为抛物线的顶点坐标；
（3）由抛物线C的顶点式求得对称轴，然后根据正方形的边长求得B的坐标，进而得出，解得．
【解析】（1）∵抛物线C：经过点，
∴．
∴．
∴抛物线C的表达式为．
（2）∵抛物线C：，
∴抛物线C的顶点为，如图1，
点关于直线的对称点为．
∴抛物线的顶点坐标为．
（3）∵抛物线C：，
∴抛物线的对称轴为，
∵正方形的边长为2，
∴正方形的顶点B的坐标为，如图2．
∴ ．
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质、正方形的性质是解题的关键．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点（点P不与A、O重合），过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，求的值；
(3)如图2，当轴时，点P停止运动，联结，在抛物线上是否存在点G，使得，如存在求出点G的横坐标，如不存在请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为，点C的坐标为
(2)的值为．
(3)点G的坐标是．
【分析】（1）将代入，求得，则抛物线的表达式为；可得点C的坐标为；
（2）先求得直线的表达式为，设，则，，即可由，列方程得，求得，则，，即可由“等底三角形面积的比等于高的比”求得的值为；
（3）设交于点H，作轴于点K，先证明，得，求得，再求得直线的表达式为，将该表达式与抛物线的表达式联立方程组，解该方程组求出符合题意的解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
当时，，
∴点C的坐标为，
（2）如图1，设直线的表达式为，则， 解得，
∴，
设，则，，
当点D为的中点时，则，
∴ ，
解得，（不符合题意，舍去），
∴， ∴，，
∴ ，
∴的值为．
（3）存在， 如图2，设交于点H，作轴于点K，
∵轴，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，由得，，
∴，
∴，
∵，
∴， ∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
对于直线，当时，，
∴，
设直线的表达式为，则，
解得，
∴，
解方程组 ，
得 ，（不符合题意，舍去），
∴点G的坐标是．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
11．已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标；
(2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标；
(3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标进而得到，如图所示，取中点E，作直线OE，则是线段的垂直平分线，，即可推出点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可；
（3）如图所示，连接，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，证明，求出，则，
同理可求出直线的解析式为，设点E的坐标为，则，据此求解即可．
【解析】（1）解：由题意得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为
（2）解：令，则，
∴，
∴，
如图所示，取中点E，作直线OE，
∴是线段的垂直平分线，，
∵，
∴点P即为直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点P的坐标为或
（3）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可求出直线的解析式为，
设点E的坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴点E的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F，连接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若点P在线段上，且，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意易得点，则有，即，然后代入函数解析式进行求解即可；
（2）连接，由（1）可知二次函数解析式为，则有，然后可得，进而问题可求解；
（3）分别过点P作于点G，过点F作于点H，由（1）（2）可知，，然后可得，，进而根据解直角三角形可进行求解．
【解析】（1）解：由题意可令，代入二次函数得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：连接，如图所示：
由（1）可知二次函数解析式为，
∴顶点，
当时，则，
解得：，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：分别过点P作于点G，过点F作于点H，如图所示：
由（1）（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
（2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
（3）解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
【解析】（1）解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G.
(1)求抛物线的表达式；
(2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标.
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②
【分析】（1）将抛物线的解析式可以写成的形式，与对比即可求出a，b的值，进而求出抛物线的表达式；
（2）①画出大致图形，证明点B是与内切时的切点，即可得到；②设点F的坐标为，用含m的代数式分别表示出和，列等式即可求出m的值．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线的解析式可以写成的形式，
即，
∴，，
∴，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：由题意作图如下，
①∵的圆心为G，的圆心为E，
∴GE是与圆心的连线，
∵两圆相切时，圆心的连线经过切点，
∴当与内切时，GE经过切点，
∵点B是线段GE延长线上的点，且在上，
∴点B是与内切时的切点，
∴点B在以点E为圆心，为半径的上，
∴，
②在中，
令得，
∴抛物线与y轴交于点C的坐标为，
设直线BC的解析式为，
将和的坐标代入，
得，
∴，
∴设直线BC的解析式为．
∵点F在抛物线上，
∴设点F的坐标为，
由题意轴，
∴点E的坐标为，
∵点F在BC的上方，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∵点E在线段BC上，
∴，
∴,
∵，
∴，
整理得，，
解得或3，
当时，点E，F，B重合，此时不存在，
故不合题意，应舍去，
∴，
当时， ，
∴求点F的坐标为．
【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点B是与内切时的切点，进而得到是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PEx轴，交直线AB于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，在抛物线上有一点F，使得∠CBF＝∠OAC，求点F的坐标；
(3)如图2，当△PDE的周长为+8时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)（2，-4）
【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，可证得OA∥BF，即BF⊥x轴，这种情况不存在；如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，设点E的坐标为（0，m），则，求出点E的坐标为（0，4），然后求出直线BE的解析式为，联立，即可求出点F的坐标为（，）；
（3）先求出点点C的坐标为（2，0），则OC=2，OA=1，，△AOC的周长，设点P的坐标为 ，根据PE∥x轴，得到∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，然后求出直线AB的解析式为得到点E的坐标为 ，则；证明△PDE∽△AOC，得到，则，由此求解即可．
【解析】（1）解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到抛物线解析式中得：
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图2-1所示，当点F在直线AB下方时，
∵∠OAC=∠CBF，
∴OA∥BF，即BF⊥x轴，
∴这种情况不存在；
如图2-2所示，当点F在直线AB的上方时，设直线BF与y轴交于点E，
∵∠OAC=∠CBF，
∴EA=EB，
设点E的坐标为（0，m），
∴，
解得，
∴点E的坐标为（0，4），
设直线BE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线BE的解析式为，
联立，
解得或，
∴点F的坐标为（，）
（3）解：∵B点坐标为（4，1），A点坐标为（0，-1），
∴AB的中点坐标为（2，0），
又∵直线AB与x轴的交点为C，
∴点C的坐标为（2，0），
∴OC=2，OA=1，
∴，
∴△AOC的周长，
设点P的坐标为 ，
∵PE∥x轴，
∴∠OCA=∠DEP，点E的纵坐标为，
设直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为
∴点E的坐标为 ，
∴，
∵PD⊥AB，
∴∠PDE=∠AOC=90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴P点的坐标为（2，-4）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，两点距离公式，一次函数与二次函数的交点问题，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，，且与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q，如果，求证：；
(3)若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点恰好在上述抛物线上，求直线的解析式．
【答案】(1)抛物线的解析式为；点A的坐标
(2)证明见解析
(3)直线的解析式为：
【分析】（1）将，代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解得m、n的值，即可得到抛物线解析式，再令，即可求出点A的坐标；
（2）根据题意画出图形，通过坐标证明为直角三角形，且，利用及角的关系证明，结合，即可证明两个三角形相似；
（3）作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线，先求直线A B’的解析式，与抛物线解析式联立求得F’的坐标，再求直线BB’的解析式，利用及求得的F’的坐标，即可求的解析式．
【解析】（1）解：将，代入抛物线解析式，得：
，解得
∴抛物线的解析式为
当时，，
∴点A的坐标
（2）如图所示，点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作，交线段OA的延长线于点Q
∵，，
∴
∴
即为直角三角形，且
∵，
∴OA=OC
∴
当时，点P只能在点B的右侧，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
（3）如图所示，作B关于AC的对称点B’，则A、F’、B’三点共线
∵，点B’和点B关于AC的对称，
∴
设直线A B’的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线A B’的解析式为：
联立
解得：（舍去）
则
设直线BB’的解析式为：，代入，得：
，解得
∴直线BB’的解析式为：
由题意可知
∴设直线的解析式为：，代入得：
解得：
∴直线的解析式为：．
【点睛】本题是二次函数综合题．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系数法求解函数解析式，难度较大，综合性强．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线上的一点的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使的面积为最大整数时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）存在当是以BC为直角边的直角三角形时，点或；（3）使的面积为最大整数时点或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，由题意易得，然后根据对称轴为直线及点可求解；
（2）由题意可分当时和当时，然后根据等腰直角三角形的性质可分别求解点Q的坐标；
（3）过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，由题意易求直线BC的解析式，然后可得点M的坐标及线段PM的长，根据铅垂法可求出△BCP的面积，进而根据二次函数的性质可求解．
【解析】解：（1）∵，，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，则有：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）存在点Q，使得是以BC为直角边的直角三角形，理由如下：
①当时，如图所示：
过点Q作QH⊥y轴于点H，
∵，，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△HCQ是等腰直角三角形，
∴，
设点，则有，
∴，解得：（不符合题意，舍去），
∴点；
②当时，如图所示：
过点B作x轴的垂线，然后过点Q、C分别作QE⊥BE于点E，CF⊥BE于点F，
∴，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△QEB是等腰直角三角形，
∴，
设点，则有，
∴，解得：（不符合题意，舍去），
∴点；
综上所述：当是以BC为直角边的直角三角形时，点或；
（3）由（1）可知：，，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PM⊥x轴，交BC于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，开口向下，
∴，
∴的面积为最大整数时的值为3，
∴，
解得：，
∴点或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当＝时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求ABC的面积．
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）①证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；
②设C（t，），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．
【解析】（1）解：由y=-x+2可得：
当x=0时，y=2；当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；
（2）①如图1，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∴，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴∠DAE=∠DBC，
∴AE∥BC，
∴C点的纵坐标为2，
∴2=-x2+x+2，
∴x=0或x=2，
∴C（2，2），
∴t=2；
②如图2，设C（t，-t2+t+2），
过点B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH=∠ACE，
∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，
∴，
∴t=，
∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标；
(3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）分别求出和直线的解析式为，可得，，再求直线的解析式为，联立，即可求点；
（3）设，则，则，用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可求出，，直线与轴交点，则，再由，可得，则有方程，求出，即可求．
（1）
解：将点和点代入，
，
，
；
（2）
解：，
对称轴为直线，
令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立，
或（舍，
；
（3）
解：
设，则，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立，
，
，，
直线与轴交点，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键．
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．
①求的周长为最大值时点P的坐标；
②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．
【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为
【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解；
（2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解；
②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C，
∴当 时， ，
∴点 ，
将点 ，代入，得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
当 时， ，
∴点B（4,0），
将点，B（4,0），代入，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）①设 ，则 ，
∴ ，
设△PEF的周长为m，
∵，
∴∠PEF=∠BCO，
∵∠PFO=∠BCO=90°，
∴△PFE∽△BOC，
∴ ，
∵点B（4,0）， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴当 时，m最大，此时 ，
即的周长为最大值时点P的坐标为；
②抛物线的对称轴为 ，
如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°，
∴ ， ，
∴，
∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，
∵∠MGO=60°，
∴∠MOG=30°，
∵，
∴ ， ，
∴∠POB=60°，
∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，
∴点P、O、M三点共线，
设直线AC的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
∵，
∴可设直线BG的解析式为 ，
把点B（4,0），代入得： ，
∴直线BG的解析式为 ，
∴点 ，
∴ ，
∴，
∴PM=10，
∴的最小值为10，
∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ，
∴此时点H的纵坐标为 ，
∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
22．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
（1）求线段的长．
（2）联结，若点G在抛物线的对称轴上，且与相似，请直接写出点G的坐标．
（3）设点P为x轴上的一点，且时，求点P的坐标.
【答案】（1）2；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据抛物线的解析式可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，从而易得OB=OC，由EF⊥OB即可求得EF的长，从而求得DE的长；
（2）设点G的坐标为(1，x)，分两种情况考虑：△COE∽△EGB和△COE∽△EBG，根据相似三角形的性质即可求得x的值，从而可求得点G的坐标；
（3）分两种情况考虑：点P在点A的右侧和点P在点A的左侧；当点P在点A的右侧时，由D(1，4)，则，得出∠α =∠DOF，然后根据三角形外角的性质可求得∠DPO=∠ADO，进而可得△ADP∽△AOD，由相似三角形的性质可求得OP的长，从而求得P点的坐标；当点P在点A的左侧时， 作点P关于抛物线对称轴的对称点，则点也满足题意．
【解析】（1）当时，解方程得：
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为A（-1，0）、B(3，0)
∴OB=3
∵在中，当x=0时，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，3)
∴OC=3
∵
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)
∴DF=4，OF=1
∵OB=OC=3，OC⊥OB
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵EF⊥OB
∴∠FEB=∠OBC=45°
∴EF=BF=OB-OF=3-1=2
∴DE=DF-EF=4-2=2
（2）设点G的坐标为(1，x)
在Rt△OBC及Rt△FBE中，由勾股定理得：，
∴
①若△COE∽△EGB
则有，∠GEB=∠OCE=45°
即OC∙BE=CE∙EG
∴点G只能在点E下方
∵由（1）可得点E的坐标为(1，2)
∴EG=2-x
∴
解得：x=-4
即点G的坐标为(1，-4)
②若△COE∽△EBG
则有，∠BEG=∠OCE=45°
即OC∙EG=CE∙BE
∴点G只能在点E下方
∴EG=2-x
∴
解得：
即点G的坐标为
综上所述，满足条件的点G的坐标为或
（3）①如图，当点P在点A的左侧时，连接DP、DA、DO
∵，
∴∠DOF=∠α=∠DAO+∠DPO，∠DOF=∠PDO+∠DPO
∴∠DAO=∠PDO
∴△OAD∽△ODP
∴，即
∵
∵OA=1
∴OP=17
∴点P的坐标为(-17，0)
②当点P在点A的右侧时，作点P(-17，0)关于抛物线的对称轴的对称点，则
∴
此时点满足题意，且其坐标为(19，0)
综上所述，满足条件的点P的坐标为或
【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点、顶点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求得三角形相似是关键．注意分类讨论．
23．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【解析】解：（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．
②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点P重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
24．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，连接．
（1）求证：；
（2）设点是抛物线上两点之间的动点，连接．在的条件下：
①若，求点的坐标；
②若，且的最大值为，直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）①点的坐标为或；②或
【分析】（1）把点A的坐标代入解析式，确定b=c-1，根据对称轴为x=，确定，得到c-1=m-1即c=m，问题得证；
（2）①过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点D，确定直线BC的解析式，用x表示点P的坐标，点E的坐标，根据面积关系建立方程求解即可；
②根据抛物线确定对称轴为x=1,分对称轴在取值范围内，取值范围的左边和右边三种情形求解．
【解析】解：（1）把A（-1，0）代入解析式，得-1-b+c=0即b=c-1．
∵y=-+bx+c的对称轴为x=，A（-1，0），B（m，0）是对称点，
∴，
∴b=m-1，
∴m-1=c-1，
∴m=c，
∵OB=m，OC=c，
∴OB=OC；
（2）①当m=3时，b=m-1=2，c=m=3，
∴抛物线的解析式为y=-+2x+3，
∴B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3；
∵A（-1，0），
∴AB=4，
∴,
∴，
过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC于点E，
设直线BC的解析式为y=kx+t，根据题意，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴点P的坐标（x，-+2x+3），点D的坐标（x，0），点E的坐标（x，-x+3），
∴PE=（-+2x+3）-（-x+3）=-+3x，
过点C作CF⊥PE，垂足为F，
则，
∴
∴，
解得x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）
②∵抛物线y=-+2x+3=，
∴当x=1时，函数y有最大值，且为4，
当n≤1≤n+2时即-1≤n≤1时，函数有最大值4，故2n=4，解得n=2，
不符合题意，故n=2舍去；
当1＜n≤x≤n+2时即取值范围在对称轴右边，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴当x=n时，函数有最大值，此时函数值为y=-+2n+3，
∴-+2n+3=2n，
解得n=或n= -（舍去）；
当n≤x≤n+2＜1时即取值范围在对称轴左边，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=n+2时，函数有最大值，此时函数值为y=-+2（n+2）+3，
∴-+2（n+2）+3，
解得n=或n=（舍去）；
∴n的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，二次函数的增减性，对称轴，线段与点的关系，熟练掌握待定系数法，二次函数的增减性，灵活运用分类思想是解题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．
（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；
（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；
（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解；
（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．
【解析】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4，
故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），
由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，
连接BC，如下图，
∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，
∵BC＝BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），
故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，
设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，
故点C的坐标为（0，），
则抛物线的表达式为y＝x2+；
（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，
由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝，
故直线CD的表达式为y＝x+②，
联立①②并解得，故点D的坐标为（，），
如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，
故DE＝yD＝，
则yF＝yC+DE＝，
故点F的坐标为（0，）；
（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），
由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，
联立①③并解得，点D的坐标为（，），
而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），
∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，
即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，
即9m2﹣36m＝0，
解得m＝4（舍去）或0，
故m＝0．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等．
26．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），点D（﹣1，m）在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m＝3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；
（2）由折叠的性质结合勾股定理求出，从而得进而可得结论；
（3）过点作轴于点延长交延长线于点则∠分别求出，再运用待定系数法求出直线和的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，把代入两直线解析式，从而可进一步得出结论．
(1)
解：如图1，
在矩形中，////
当时，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
由折叠得，
∴
∴四边形是菱形，
∵∠，
∴四边形是正方形，
∴点在轴上，
∴
∴；
设抛物线的解析式为：
把代入得，
解得，
∴所以，经过三点的抛物线的解析式为：
(2)
解：如图2，当点在轴上时，
由折叠得，∠，
∴∠
∵
∴∠
在中，由勾股定理得，，
∴
∴在中，
∴
∴
在中，
(3)
解：如图 3，过点作轴于点延长交延长线于点则∠
∵点的横坐标为1，
∴
∴
由折叠得，∠
∴∠
∵∠，
∴∠
在中，由勾股定理得，
∴
在中，，
∴
∴
∴；
设直线的解析式为，
将代入，得：
解得，
∴直线的解析式为
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
又抛物线
∴抛物线顶点坐标为
当时，代入，得：
当时，代入得
∵抛物线的顶点在△内部，
∴
即
【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，是一道有关折叠的问题，主要考查二次函数、矩形、解直角三角形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
一、解答题
1． (2023·上海杨浦·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交线段于点N，交抛物线于点P，过P作，垂足为点M．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)设的周长为，的周长为，如果，求点P的坐标；
(3)如果以N为圆心，为半径的圆与以为直径的圆内切，求m的值．
【答案】(1)
(2)点P的坐标是
(3)当与内切时，
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先证明，根据相似三角形性质可得出：．利用待定系数法可得直线的解析式为．设点，，则，，建立方程求解即可得出答案；
（3）设的中点为点，则点 的坐标，过点作轴于点，则，，运用勾股定理可得，根据两圆内切建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点
∴
∴
∴；
（2）解：∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．即．
又∵，
∴，
设直线，又直线经过点，点，
∴∴，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点，
∵点N在直线上，
设点，
∴，
又，
∴．解之得（不合题意，舍去），
∴点P的坐标是；
（3）解：设的中点为点Q，则点Q的坐标，
又点，
过点作轴于点，则，，
在中，
∴，
当与内切时，，
∴，
解之得：，
∴当与内切时，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，两圆内切的性质等，本题综合性强，有一定难度，第（2）问运用相似三角形周长比等于相似比建立方程求解是解题关键，第（3）问根据圆与圆内切的性质建立方程求解是解题关键．
、
2． (2023·上海普陀·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点F．
①用m的代数式表示直线的截距；
②在的面积与的面积相等的条件下探究：在y轴右侧存在这样一条直线，满足：以该直线上的任意一点及点C、F三点为顶点的三角形的面积都等于面积，试用规范、准确的数学语言表达符合条件的直线．
【答案】(1)，点D的坐标为
(2)①直线的截距是；②符合条件的直线应该是经过点E且垂直于x轴的直线，为直线和直线
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式化为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①设点，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可得出答案；
②当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，则，可得，再求得，根据题意可得：，解得，故符合条件的直线为；当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得，进而可得，建立方程求解即可得出符合条件的直线为．
【解析】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
抛物线的表达式为，
，
顶点的坐标为；
（2）解：①设点，直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
直线的截距为；
②抛物线顶点的坐标为，
抛物线对称轴为直线，
当点在对称轴右侧时，设抛物线对称轴交直线于点，如图1，
则，
，
，
由①知：直线的截距为，即，
又，
，
，
由题意：，
，
解得：或，
，
，
根据同底等高的三角形面积相等可得：过点且平行轴的直线上任意一点及点、三点为顶点的三角形的面积都等于面积，
符合条件的直线为；
当点在轴与对称轴之间时，过点作平行轴的直线交于点，如图2，
、，
直线的解析式为，
，
．
，
，
，
解得：（舍去）或，
符合条件的直线为，
综上所述，符合条件的直线为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式、顶点坐标、对称轴，直线的截距，三角形面积等，运用等底等高的三角形面积相等解决问题是解题关键．
3． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，点是射线上的一点，如果，求点的坐标；
(3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，得抛物线过点，设抛物线解析式，将代入上述解析式，求得a的值，整理化简即可．
（2）由（1）中条件求得抛物线顶点坐标及C点坐标，再算得，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，设，则，令，解得关于p的方程即可得到点P的坐标．
（3）由直线BC解析式为，设，其中，同理，设，其中，分两种情况分别讨论，求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线过点．
∵抛物线与轴交于点和点，
∴设抛物线，
∵抛物线过点，
∴将点代入中，
得 ，解得，
故抛物线解析式为，
∴抛物线解析式为．
（2）解：连接、，设点P在射线DE上，连接PB，设DP交x轴于点F，
∵抛物线解析式为，与轴交于点，顶点为，
∴，．
∵，，
∴直线BC为：，
∵交抛物线的对称轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
∵，点P在射线DE上，
∴，
∵DP交x轴于点F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P点坐标．
（3）解：∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴设，其中，
又∵，点是对称轴右侧抛物线上的一点，
∴设，其中．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴分两种情况进行讨论：
①如图1，当，时，过点N作NK⊥DE于点K，过点M作ML⊥DE于点L，
∵，
∴，
∵ML⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M点坐标为．
②如图2，当，时，
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴当，解得，
∵，
∴，即．
∵是以为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直线BC为：，，
又∵点是线段上的一点，
∴M点坐标为．
综上，满足题意的M点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数相关的综合运用，充分运用数形结合思想是解题的关键．
4． (2023·上海松江·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点A、与轴交于点，抛物线经过点A、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，分别交直线于点、．
①当时，求点的坐标；
②连接交于点，当点是的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，将A、B代入即可求解；
（2）设①设点的坐标为，点的坐标为，由轴，轴，可得，，当时，即可求解；
②过点作轴，延长交轴于点，则，当点是的中点时，可得，由轴，轴，得，，设点的坐标为，则，，由，即可求解；
【解析】（1）解：将代入得，y=8，
将y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在抛物线上，
∴，解得
抛物线的解析式
（2）①设点的坐标为，
轴，且点在直线上，
点的坐标为
，，
，，
轴，轴，
，，
，
，
当时，
，解得
点的坐标为
②过点作轴，延长交轴于点，则.
当点是的中点时，可得
轴，轴，
，
点是的中点
，
设点的坐标为，则，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合应用、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
5． (2023·上海金山·统考二模）已知：在直角坐标系中直线与轴、轴相交于点、，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果直线与抛物线的对称轴相交于点，求的长；
(3)是线段上一点，过点作直线的平行线，与轴相交于点，把沿直线翻折，点的对应点是点，如果点在抛物线上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点是坐标是
【分析】（1）先根据直线求出点A和点B的坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线x=1，代入y=-x+4，可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可；
（3）设点的坐标为，证明四边形为正方形，得点坐标是，从而可得方程，求解方程即可得到答案．
【解析】（1）直线与轴、轴相交于点、，
当y=0，则-x+4=0，解得，x=4，
当x=0，则y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴抛物线的解析式为.
（2）∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当x=1时，
∴，
∴.
（3）如图，设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴点是坐标是，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点是坐标是
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．
6． (2023·上海黄浦·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（4，0），顶点为H（2，4），对称轴l与x轴交于点B，点C、P是抛物线上的点，且都在第一象限内．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点C位于对称轴左侧，∠CHB＝∠CAO，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点P位于对称轴的右侧，过点P作PQCH，交对称轴l于点Q，且，求直线PQ的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意将抛物线表达式设为顶点式，将A、H坐标代入即可求出；
（2）过点C向对称轴和x轴作垂线，设C点坐标为，根据角度相等，所以正切值相等，分别在两个直角三角形中构造线段等比例关系，以m表示各线段长度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分别作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即为两个三角形的高，因为底PQ相同，所以两三角形面积比等于OM与AN的比，延长PQ交x轴于点D，则，得到三角形相似，继而得到OM与AN的比等于OD与AD的比，从而求出D点坐标，因为PQCH，先求出CH表达式为，则可将PQ的表达式设为形式，将D点坐标代入即可求出表达式．
【解析】（1）∵抛物线经过点，顶点为，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）分别过点C作，轴，垂足为点G、F，
设，
则：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
经检验，m=1是方程的解，
则，
∴C点坐标为．
（3）延长PQ交x轴于点D．分别过点O、A作直线PQ的垂线，垂足分别为点M、N．
∵点C坐标为，点H坐标为，
∴设直线CH的表达式为，将C、H坐标代入得 ，
解得，
∴直线CH表达式为：，
①当、在直线PQ的两侧时，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D点坐标为．
又∵，
∴设直线PQ的表达式为，
将D点坐标代入得，
解得，
∴PQ表达式为；
②当、在直线PQ的同侧时，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此时D点坐标为，
∴设直线PQ的表达式为，
将代入解得，
∴直线PQ的表达式为
综上所述，满足条件的直线PQ的表达式为或．
【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，需熟练掌握二次函数数形结合的综合应用．
7． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过点A、B顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果，求平移的距离；
(3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在内，求m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)平移的距离为
(3)m的取值范围为
【分析】（1）由直线解析式可求出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）过点B作BE⊥DC于点E，由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，然后可得，进而问题可求解；
（3）由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，则有点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，然后根据图象的平移可进行求解．
【解析】（1）解：令x=0时，则有，即点，
令y=0时，则有，解得：，即点，
把点A、B的坐标代入二次函数解析式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意可得如下图象：
过点B作BE⊥DC于点E，
由（1）可得：，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平移距离；
（3）解：由（1）可知点，，抛物线的对称轴为直线，
∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为，
∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在内，
∴点M的横坐标为m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且AB＝4．
(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；
(2)点E是二次函数图像上一个动点，作直线轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；
(3)若射线AC与射线BD相交于点H，求∠AHB的大小．
【答案】(1)；D（1，4）；
(2)E（0，3）；
(3)．
【分析】（1）先求出抛物线对称轴，再根据AB= 4求出点B坐标，再代入函数关系式求出m的值，再求出顶点坐标；
（2）连接DG交EF于点Q，先证明四边形DEGF是菱形，设E（n，-n2+ 2n + 3），
再根据四边形DEGF是正方形得到EQ = DQ，据此求出n的值，得到点E的坐标；
（3）连接AC，过点H作HM⊥x轴于M，先求出AC的长，得到∠ABC = 45°，求出直线AC与直线BD的函数关系式，再联立方程组求出点H的坐标，再求出AH的长，得到，从而证得，可得结果．
【解析】（1）∵抛物线为的对称轴为直线，AB= 4，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴把B（3，0）代入得，
9m-6m +3 = 0，
解得：m=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x +3；
∵抛物线为，
∴顶点D（1，4）；
（2）如图1，连接DG交EF于点Q，
∵D（1，4），D与G关于EF对称，
∴EF垂直平分DG，
∴DE = EC，DF = FG，
∵EF//c轴，DG⊥x轴，点E、F关于直线DG对称，
∴DE = DF，线段DG在抛物线的对称轴上，
∴DE = DF= FG = EG，
∴四边形DEGF是菱形；
设E（n，-n2+ 2n + 3），
∴EQ = 1-n，DQ =4-（-n2 + 2n + 3）=n2- 2n+1，
又∵四边形DEGF是正方形，
∴EQ = DQ，
即，
解得n = 0或n = 1（舍去），
∴．E（0，3）；
（3）如图2，连接AC，过点H作HM⊥x轴于M，
∵抛物线为y =-x2 + 2x + 3，
∴C（0，3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AO = 1，AB = 4，OC = 3，OB = 3，
∴
∴OB = OC，
∴∠ABC = 45°，
设直线AC的解析式为y=rx +3（r≠ 0），
则0=-r+ 3，
∴r = 3，
∴直线AC的解析式为y= 3x+3，
设直线BD的解析式为y =ka +b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BD的解析式为y=-2x +6，
解方程组，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质及判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，数形结合思想的运用是解题的关键．
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