专题07 复数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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（一）复数的概念
1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
全体复数构成的集合叫做复数集.
2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
4.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件.
5.复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b≠0)).
(2)集合表示：
（二）复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3) ＝＋i (z2≠0)．
2. 复数的加、减法几何意义及运算律
3．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5．共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
6．in(n∈N*)的性质
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i，
从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N*，那么有
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
（三）复数的几何意义
1.复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi).
(3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 表示.
复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下：
3.复数的模
复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝
当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.
4.复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.
（四）复数的三角形式及其运算
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cs θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cs θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cs θ1＋isin θ1)·r2(cs θ2＋isin θ2)=
r1r2[cs(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2) ＝
＝[cs(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
题型一 复数的概念
【典例1】（2023·高一课时练习）已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于csα的一元二次方程，解方程求得csα，根据特殊角三角函数值和α的范围可求得结果.
【详解】由题意可得，
,
或
·
故选：B．
【总结提升】
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念.
(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.
③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.
例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小.
题型二 复数的分类
【典例2】【多选题】（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若，则是纯虚数
B．若是纯虚数，则实数
C．若，则为实数
D．若，且，则
【答案】CD
【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；
对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；
对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D正确．
故选：CD
【总结提升】
1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的.
2.形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数.
题型三 复数的相等
【典例3】（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．
【答案】4
【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可.
【详解】设，则，
∵,
∴,
∴,∴,
∴或或 或
∴共有4组解.
故答案为：4.
【总结提升】
复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解.
题型四 复数的几何意义
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）已知复平面内的向量对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则＝________．
【答案】
【分析】先利用向量运算求出对应的复数，然后求解模长可得答案.
【详解】
∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
故答案为：
【典例5】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知复数满足，则的最大值为______.
【答案】##
【分析】设，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.
【详解】设，由，可得，
则，即，
复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示复数对应的点到坐标原点的距离，
所以的最大值就是.
故答案为：.
【典例6】（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数z满足，为虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若复数z，在复平面内对应的点为A，B，O为坐标原点，求OAB的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设复数,代入条件，根据复数相等得出关于方程，从而得出答案.
（2）根据条件得出点的坐标，从而得出的坐标，得出的值，从而可求出三角形的面积.
(1)
设复数，由题意，
得 ，解得，
所以.
(2)
由（1）可得，
所点，，，.
因为，所以，
所以
【总结提升】
1.复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识.
2.有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.
题型五 复数的四则运算
【典例7】（2022·江苏·高一开学考试）已知复数满足，则复数___________.
【答案】##
【分析】根据复数的乘方与除法运算求解即可
【详解】，故
故答案为：
【典例8】（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）若复数，复数．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的加法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）当时，利用复数的除法可求得复数.
【详解】（1）解：由已知，则，解得.
（2）解：当时，.
【典例9】（2022春·江苏淮安·高一金湖中学校联考阶段练习）设为虚数单位，，复数，.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据是实数求解；
（2）先利用复数的除法化简，再根据是纯虚数求解.
(1)
解：，
因为是实数，
则，
解得.
(2)
，
因为为纯虚数，
则，
解得.
所以.
【总结提升】
1.复数四则运算的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
2．注意应用： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，＝－i.
题型六 复数模的计算
【典例10】【多选题】（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．若，则
【答案】AD
【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．
【详解】解：选项A：若，则，所以，故A正确，
选项B：设，，则，
但是，故B错误，
选项C：设，则，，
所以，故，故C错误；
选项D：设，，，，，则，
则，，所以，故D正确，
故选：AD．
【典例11】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考开学考试）已知复数满足等式，是虚数单位，则的模______．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合复数运算法则，以及复数模的运算性质，即可求解
【详解】解：
，即，解得，
．
故答案为：．
题型七 共轭复数
【典例12】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到的共轭复数及其虚部.
【详解】，
故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.
故选：C
【典例13】【多选题】（2022·高一单元测试）设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若|z1|＝|z2|，则D．若|z1|＝|z2|，则
【答案】BC
【分析】根据共轭复数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A选项，设，满足，但不满足，A选项错误.
对于D选项，设，满足，但，D选项错误.
对于B选项，由于，故可设，则，则，B选项正确.
对于C选项，由于，且，所以，C选项正确.
故选：BC
【总结提升】
1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数.
2.注意共轭复数的简单性质的运用.
题型八 复数的三角形式及运算
【典例14】（2023·全国·高一专题练习）把复数（i为虚数单位）改写成三角形式为______．
【答案】
【分析】根据复数三角表示的定义求解即可.
【详解】由题可得，且在第三象限，
所以辐角的主值为，
所以，
故答案为：.
【典例15】（2023·高一课时练习）计算：______．
【答案】
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】由题意可得，
故答案为：
【典例16】（2023·全国·高一专题练习）回答下面两题
(1)求证：；
(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：
①；②；③．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；
证法2，等价转化为证明两个复数相乘；
（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式.
【详解】（1）证法1：左边右边
证法2：
，
∴原等式成立.
（2）①时，
，
的模为，辐角为.
②时，
.
的模为1，辐角为.
③时，
，
的模为1，辐角为.
【总结提升】
1.复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）决定辐角所在的象限.
（3）根据象限求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
2.提醒：
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
3.三角形式乘、除法：
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
一、单选题
1．（2022春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考期中）复数的实部是（ ）
A．2B．C．2＋D．0
【答案】A
【分析】根据复数的定义，可得答案.
【详解】由题意，可得复数的实部是，
故选：A.
2．（2021春·江苏无锡·高一统考期末）复数的共轭复数是（ ）
A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i
【答案】C
【分析】根据复数的除法求解，再分析共轭复数即可
【详解】，其共轭复数为
故选：C
3．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】先求出复数，再求出其模
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
4.（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由共轭复数概念写出，即可判断其所在象限.
【详解】由题设，对应点为在第四象限.
故选：D
5.（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
6.（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
二、多选题
7．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】利用共轭复数的定义与复数的四则运算法则计算判断.
【详解】当，即，得，
，A正确；
，
当，则，
当时，，B错误；
，即，得，
，C正确；
，即，得，
，当时，，D错误；
故选：AC
三、填空题
8．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.
【答案】（只要满足，且）
【分析】利用复数的乘法化简复数，根据为纯虚数可出关于、的等式与不等式，即可得解.
【详解】由已知可得为纯虚数，则.
所以，且，
故满足题设条件的复数可以是.
故答案为：（只要满足，且）.
9．（2022春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知，复平面内表示复数的点所对应的数为纯虚数，则_____________．
【答案】6
【分析】根据复数的几何意义以及纯虚数的概念即可求出．
【详解】复数对应点的坐标为，若点在虚轴上，则，解得．
故答案为：6.
10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】求出模长，利用三角函数的有界性可得答案．
【详解】，
则
，则的最大值为．
故答案为：.
11．（2023·高一单元测试）复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.
【答案】或
【分析】求出的坐标，再设的坐标，根据给定条件，列出方程组求解作答.
【详解】依题意，，设，
由得：，由得：，
联立解得或，即或，
所以或.
故答案为：或
四、解答题
12．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数．
(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；
（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可
【详解】（1）由题意可得，
解得；
的取值范围为；
（2）由题意可得，
解得．
的值为．
13．（2022春·江苏淮安·高一马坝高中校考期中）（1）已知，求实数、的值.
（2）设，，若为实数，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据复数相等可得出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值；
（2）利用复数的除法化简复数，根据复数为实数可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】解：（1），其中、，，解得；
（2），
因为为实数，则，所以.
14．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足
(1)求；
(2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入，利用复数相等求解；
（2）设，先化简，再利用复数的几何意义求解．
(1)
解：设，
则，
即，
所以，解得，
则，
从而；
(2)
设，
则．
因为在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，
解得.
15．（2023·全国·高一专题练习）求实数分别取何值时，复数对应的点满足下列条件：
(1)在复平面内的轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）（2）利用复数的几何意义得到点的坐标，再利用点与复平面坐标系的关系得到关于的不等式或方程，解之即可.
【详解】（1）因为复数对应的点为，
所以，
因为点在轴上方，
所以，解得或，
所以或.
（2）因为复数z的对应点在实轴负半轴上，
则，解得，
所以.
16．（2023·高一课时练习）计算下列各式，并给出几何解释．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，几何解释见解析
(2)，几何解释见解析
【分析】先利用复数三角形式的乘除法运算求值，再利用复数的三角形式进行几何解释即可.
【详解】（1）
，
几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个模为、辐角为的，则即为所对应的向量．
（2）
，
因为，
同理：，
所以原式，
几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的，则即为所对应的向量．
z1、z1、z3∈C，设eq \(OZ1,\s\up6(→))、eq \(OZ2,\s\up6(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且eq \(OZ1,\s\up6(→))、eq \(OZ2,\s\up6(→))不共线
加法
减法
几何
意义
复数的和z1＋z2与向量eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))＝eq \(OZ,\s\up6(→))的坐标对应
复数的差z1－z2与向量eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))＝eq \(Z2Z1,\s\up6(→))的坐标对应
运算律
交换律
z1＋z2＝z2＋z1
结合律
(z1＋z2)＋z3
＝z1＋(z2＋z3)
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3