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第2讲 用样本估计总体（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）
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这是一份第2讲 用样本估计总体（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册），文件包含第2讲用样本估计总体练透重点题型原卷版docx、第2讲用样本估计总体练透重点题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共108页， 欢迎下载使用。
类型一：频率分布表或频率分布直方图
类型二：频率分布折线图
类型三：条形图，折线图，扇形图的应用
类型四：总体百分位数的估计
类型五：计算数据的平均数，众数，中位数
类型六：在茎叶图中求平均数，众数，中位数
类型七：在频率分布直方图中估算平均数，众数，中位数
类型八：计算方差，标准差
类型九：平均数，方差的性质
类型十：根据平均数方差决策
类型十一：计算频率分布直方图中的方差，标准差
类型十二：估计总体的方差，标准差
类型一：频率分布表或频率分布直方图
典型例题
例题1．（2022·高二单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出样本的频率分布直方图和折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
例题2．（2022·高一课时练习）考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示：
(1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______；
(2)填写下面的频率分布表：
(3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图．
例题3．（2022·高一课时练习）从总体中抽取容量为的样本，数据分组及各组的频数如下：
根据上表，制作频率分布直方图．
例题4．（2023·高一课时练习）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）求这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表．
(1)制作频率分布表，并绘制频率分布直方图；
(2)估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例．
2．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）为了调查学生在一学期内参加物理实验的情况，从某校随机抽取100名学生，经统计得到他们参加物理实验的次数均在区间内，其数据分组依次为：，，，，.若.
(1)求这100名学生中，物理实验次数在内的人数；
(2)估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在15次到20次之间的概率.
3．（2023·高一课时练习）某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：
(1)直方图中的a的值；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．
4．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值；
（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；
②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？
类型二：频率分布折线图
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出样本的频率分布直方图和折线图；
(3)求样本数据不足0的频率.
例题2．（2022·高一课时练习）某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率直方图及频率折线图．
例题3．（2022秋·广东汕头·高二汕头市聿怀中学校考期末）为了了解某城市居民用水量的情况，我们获得100户居民某年的月均用水量（单位：吨）通过对数据的处理，我们获得了该100户居民月均用水量的频率分布表，并绘制了频率分布直方图（部分数据隐藏）100户居民月均用水量的频率分布表
(1)确定表中与的值；
(2)求频率分布直方图中左数第4个矩形的高度；
(3)在频率分布直方图中画出频率分布折线图.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：，6；，16；，18；，22；，20；，10；，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图和频率折线图．
2．（2022·高一课时练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：，4；，5；，10；，11；，9；，8；，3．
(1)求出样本中各组的频率；
(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图．
3．（2022·高一课时练习）某制造商为运动会生产一批直径为40的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：，保留两位小数)如下：
40.02 40.00 39.98 40.00 39.99
40.00 39.98 40.01 39.98 39.99
40.00 39.99 39.95 40.01 40.02
39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
（1）完成下面的频率分布表，并在补全图中频率分布直方图和频率分布折线图.
（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.
类型三：条形图，折线图，扇形图的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图是民航部门统计的2021年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
例题3．（2023·全国·高三专题练习）某校高一年级500名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：
(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在[80,90)的概率.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A．400，40B．200，10C．400，80D．200，20
2．（2023·全国·高二专题练习）2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半
C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多
3．（2023·全国·高三专题练习）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
类型四：总体百分位数的估计
典型例题
例题1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·广东·高三统考期末）某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为___________分.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；
(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天的浓度（单位：），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m百分位数为（ ）
A．71B．75.5C．79D．72
2．（2023·福建·统考一模）以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________．
3．（2023·高一课时练习）某旅游网考察了一个景点附近的15家酒店，根据清洁程度、舒适程度、服务态度、位置、早餐质量等给每个酒店一个评分（满分10分），结果如下：
9.0，8.8，8.7，9.1，8.2，8.5，9.7，8.9，9.5，9.8，9.2，8.9，9.6，8.6，8.9．
(1)计算第25百分位数；
(2)某网站计划将评分在第95百分位数以上的酒店列为优先推荐酒店，若某酒店的评分为9.6，该酒店能否列为优先推荐酒店？
类型五：计算数据的平均数，众数，中位数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ）.
A．众数为7和9B．平均数为7
C．中位数为7D．方差为
例题2．（2023·高三课时练习）已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．
例题3．（2023·高一单元测试）某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；
乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：
(1)分别计算甲、乙两人每场得分的平均数；
(2)计算甲、乙两人每场得分的中位数；
(3)计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题.维生素又叫L-抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.现从猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素的含量（单位：mg）各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据被污损.
猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x；
柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117.
已知等于柚子的10个数据中的___________.
(1)求的值与猕猴桃的数据的中位数；
(2)分别计算上述猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素含量的平均数.
同类题型演练
1．（2023·上海·高三专题练习）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）
2．（2023·全国·高三对口高考）已知的中位数为，平均数为4，则________．
3．（2023·高一课时练习）在高三数学联赛中，参赛的100名学生做10个题目，正确个数如下：
求：
(1)人均正确答题数；
(2)每人正确答题数的中位数；
(3)每人正确答题数的方差．
4．（2023·高一课时练习）某单位党员分为4个党小组，各组人数分别为10，10，x，8．已知各组人数的中位数和平均数相等，求中位数．
类型六：在茎叶图中求平均数，众数，中位数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲､乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个是低分后，则下列说法错误的是（ ）
A．甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数
B．甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数
C．甲选手得分的众数与的值无关
D．甲选手得分的方差与的值无关
例题2．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有15位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（ ）
A．80B．81C．84D．85
例题3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）甲乙两名篮球运动员最近场比赛的得分如下茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，则=（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2022·山东德州·统考模拟预测）某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是（ ）
A．甲得分的30%分位数是31B．乙得分的众数是48
C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D．甲得分的极差等于乙得分的极差
例题5．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为________.
同类题型演练
1．（2022·上海·高三统考学业考试）某班共有50名同学，班主任李老师将大家分成了5个学习小组，每组10人，在某次数学测试中，甲、乙两小组的测试成绩的茎叶图如图所示，则对该次测试的成绩，下列说法错误的是（ ）
A．甲组学生成绩的众数是78B．乙组学生成绩的中位数是79
C．甲组学生的成绩更稳定D．乙组学生的平均成绩更高
2．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）
A．21B．21.5C．22D．22.5
3．（2022·全国·高一专题练习）某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2022年“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86，则xy的值为（ ）
A．36B．12C．10D．24
4．（2022秋·广西玉林·高二统考期末）随机抽取某社区名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用（单位：元），所获数据的茎叶图如图所示，则这个数据的众数是_________．
5．（2022春·四川泸州·高二统考期末）已知甲，乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，平均数相等，则_________．
类型七：在频率分布直方图中估算平均数，众数，中位数
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为,,,则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A．中位数70B．众数75C．平均数68.5D．平均数70
例题3．（多选）（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照、、、、、、分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，则以下结论中正确的是（ ）
A．此次测试众数的估计值为
B．此次测试分数在的学生人数为人
C．随机抽取的学生测试分数的第百分位数约为
D．平均数在中位数右侧
例题4．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.在的成绩为不达标，在的成绩为达标.
(1)根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）；
(2)以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知，两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由．
(2)小明拟到，两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
同类题型演练
1．（2023·陕西榆林·统考一模）为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（ ）
A．70B．C．D．60
2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们年度阅读书籍的数量，并制成如图所示的频率分布直方图，由此来估计全体学生年度阅读书籍的情况，下列说法中不正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)（ ）
A．该校学生年度阅读书籍本数的中位数为6
B．该校学生年度阅读书籍本数的众数为10
C．该校学生年度阅读书籍本数的平均数为6.88
D．该校学生年度读书不低于8本的人数约为3600
3．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
(1)估计这批苹果的重量的平均数；
(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；
方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；
方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.
分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入.
4．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.
(1)求这部分学生成绩的中位数､平均数（保留一位小数）；
5．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，.
(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；
(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.
类型八：计算方差，标准差
典型例题
例题1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
例题2．（2023·高一课时练习）某工厂36名工人的年龄数据如下表．
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算（1）中样本的平均值和方差；
(3)36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？
例题3．（2023秋·上海静安·高二校考期末）甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为：
如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．
例题4．（2023·高一课时练习）检查甲、乙两厂的100瓦电灯泡的生产质量，分别抽取20只灯泡，检查结果如下：
(1)请计算甲、乙两厂灯泡瓦数的总体均值的估计值；
(2)请计算甲、乙两厂所抽取灯泡瓦数的标准差；（精确到0.01）
(3)哪个厂的生产情况较稳定？
同类题型演练
1．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为分，方差为，若去掉一个最高分分和一个最低分分，则剩下的4个分数满足（ ）
A．平均分分，方差B．平均分分，方差
C．平均分分，方差D．平均分分，方差
2．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了6株麦苗测量株高，得到数据如下（单位：cm）：
(1)分别求出甲、乙麦苗株高的平均数；
(2)分别求出甲、乙麦苗株高的方差，并分析甲、乙哪种麦苗的苗更齐.
3．（2023·高一单元测试）为调查家庭人口数，从某小区抽取了263户家庭，人口数表示如下：
求该样本的平均数，中位数，方差和标准差．（精确到0.01）
4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）某班为了了解学生每月购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个9人的样本统计如下：
估计全班学生每月购买零食的平均支出为______元，方差为______.（分数或精确到小数点后一位）
类型九：平均数，方差的性质
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）设有个样本，，…，，其标准差是，另有个样本，，…，，且，其标准差为，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知一组数据，，…，，c是非零常数，则对于数据，，…，，以下说法中正确的是（ ）
A．平均数与方差都不变B．平均数变了，方差不变
C．平均数不变，方差变了D．平均数与方差都变了
例题3．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知数据、、…、的方差为16，则数据、、…、的标准差为______.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知、、…、的平均值为6，方差为3，则、、…、的平均值为______，方差为______．
同类题型演练
1．（2023·全国·高二专题练习）若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是（ ）
A．18B．7C．6D．2
2．（多选）（2023秋·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）已知样本数据的平均数是，方差为，则样本数据的（ ）
A．平均数是B．平均数是
C．方差是D．方差是
3．（2023秋·上海静安·高二校考期末）设一组样本数据的方差为6，则数据的方差是______．
4．（2023·高三课时练习）若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的方差是_________.
类型十：根据平均数方差决策
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两人同时加工一种零件，在10天中两人每天生产的次品数如下表：
按照以下数据，分别估计他们加工零件时出现次品的平均数和标准差（精确到0.01），并比较两人哪一个更稳定一些．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）某市射击队准备在甲、乙两名射击运动员中选拔一名运动员代表该市去参加射击比赛，他们两人共进行了5轮射击选拔赛，得到的成统统计如下（单位环）：
(1)分别计算甲、乙两名射击运动员5轮选拔赛成绩的平均数；
(2)分别计算甲、乙两名射击运动员5轮选拔赛成绩的方差；
(3)选派哪名运动员代表该市参赛比较合适，请说出你的理由.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；
(2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差；
(3)在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．
（参考数据：，，）
2．（2023·全国·高三专题练习）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.
类型十一：计算频率分布直方图中的方差，标准差
典型例题
例题1．（2022春·河南商丘·高一校联考期末）某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分.整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
(1)估计该校餐厅得分的80%分位数､众数､中位数；
(2)估计该校餐厅得分的平均数和方差.
例题2．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
(1)估计产品的某项质量指标值的70百分位数.
(2)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(3)设表示不大于的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： ，）
例题3．（2022·高一课时练习）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中B配方的频率分布直方图.药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出、两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于时为废品，指标值在为一等品，不小于为特等品.现把测量数据整理如下，其中配方废品有件.
配方的频数分布表
(1)求实数、的值；
(2)试确定配方和配方哪一种好?（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
2．（2022春·全国·高一期末）随着新课程改革和高考综合改革的实施，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展，为此，某市于2021年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人.若第三组学生实际成绩的平均数与方差分别为74分和2，第四组学生实际成绩的平均数与方差分别为84分和1，求这20人中分数在区间所有人的成绩的方差.
3．（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：
（1）从校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；
（2）如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；
（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较，两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．
类型十二：估计总体的方差，标准差
典型例题
例题1．（2023秋·江西新余·高三统考期末）某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将这两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ）
A．平均数为6B．平均数为6.5
C．方差为12.5D．方差为13
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某电池厂有，两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
则20个产品组成的总样本的方差为_____.
例题3．（2022春·山东·高一统考阶段练习）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下.
（1）求，，的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.
同类题型演练
1．（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）中央电视台的国学知识竞赛节目《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均分大于乙的平均分B．甲的平均分等于乙的中位数
C．甲的方差大于乙的方差D．甲的中位数大于乙的中位数
2．（2023·全国·高二专题练习）某校高一年级的学生有500人，其中男生300人，女生200人．为了解该校高一年级学生的体重情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得女生样本的平均数为（单位：），方差为，男生样本的平均数为（单位：），方差为．
(1)计算总样本的平均数；
(2)计算总样本的方差；
(3)估计该校高一年级全体学生的平均数和方差．
3．（2021秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）某学校为了解高三学生的学习成绩变化情况，随机调查了100名学生，得到这些学生一轮复习结束相对于高二期末学习成绩增长率的频数分布表.
（1）估计这个学校的高三学生中，学习成绩增长率不低于的学生比例；
（2）求这个学校的高三学生学习成绩增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到）
附：.
.分组
频数
7
11
15
40
49
41
20
17
分组
频数
频率
合计
171
170
165
169
167
167
170
161
164
167
171
163
163
169
166
168
168
165
160
168
158
160
163
167
173
168
169
170
160
164
171
169
167
159
151
168
170
174
160
168
176
157
162
166
158
164
180
179
169
169
身高
频数
频率
分组
频数
寿命/h
个数
20
30
80
40
30
分组
频数
7
11
15
40
49
41
20
17
组号
分组
频数
频率
1
4
0.04
2
0.08
3
15
4
22
5
6
14
0.14
7
6
8
4
0.04
9
0.02
合计
100
分组
频数
频率
2
0.10
5
4
10
10
0.50
4
0.20
10
合计
20
1.00
50
正确题数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
1
3
2
5
8
11
18
26
15
7
4
甲
乙
8
9
7
6
5
x
0
8
1
1
y
1
2
9
1
1
6
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
C.40
D.41
E.33
F.40
G.45
H.42
I.43
L.38
M.39
N.43
O.45
P.39
Q.38
R.36
U.41
V.37
W.34
X.42
Y.37
Z.44
AA.42
AD.43
AE.38
AF.42
AG.53
AH.37
AI.49
AJ.39
甲
乙
1
10
3
3
3
3
6
7
7
9
9
2
2
3
6
6
8
8
8
8
9
瓦数
94
96
98
100
102
104
106
甲厂个数
0
3
6
8
2
0
1
乙厂个数
1
2
7
4
3
2
1
甲
11.2
12.4
11.7
13.5
14.2
13.8
乙
12.1
13.8
12.1
14.1
13.9
10.8
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
学生数
平均支出（元）
支出平方的累加值
方差
女生
4
225
男生
5
304
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
质量指标值分组
频数
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
生产线产品
8
210
4
生产线产品
12
200
4
组别
分组
频数
频率
第1组
4
0.08
第2组
第3组
20
第4组
0.32
第5组
4
0.08
合计
50
1.00
甲
乙
9
5
1
5
4
3
8
2
3
0
4
6
4
2
0
5
7
8
4
2
1
1
2
的分组
学生数
16
24
30
12
10
8
类型一：频率分布表或频率分布直方图
类型二：频率分布折线图
类型三：条形图，折线图，扇形图的应用
类型四：总体百分位数的估计
类型五：计算数据的平均数，众数，中位数
类型六：在茎叶图中求平均数，众数，中位数
类型七：在频率分布直方图中估算平均数，众数，中位数
类型八：计算方差，标准差
类型九：平均数，方差的性质
类型十：根据平均数方差决策
类型十一：计算频率分布直方图中的方差，标准差
类型十二：估计总体的方差，标准差
类型一：频率分布表或频率分布直方图
典型例题
例题1．（2022·高二单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出样本的频率分布直方图和折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
例题2．（2022·高一课时练习）考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示：
(1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______；
(2)填写下面的频率分布表：
(3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图．
例题3．（2022·高一课时练习）从总体中抽取容量为的样本，数据分组及各组的频数如下：
根据上表，制作频率分布直方图．
例题4．（2023·高一课时练习）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）求这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下表．
(1)制作频率分布表，并绘制频率分布直方图；
(2)估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例．
2．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）为了调查学生在一学期内参加物理实验的情况，从某校随机抽取100名学生，经统计得到他们参加物理实验的次数均在区间内，其数据分组依次为：，，，，.若.
(1)求这100名学生中，物理实验次数在内的人数；
(2)估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在15次到20次之间的概率.
3．（2023·高一课时练习）某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：
(1)直方图中的a的值；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．
4．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）求直方图中x的值；
（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；
②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？
类型二：频率分布折线图
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出样本的频率分布直方图和折线图；
(3)求样本数据不足0的频率.
例题2．（2022·高一课时练习）某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率直方图及频率折线图．
例题3．（2022秋·广东汕头·高二汕头市聿怀中学校考期末）为了了解某城市居民用水量的情况，我们获得100户居民某年的月均用水量（单位：吨）通过对数据的处理，我们获得了该100户居民月均用水量的频率分布表，并绘制了频率分布直方图（部分数据隐藏）100户居民月均用水量的频率分布表
(1)确定表中与的值；
(2)求频率分布直方图中左数第4个矩形的高度；
(3)在频率分布直方图中画出频率分布折线图.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：，6；，16；，18；，22；，20；，10；，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图和频率折线图．
2．（2022·高一课时练习）有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：，4；，5；，10；，11；，9；，8；，3．
(1)求出样本中各组的频率；
(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图．
3．（2022·高一课时练习）某制造商为运动会生产一批直径为40的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：，保留两位小数)如下：
40.02 40.00 39.98 40.00 39.99
40.00 39.98 40.01 39.98 39.99
40.00 39.99 39.95 40.01 40.02
39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
（1）完成下面的频率分布表，并在补全图中频率分布直方图和频率分布折线图.
（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.
类型三：条形图，折线图，扇形图的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图是民航部门统计的2021年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津和重庆的春运期间往返机票价格同去年相比有所上升
C．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
例题3．（2023·全国·高三专题练习）某校高一年级500名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：
(1)估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
(2)现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在[80,90)的概率.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
A．400，40B．200，10C．400，80D．200，20
2．（2023·全国·高二专题练习）2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩第1-100名的100人中，高一人数不超过一半
C．成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多
3．（2023·全国·高三专题练习）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
类型四：总体百分位数的估计
典型例题
例题1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则等于（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·广东·高三统考期末）某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为___________分.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；
(3)若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天的浓度（单位：），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m百分位数为（ ）
A．71B．75.5C．79D．72
2．（2023·福建·统考一模）以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________．
3．（2023·高一课时练习）某旅游网考察了一个景点附近的15家酒店，根据清洁程度、舒适程度、服务态度、位置、早餐质量等给每个酒店一个评分（满分10分），结果如下：
9.0，8.8，8.7，9.1，8.2，8.5，9.7，8.9，9.5，9.8，9.2，8.9，9.6，8.6，8.9．
(1)计算第25百分位数；
(2)某网站计划将评分在第95百分位数以上的酒店列为优先推荐酒店，若某酒店的评分为9.6，该酒店能否列为优先推荐酒店？
类型五：计算数据的平均数，众数，中位数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ）.
A．众数为7和9B．平均数为7
C．中位数为7D．方差为
例题2．（2023·高三课时练习）已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为__________．
例题3．（2023·高一单元测试）某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：18，20，21，22，23，25，28，29，30，30，32，34；
乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，48．求：
(1)分别计算甲、乙两人每场得分的平均数；
(2)计算甲、乙两人每场得分的中位数；
(3)计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题.维生素又叫L-抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.现从猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素的含量（单位：mg）各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据被污损.
猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x；
柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117.
已知等于柚子的10个数据中的___________.
(1)求的值与猕猴桃的数据的中位数；
(2)分别计算上述猕猴桃､柚子两种食物中测得每100克维生素含量的平均数.
同类题型演练
1．（2023·上海·高三专题练习）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）
2．（2023·全国·高三对口高考）已知的中位数为，平均数为4，则________．
3．（2023·高一课时练习）在高三数学联赛中，参赛的100名学生做10个题目，正确个数如下：
求：
(1)人均正确答题数；
(2)每人正确答题数的中位数；
(3)每人正确答题数的方差．
4．（2023·高一课时练习）某单位党员分为4个党小组，各组人数分别为10，10，x，8．已知各组人数的中位数和平均数相等，求中位数．
类型六：在茎叶图中求平均数，众数，中位数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲､乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个是低分后，则下列说法错误的是（ ）
A．甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数
B．甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数
C．甲选手得分的众数与的值无关
D．甲选手得分的方差与的值无关
例题2．（2022秋·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）在我校举办的艺术节舞蹈比赛中，有15位评委为选手打分，若选手甲所得分数用茎叶图表示如图所示，则该选手所得分数的中位数为（ ）
A．80B．81C．84D．85
例题3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）甲乙两名篮球运动员最近场比赛的得分如下茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，则=（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2022·山东德州·统考模拟预测）某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是（ ）
A．甲得分的30%分位数是31B．乙得分的众数是48
C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D．甲得分的极差等于乙得分的极差
例题5．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为________.
同类题型演练
1．（2022·上海·高三统考学业考试）某班共有50名同学，班主任李老师将大家分成了5个学习小组，每组10人，在某次数学测试中，甲、乙两小组的测试成绩的茎叶图如图所示，则对该次测试的成绩，下列说法错误的是（ ）
A．甲组学生成绩的众数是78B．乙组学生成绩的中位数是79
C．甲组学生的成绩更稳定D．乙组学生的平均成绩更高
2．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）
A．21B．21.5C．22D．22.5
3．（2022·全国·高一专题练习）某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2022年“希望杯”全国数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86，则xy的值为（ ）
A．36B．12C．10D．24
4．（2022秋·广西玉林·高二统考期末）随机抽取某社区名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用（单位：元），所获数据的茎叶图如图所示，则这个数据的众数是_________．
5．（2022春·四川泸州·高二统考期末）已知甲，乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，平均数相等，则_________．
类型七：在频率分布直方图中估算平均数，众数，中位数
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为,,,则（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A．中位数70B．众数75C．平均数68.5D．平均数70
例题3．（多选）（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照、、、、、、分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，则以下结论中正确的是（ ）
A．此次测试众数的估计值为
B．此次测试分数在的学生人数为人
C．随机抽取的学生测试分数的第百分位数约为
D．平均数在中位数右侧
例题4．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.在的成绩为不达标，在的成绩为达标.
(1)根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）；
(2)以体育成绩是否达标为依据，用分层抽样的方法在该校2022年春季的高一学生中选出5人，再从这5人中随机选2人，那么这两人中至少有一人体育成绩达标的概率是多少？
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知，两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由．
(2)小明拟到，两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
同类题型演练
1．（2023·陕西榆林·统考一模）为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（ ）
A．70B．C．D．60
2．（多选）（2023·全国·高二专题练习）某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们年度阅读书籍的数量，并制成如图所示的频率分布直方图，由此来估计全体学生年度阅读书籍的情况，下列说法中不正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)（ ）
A．该校学生年度阅读书籍本数的中位数为6
B．该校学生年度阅读书籍本数的众数为10
C．该校学生年度阅读书籍本数的平均数为6.88
D．该校学生年度读书不低于8本的人数约为3600
3．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
(1)估计这批苹果的重量的平均数；
(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；
方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；
方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.
分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入.
4．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮.某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列.
(1)求这部分学生成绩的中位数､平均数（保留一位小数）；
5．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，.
(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；
(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.
类型八：计算方差，标准差
典型例题
例题1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
例题2．（2023·高一课时练习）某工厂36名工人的年龄数据如下表．
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算（1）中样本的平均值和方差；
(3)36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？
例题3．（2023秋·上海静安·高二校考期末）甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为：
如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．
例题4．（2023·高一课时练习）检查甲、乙两厂的100瓦电灯泡的生产质量，分别抽取20只灯泡，检查结果如下：
(1)请计算甲、乙两厂灯泡瓦数的总体均值的估计值；
(2)请计算甲、乙两厂所抽取灯泡瓦数的标准差；（精确到0.01）
(3)哪个厂的生产情况较稳定？
同类题型演练
1．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）在某校的“迎新年”歌咏比赛中，6位评委给某位参赛选手打分，6个分数的平均分为分，方差为，若去掉一个最高分分和一个最低分分，则剩下的4个分数满足（ ）
A．平均分分，方差B．平均分分，方差
C．平均分分，方差D．平均分分，方差
2．（2023秋·陕西榆林·高二统考期末）农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了6株麦苗测量株高，得到数据如下（单位：cm）：
(1)分别求出甲、乙麦苗株高的平均数；
(2)分别求出甲、乙麦苗株高的方差，并分析甲、乙哪种麦苗的苗更齐.
3．（2023·高一单元测试）为调查家庭人口数，从某小区抽取了263户家庭，人口数表示如下：
求该样本的平均数，中位数，方差和标准差．（精确到0.01）
4．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）某班为了了解学生每月购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个9人的样本统计如下：
估计全班学生每月购买零食的平均支出为______元，方差为______.（分数或精确到小数点后一位）
类型九：平均数，方差的性质
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试）设有个样本，，…，，其标准差是，另有个样本，，…，，且，其标准差为，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高一课时练习）已知一组数据，，…，，c是非零常数，则对于数据，，…，，以下说法中正确的是（ ）
A．平均数与方差都不变B．平均数变了，方差不变
C．平均数不变，方差变了D．平均数与方差都变了
例题3．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知数据、、…、的方差为16，则数据、、…、的标准差为______.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知、、…、的平均值为6，方差为3，则、、…、的平均值为______，方差为______．
同类题型演练
1．（2023·全国·高二专题练习）若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是（ ）
A．18B．7C．6D．2
2．（多选）（2023秋·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）已知样本数据的平均数是，方差为，则样本数据的（ ）
A．平均数是B．平均数是
C．方差是D．方差是
3．（2023秋·上海静安·高二校考期末）设一组样本数据的方差为6，则数据的方差是______．
4．（2023·高三课时练习）若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的方差是_________.
类型十：根据平均数方差决策
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两人同时加工一种零件，在10天中两人每天生产的次品数如下表：
按照以下数据，分别估计他们加工零件时出现次品的平均数和标准差（精确到0.01），并比较两人哪一个更稳定一些．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）某市射击队准备在甲、乙两名射击运动员中选拔一名运动员代表该市去参加射击比赛，他们两人共进行了5轮射击选拔赛，得到的成统统计如下（单位环）：
(1)分别计算甲、乙两名射击运动员5轮选拔赛成绩的平均数；
(2)分别计算甲、乙两名射击运动员5轮选拔赛成绩的方差；
(3)选派哪名运动员代表该市参赛比较合适，请说出你的理由.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；
(2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差；
(3)在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．
（参考数据：，，）
2．（2023·全国·高三专题练习）为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲､乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲､乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲､乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择.
类型十一：计算频率分布直方图中的方差，标准差
典型例题
例题1．（2022春·河南商丘·高一校联考期末）某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分.整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
(1)估计该校餐厅得分的80%分位数､众数､中位数；
(2)估计该校餐厅得分的平均数和方差.
例题2．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
(1)估计产品的某项质量指标值的70百分位数.
(2)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(3)设表示不大于的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： ，）
例题3．（2022·高一课时练习）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中B配方的频率分布直方图.药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好.为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出、两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于时为废品，指标值在为一等品，不小于为特等品.现把测量数据整理如下，其中配方废品有件.
配方的频数分布表
(1)求实数、的值；
(2)试确定配方和配方哪一种好?（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）某学校对高一某班的同学进行了身高（单位：）调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计全班同学身高的中位数；
(3)估计全班同学身高的平均数及方差．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
2．（2022春·全国·高一期末）随着新课程改革和高考综合改革的实施，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展，为此，某市于2021年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人.若第三组学生实际成绩的平均数与方差分别为74分和2，第四组学生实际成绩的平均数与方差分别为84分和1，求这20人中分数在区间所有人的成绩的方差.
3．（2022春·广西梧州·高一校考开学考试）树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：
（1）从校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；
（2）如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；
（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较，两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．
类型十二：估计总体的方差，标准差
典型例题
例题1．（2023秋·江西新余·高三统考期末）某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将这两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（ ）
A．平均数为6B．平均数为6.5
C．方差为12.5D．方差为13
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某电池厂有，两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
则20个产品组成的总样本的方差为_____.
例题3．（2022春·山东·高一统考阶段练习）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作的高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图如下.
（1）求，，的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51、方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.
同类题型演练
1．（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）中央电视台的国学知识竞赛节目《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的平均分大于乙的平均分B．甲的平均分等于乙的中位数
C．甲的方差大于乙的方差D．甲的中位数大于乙的中位数
2．（2023·全国·高二专题练习）某校高一年级的学生有500人，其中男生300人，女生200人．为了解该校高一年级学生的体重情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得女生样本的平均数为（单位：），方差为，男生样本的平均数为（单位：），方差为．
(1)计算总样本的平均数；
(2)计算总样本的方差；
(3)估计该校高一年级全体学生的平均数和方差．
3．（2021秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）某学校为了解高三学生的学习成绩变化情况，随机调查了100名学生，得到这些学生一轮复习结束相对于高二期末学习成绩增长率的频数分布表.
（1）估计这个学校的高三学生中，学习成绩增长率不低于的学生比例；
（2）求这个学校的高三学生学习成绩增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到）
附：.
.分组
频数
7
11
15
40
49
41
20
17
分组
频数
频率
合计
171
170
165
169
167
167
170
161
164
167
171
163
163
169
166
168
168
165
160
168
158
160
163
167
173
168
169
170
160
164
171
169
167
159
151
168
170
174
160
168
176
157
162
166
158
164
180
179
169
169
身高
频数
频率
分组
频数
寿命/h
个数
20
30
80
40
30
分组
频数
7
11
15
40
49
41
20
17
组号
分组
频数
频率
1
4
0.04
2
0.08
3
15
4
22
5
6
14
0.14
7
6
8
4
0.04
9
0.02
合计
100
分组
频数
频率
2
0.10
5
4
10
10
0.50
4
0.20
10
合计
20
1.00
50
正确题数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
1
3
2
5
8
11
18
26
15
7
4
甲
乙
8
9
7
6
5
x
0
8
1
1
y
1
2
9
1
1
6
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
工人编号 年龄
C.40
D.41
E.33
F.40
G.45
H.42
I.43
L.38
M.39
N.43
O.45
P.39
Q.38
R.36
U.41
V.37
W.34
X.42
Y.37
Z.44
AA.42
AD.43
AE.38
AF.42
AG.53
AH.37
AI.49
AJ.39
甲
乙
1
10
3
3
3
3
6
7
7
9
9
2
2
3
6
6
8
8
8
8
9
瓦数
94
96
98
100
102
104
106
甲厂个数
0
3
6
8
2
0
1
乙厂个数
1
2
7
4
3
2
1
甲
11.2
12.4
11.7
13.5
14.2
13.8
乙
12.1
13.8
12.1
14.1
13.9
10.8
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
学生数
平均支出（元）
支出平方的累加值
方差
女生
4
225
男生
5
304
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
质量指标值分组
频数
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
生产线产品
8
210
4
生产线产品
12
200
4
组别
分组
频数
频率
第1组
4
0.08
第2组
第3组
20
第4组
0.32
第5组
4
0.08
合计
50
1.00
甲
乙
9
5
1
5
4
3
8
2
3
0
4
6
4
2
0
5
7
8
4
2
1
1
2
的分组
学生数
16
24
30
12
10
8
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