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【考前50天】最新高考数学重点专题三轮冲刺演练 专题13 基本不等式小题 （拔高版）
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1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题13 基本不等式小题拔高练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.
故选：C.
2．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.
故选：.
3．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】将转化为，利用基本不等式转化为关于x的不等式，然后解不等式可得.
【详解】，
因为，所以，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
故x的最大值为.
故选：A
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，且在上单调递减，
由得：，即，，
（当且仅当时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
5．（2023·江苏·高三专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．12B．6C．8D．9
【答案】A
【分析】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，且点在线段上（不含端点），
所以，且，
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即的最小值为12.
故选：A.
6．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7．（2023·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，将代入替换，利用“1”的代换，化简然后利用均值不等式即可.
【详解】对A，，，当时，即时，可取等号，A对；
对B，，因为，所以，，取不到1，故B错；
对C，，当时，可取等号，C对；
对D，，，当时，可取等号，D对；
故选：ACD
8．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数满足成等差数列，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为成等差数列，
所以，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
9．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知且，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，最小值.
故选：D.
10．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
11．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断.
【详解】解：因为，，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确；
成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误；
，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确；
∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确.
故选：ACD
12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）
A．1B．4C．9D．32
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可得，进而求得或，再结合选项判断即可
【详解】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．
故选：BD．
13．（2023·安徽宿州·统考一模）已知，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式化简整理可得，构造函数利用函数单调性即可证明D错误.
【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；
易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；
由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；
由可得，所以，
若，即证明，即
即需证明，
令函数，则，
当时，，即在上单调递增，
所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；
当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；
综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.
故选：ABC
14．（2023·江苏·统考一模）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.
【详解】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
15．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
16．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最小值为4B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.
【详解】，当且仅当，即时取等号，则正确；
，即，当且仅当，即时取等号，则B错误；
，当，即时，，则C正确；
，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：ACD
17．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为1
C．的最小值为D．的最小值为3
【答案】AC
【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.
【详解】.
对于，当且仅当时取等号，故正确；
对于，当时，，故错误；
对于，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故错误.
故选：AC.
18．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若直线经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据直线经过点得到，然后利用基本不等式逐项判断即可求解.
【详解】因为直线经过点，则，所以，
对于，因为，
所以当且仅当时等号成立，故选项错误；
对于，因为当且仅当时等号成立，所以，则，故选项正确；
对于，，
当，时等号成立，故选项正确；
对于，因为，，所以，且，
由可得：，，当，时等号成立，故选项正确；
故选：.
19．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
20．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】AC
【分析】根据进行计算可判断A；利用“1”的妙用及基本不等式计算可判断B；将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断C；利用将变形为，然后结合的范围可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
21．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值是______.
【答案】9
【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由已知条件得，
∵，∴，
又∵，，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
22．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据不等式特征可通过构造函数，利用函数单调性解不等式可得，再根据基本不等式即可求得的最小值是.
【详解】由题意可得将不等式变形成；
又因为都是正数，所以；
可构造函数，易知函数为增函数，
由可得，
即，根据函数单调性可得，
则，
当且仅当，即取等号，
因此的最小值是.
故答案为：
23．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.
【详解】依题意，，，则，
当且仅当，即时取“=”，此时，，
所以，当时，取最小值.
故答案为：
24．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】根据，且，利用“1”的代换将，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，，即时，取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
25．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若，，则的最大值为____________．
【答案】##
【分析】由，再利用基本不等式即可得解.
【详解】，
当且仅当且，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
26．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题可知，
故，
则，当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：.
27．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为___________，
【答案】
【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并结合即可求得，便可得出.
【详解】由可得，
由可得，，
所以
，
当且仅当时，等号成立；
即的最小值为；
，
所以，即；
当且仅当时，等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：
28．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若，则的最小值为________．
【答案】16
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以.
所以
所以.
当且仅当时取等.
故答案为：16
29．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是______．
【答案】2
【分析】设，，解出，，代入化简得
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，
，
当且仅当，即，即，即时取等号，
故答案为：2.
30．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______.
【答案】##
【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，当且仅当，时等号成立，
所以当，时，取最大值，
所以当取最大值时，，，，
所以，
所以当时，取最小值.
故答案为：.
1、多加总结。当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
【一专三练】
专题13 基本不等式小题拔高练-新高考数学复习
分层训练（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知，，且，那么的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为，，，
则
.
当且仅当即时取等.
故选：C.
2．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.
故选：.
3．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】将转化为，利用基本不等式转化为关于x的不等式，然后解不等式可得.
【详解】，
因为，所以，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
故x的最大值为.
故选：A
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值.
【详解】，且在上单调递减，
由得：，即，，
（当且仅当时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
5．（2023·江苏·高三专题练习）在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．12B．6C．8D．9
【答案】A
【分析】由题意得，且，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为，且点在线段上（不含端点），
所以，且，
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即的最小值为12.
故选：A.
6．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
7．（2023·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为1
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；
对B，即可判断；
对C，，讨论二次函数最值即可；
对D，将代入替换，利用“1”的代换，化简然后利用均值不等式即可.
【详解】对A，，，当时，即时，可取等号，A对；
对B，，因为，所以，，取不到1，故B错；
对C，，当时，可取等号，C对；
对D，，，当时，可取等号，D对；
故选：ACD
8．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数满足成等差数列，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据成等差数列，可将用表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为成等差数列，
所以，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
9．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知且，则的最小值是（ ）
A．9B．10C．D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，最小值.
故选：D.
10．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
11．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断.
【详解】解：因为，，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确；
成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误；
，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确；
∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确.
故选：ACD
12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）
A．1B．4C．9D．32
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可得，进而求得或，再结合选项判断即可
【详解】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．
故选：BD．
13．（2023·安徽宿州·统考一模）已知，且，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式化简整理可得，构造函数利用函数单调性即可证明D错误.
【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；
易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；
由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；
由可得，所以，
若，即证明，即
即需证明，
令函数，则，
当时，，即在上单调递增，
所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；
当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；
综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.
故选：ABC
14．（2023·江苏·统考一模）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AC
【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.
【详解】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
15．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【分析】根据条件及基本不等式可得，进而即得.
【详解】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
16．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最小值为4B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.
【详解】，当且仅当，即时取等号，则正确；
，即，当且仅当，即时取等号，则B错误；
，当，即时，，则C正确；
，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：ACD
17．（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为1
C．的最小值为D．的最小值为3
【答案】AC
【分析】根据均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.
【详解】.
对于，当且仅当时取等号，故正确；
对于，当时，，故错误；
对于，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故错误.
故选：AC.
18．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若直线经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据直线经过点得到，然后利用基本不等式逐项判断即可求解.
【详解】因为直线经过点，则，所以，
对于，因为，
所以当且仅当时等号成立，故选项错误；
对于，因为当且仅当时等号成立，所以，则，故选项正确；
对于，，
当，时等号成立，故选项正确；
对于，因为，，所以，且，
由可得：，，当，时等号成立，故选项正确；
故选：.
19．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
20．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】AC
【分析】根据进行计算可判断A；利用“1”的妙用及基本不等式计算可判断B；将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断C；利用将变形为，然后结合的范围可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
21．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值是______.
【答案】9
【分析】将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由已知条件得，
∵，∴，
又∵，，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
22．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】根据不等式特征可通过构造函数，利用函数单调性解不等式可得，再根据基本不等式即可求得的最小值是.
【详解】由题意可得将不等式变形成；
又因为都是正数，所以；
可构造函数，易知函数为增函数，
由可得，
即，根据函数单调性可得，
则，
当且仅当，即取等号，
因此的最小值是.
故答案为：
23．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.
【详解】依题意，，，则，
当且仅当，即时取“=”，此时，，
所以，当时，取最小值.
故答案为：
24．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】根据，且，利用“1”的代换将，转化为，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，，即时，取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
25．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）若，，则的最大值为____________．
【答案】##
【分析】由，再利用基本不等式即可得解.
【详解】，
当且仅当且，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
26．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题可知，
故，
则，当且仅当，时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：.
27．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若，且，的最小值为m，的最大值为n，则mn为___________，
【答案】
【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并结合即可求得，便可得出.
【详解】由可得，
由可得，，
所以
，
当且仅当时，等号成立；
即的最小值为；
，
所以，即；
当且仅当时，等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：
28．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若，则的最小值为________．
【答案】16
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以.
所以
所以.
当且仅当时取等.
故答案为：16
29．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是______．
【答案】2
【分析】设，，解出，，代入化简得
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，
，
当且仅当，即，即，即时取等号，
故答案为：2.
30．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______.
【答案】##
【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，当且仅当，时等号成立，
所以当，时，取最大值，
所以当取最大值时，，，，
所以，
所以当时，取最小值.
故答案为：.
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