北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形习题

这是一份北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形习题，共19页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列说法中:
①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;
②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;
③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．关于线段的垂直平分线有以下说法:
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;
②线段的垂直平分线是一条直线;
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．已知的周长是，，则下列直线一定为的对称轴的是
A．的边的中垂线B．的平分线所在的直线
C．的边上的中线所在的直线D．的边上的高所在的直线
4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCD
C．AB=BDD．△BEC≌△DEC
6．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．如图,已知线段AB,BC的垂直平分线l1,l2交于点M,则线段AM,CM的大小关系是( )
A．AM>CMB．AM=CMC．AM8．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
9．如图,MP,NQ分别垂直平分AB,AC,且BC=6 cm,则△APQ的周长为( )
A．12 cmB．6 cmC．8 cmD．无法确定
10．到三角形三边的距离都相等的点是三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条边的中线的交点
C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点
11．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）
A．50°B．45°C．30°D．20°
12．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（ ）
A．14cmB．13cmC．11cmD．9cm
13．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）
A．24cm和22cmB．26cm和18cm
C．22cm和26cmD．23cm和24cm
14．如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
二、解答题
15．如图,已知直线l是AB的垂直平分线,M是直线l上的一点,D,E是AB上不同的点,则AM=BM吗?MD=ME吗?
16．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
17．如图,已知点P为∠MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.连接AB,交ON于D点,交OM于C点,若AB长为15 cm,求△PCD的周长.
18．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
19．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M.
(1)若∠A=40°,求∠NMB的度数.
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,求∠NMB的度数.
(3)由(1)(2)你发现了什么规律?并说明理由.
20．利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试.
21．如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=68°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD的度数.
22．在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N.
（1）求△AEN的周长；
（2）求证：BE=EN=NC．
23．敌军基地在三条公路围成的三角区域内，我军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？
24．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D．
（1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数；
（2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数；
（3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数.
25．如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.
参考答案
1．A
【解析】根据线段的垂直平分线的定义，以及定理：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可判断．
解：①当P不是AB的中点，则直线l不平分线段AB，故错误；
②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；
③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定过点P，所以直线l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；
④正确.
故选A.
2．B
【解析】由线段垂直平分线的定义，可得一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；线段的垂直平分线是一条直线．注意举反例来判断．
解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；
②线段的垂直平分线是一条直线；正确；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴，错误，因为线段有2条对称轴：一条是这条线段的垂直平分线，另一条对称轴是这条线段所在的直线.
故选B.
点睛：本题考查线段垂直平分线的知识.熟记线段垂直平分线的定义及定理是解题的关键.
3．C
【分析】
首先判断出是等腰三角形，AB是底边，然后根据等腰三角形的性质和对称轴的定义判断即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴是等腰三角形，AB是底边，
∴一定为的对称轴的是的边上的中线所在的直线，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质以及对称轴的定义，判断出是等腰三角形，AB是底边是解题的关键．
4．B
【分析】
由线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即可求得答案.
【详解】
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5
∴PA=PB，
即PB=5.
故选B.
5．C
【详解】
解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，
∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，BE=DE．∴∠BCE=∠DCE．
在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．
∴选项ABD都一定成立．
故选C．
6．C
【分析】
由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．
【详解】
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
故选C．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
7．B
【解析】
首先连接BM，然后根据l1是线段AB的垂直平分线判定AM=BM；类似的方法可得BM与CM的关系，最后利用等量代换即可解答本题.
解：如图所示：连接BM，
∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵l2是线段BC的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴AM=CM.
故选B.
点睛：本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
8．D
【分析】
先根据线段垂直平分线的尺规作图和性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】
由题意得：是AC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质是解题关键．
9．B
【详解】
由MP、NQ分别垂直平分AB、AC，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=AP，CQ=AQ，继而求得△APQ的周长等于BC．
解：∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC，
∴BP=AP，CQ=AQ，
∵BC=6cm，
∴△APQ的周长为：AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=6cm.
故选B.
10．A
【分析】
由到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点；到三角形三个顶点的距离都相等的点是三角形的三条边的垂直平分线的交点．即可求得答案．
【详解】
解：到三角形三边的距离都相等的点是三角形的三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
11．D
【详解】
试题解析：根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=CE．
故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD．
因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，
∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°．
故选D.
12．B
【详解】
试题解析：∵DE是边AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．
故选B.
13．C
【详解】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC，再根据两个三角形的周长求出AB，然后BC的值即可．
解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，
∴AB=70﹣48=22cm，
∴BC=48﹣22=26cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm．
故选C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、三角形的周长公式，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．D
【解析】
试题解析：甲：虽然CP=AP，
但∠A≠∠ACP，
即∠A≠∠ACD．甲不正确；
乙∵CP是线段AB的中垂线，
∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，
∵AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE．乙正确，
故选D．
15．AM=BM,无法判断MD是否等于ME.
【解析】
由M在线段AB的垂直平分线l上，根据“线段的垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可判断AM=BM成立；根据直线l不一定是DE的垂直平分线，则无法判断MD与ME的大小关系.
解：∵l是AB的垂直平分线，
∴AM=BM．
由于D、E是AB上任意两点，所以MD不一定等于ME，只有当l经过DE的中点时，MD=ME．
16．AB=9cm ，AC=6cm.
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=BD，然后求出△ACD的周长＝AB+AC,再解关于AC、AB的二元一次方程组即可.
解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∵AB=AD+BD，
∴AB=AD+DC.
∵△ADC的周长为15cm，
∴AD+DC+AC=15cm，
∴AB+AC=15cm.
∵AB比AC长3cm，
∴AB-AC=3cm.
∴AB=9cm ，AC=6cm.
17．15 cm.
【解析】
由点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称可得：ON垂直平分AP，OM垂直平分BP；根据垂直平分线的性质可得DA=DP，CP=CB，通过等量代换得到△PCD的周长与AB的数量关系，即可求解.
解：∵点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称，
∴ON垂直平分AP，OM垂直平分BP，
∴DA=DP，CP=CB，
∴△PCD的周长=PD+PC+CD=AD+DC+CB=AB=15cm.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
19．(1) 20°；(2) 35°；
(3)规律:∠NMB=∠A.
【解析】
（1）根据等边对等角，由AB=AC可得到∠ABM=∠ACB，再结合已知∠A的度数，即可求出∠NMB的度数；
（2）仿照第（1）问的求解过程即可得到∠NMB的度数；
（3）结合上述两问的解答，即可发现∠NMB和∠A之间的大小关系，然后仿照上述解答过程进行验证即可.
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABM=∠ACB.
∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，
∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°.
∵MN是AB的垂直平分线，∠ABM=70°，
∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°.
（2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°，
∴∠NMB=90°-55°=35°.
（3）规律：在等腰△ABC中，当AB=AC，∠NMB的度数恰好为顶角∠A度数的一半，即∠NMB=∠A.理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABM=∠ACB.
∴∠ABM=(180°-∠A)=90°-∠A.
∵∠ABM=90°-∠A，∠BNM=90°，
∴∠BMN=90°-∠ABM=∠A.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，三角形内角和定理的推论等知识.利用等腰三角形顶角与底角的关系及直角三角形两锐角互余并进行等量代换是解题的关键.
20．见解析
【解析】
试题分析：运用尺规作图作出三角形的三条边的垂直平分线，找出这三条垂直平分线的位置关系即可．
试题解析：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点.
21．36°
【解析】
试题分析：根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质分别求出∠DAC和∠BAE的度数，计算得到∠EAD的度数．
试题解析：∵∠C=40°，∠B=68°，
∴∠BAC=72°，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=68°，
∴∠DAC=4°，
∵EG是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=40°，
∴∠BAE=32°，
∴∠EAD=∠BAC-∠DAC-∠BAE=36°.
22．（1）12；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA，NA=NC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明△AEN是等边三角形，等量代换证明即可．
试题解析：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴NA=NC，
则△AEN的周长=AE+AN+EN=BE+EN+NC=BC=12；
（2）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EB=EA，NA=NC，
∴∠EAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AEN=∠EAB+∠B=60°，∠ANE=∠NAC+∠C=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴BE=EN=NC．
23．第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，理由见解析
【解析】
试题分析：根据线段的垂直平分线的性质和判定定理进行解答即可．
试题解析：第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，
∵一队战士在一条公路中点垂直射击，
∴敌军基地到这条公路与另两条公路交点的距离相等，
同理，敌军基地到第二条公路与另两条公路交点的距离相等，
∴敌军基地在第三条公路与另两条公路交点之间公路的垂直平分线上，
∴第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标．
24．（1）∠B＝35°；（2）∠CAD=10°；（3）∠CAB=54°.
【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的性质求出∠ADC=70°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，计算即可；
（2）根据直角三角形的性质求出∠B的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，计算即可；
（3）设∠CAD=x，根据题意列出方程，解方程即可．
试题解析：（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，
∴∠ADC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=35°，
答：∠B的度数是35°；
（2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，
∴∠B=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=40°，
∴∠CAD=10°；
（3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，
则x+2x+2x=90°，
解得x=18，
则∠CAB=54°．
25．（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可；
（3）根据（2）的方法解答．
【详解】
（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，
∴DC=DA，EC=EB，
∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，
∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4；
（2）∵∠ACB=100°，
∴∠A+∠B=80°，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DCE=100°-80°=20°；
（3）∵∠ACB=α，
∴∠A+∠B=180°-α，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=180°-α，
∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，
故答案为2α-180°．