2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−12024的绝对值是( )
A. 12024B. −12024C. −2024D. 2024
2.《清朝野史大观⋅清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最.”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三视图都相同
3.如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=121°，DE与地面平行，∠ABD=48°，则∠DCE=( )
A. 78°B. 73°C. 69°D. 61°
4.计算：3x2y⋅(−2xy)2的结果是( )
A. −6x3y3B. 6x3y3C. −12x4y3D. 12x4y3
5.在平面直角坐标系中，若将一次函数y=mx−2的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数y=x+m的图象不经过第象限．( )
A. −B. 二C. 三D. 四
6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC平分∠BAD，若AB=6，△ABD的周长为16，则对角线AC的长为( )
A. 4 2
B. 2 10
C. 8 2
D. 4 10
7.如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是EC的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC.若∠ADB=58°，则∠ACE的度数为( )
A. 29°
B. 31°
C. 58°
D. 32°
8.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2(m−1)x+m2−2m(m为常数)的图象经过点(−1,y1)，(0,3)，(2,y2)，且y1<3A. 3或−1B. −3或−1C. 3D. −1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：9x−xy2= ______．
10.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点(AC11.如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a=12mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要______mm．
12.如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过B，C两点.若△AOC的面积是12，则k的值为______．
13.如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别在边CD，BC上，且BF=CE，连接BE，将△BCE沿BC向右平移得到△FGH，连接DF，DH，则△DFH的面积的最小值为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算： 2× 6−|2− 3|+(3−π)0．
15.(本小题5分)
求不等式2x3−6x+16≤1的负整数解．
16.(本小题5分)
解方程：x+3x−2=1−2x+3．
17.(本小题5分)
如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以AC为对角线的四边形是平行四边形.(保留作图痕迹，不要求写作法)
18.(本小题5分)
已知：如图AB=AE，AB//DE，∠ABC=∠DAE.求证：AE=DE+CE．
19.(本小题5分)
《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”．
译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱.问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？
20.(本小题5分)
二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”.王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为______；
(2)老师选出写有“谷雨、芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次.请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
21.(本小题6分)
大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范[如图(1)].小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量紫云楼的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究，决定进行如下操作：如图(2)，首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根2米的标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE=2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆FG，接着沿BG方向后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A(点A，F，H在一条直线上)，此时，小花测得GM=0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM=1.5米.请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．
22.(本小题7分)
2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性.小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费.为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况.已知量杯中原来装有10mL水，30min内7个时间点量杯中的水量变化如表所示，其中t(min)表示时间，y(mL)表示量杯中的水量．
为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：
y=kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx−(k≠0)．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；
(2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少mL？
23.(本小题7分)
为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛.竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩(满分100分)均不低于60分.小明将自己所在班级学生的成绩(用x表示)分为四组：A组(60≤x<70)，B组(70≤x<80)，C组(80≤x<90)，D组(90≤x≤100)，绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全学生成绩的频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为______°，本班成绩的中位数落在______组；
(3)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值(如A组：60≤x<70的中间值为65)来代替，试估算小明班级的平均成绩；
(4)根据本班成绩，请估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有多少人？
24.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=60°，弦BD交AC于点E，且AE=DE．
(1)求证：△EBC是等边三角形；
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，求AB的长．
25.(本小题8分)
某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
26.(本小题10分)
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠CAB=34，AB=8，点D为AB中点，点E为BC上一动点，连接DE，将△DBE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
①连接BF，则线段DE和线段BF的位置关系是______．
②当点F落在AC边上时，求△DBE的面积．
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 3，点F在CD边上，过点F作EF//BD，交BC于点E，将△EFC沿EF折叠得到△EFG，以EG为直径作⊙O.当⊙O与△ABD的边相切时，求CF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−12024|=12024．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：DE/​/AB，
∴∠ABD=∠D=48°，
∵∠DEF是△DCE的一个外角，
∴∠DCE=∠DEF−∠D=121°−48°=73°，
故选：B．
根据题意可得：DE/​/AB，从而利用平行线的性质可得∠ABD=∠D=48°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：3x2y⋅(−2xy)2
=3x2y⋅4x2y2
=12x4y3，
故选：D．
先计算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
本题了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y=m(x−2)−2，
将(0,0)代入上式得：0=m(−2)−2，
解得：m=−1，
即一次函数的表达式为：y=−x−1，
故该函数不过第二象限，
故选：B．
由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y=m(x−2)−2，将(0,0)代入上式得：0=m(−2)−2，解得：m=−1，即可求解．
本题考查了一次函数与平移，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，
∴∠DCA=∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+AD+BD=16，
∴BD=4，
∴BO=2，
∴AO= AB2−BO2= 36−4=4 2，
∴AC=8 2，
故选：C．
先证四边形平行四边形ABCD是菱形，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵AD为⊙O的切线，
∴AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠B=90°−∠ADB=90°−58°=32°，
∵点A是EC的中点，
∴AE=AC，
∴∠ACE=∠B=32°．
故选：D．
先根据切线的性质得到∠BAD=90°，则利用互余计算出∠B=32°，然后根据圆周角定理得到∠ACE的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=x2+2(m−1)x+m2−2m(m为常数)，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=−2(m−1)2×1=1−m，
∵二次函数y=x2+2(m−1)x+m2−2m(m为常数)的图象经过点(−1,y1)，(0,3)，(2,y2)，且y1<3∴1−m<−1+02，
∴m>1.5．
故选：C．
先根据函数解析式确定出抛物线开口向上，对称轴为直线x=1−m，再根据二次函数增减性得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
9.【答案】x(3+x)(3−x)
【解析】解：9x−xy2
=x(9−x2)
=x(3+x)(3−x)．
故答案为：x(3+x)(3−x)．
首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
10.【答案】(5 5−5)
【解析】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点(AC∴BC= 5−12AB= 5−12×10=(5 5−5)cm，
故答案为：(5 5−5)．
根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11.【答案】12 3
【解析】解：如图所示，
由题意可得，AB=12mm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=120°，
作BG⊥AC于点G，
∴∠ABG=60°，∠AGB=90°，
∴AG=AB⋅sin60°=12× 32=6 3mm，
∴AC=AG=12 3mm，
故答案为：12 3．
根据正六边形的性质和锐角三角函数，可以求得AG的长，然后即可得到AC的长，从而可以得到扳手张开的开口b至少要多少mm．
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】4
【解析】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：
设点C的坐标为(a,b)，点A的坐标为(0,c)，
∴CD=a，OA=c，
∵△AOC的面积是6，
∴S△AOC=12CD⋅OA=12ac=6，
∴ac=12，
∵点C(a,b)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=ab，
∵点B为AC的中点，
∴点B(a2,b+c2)，
∵点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=a2⋅b+c2，
即：4k=a(b+c)，
∴4k=ab+ac，
将ab=k，ac=12代入上式得：k=4．
故答案为：4．
过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为(a,b)，点A的坐标为(0,c)，则CD=a，OA=c，由△AOC的面积是6得ac=12，将点C(a,b)代入反比例函数的表达式得k=ab，然后根据点B为AC的中点得点B(a2,b+c2)，将点B代入反比例函数表达式得k=a2⋅b+c2，据此即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
13.【答案】278
【解析】解：设BF=x，则CE=BF=x，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴CF=3−x，
由平移的性质可得：BF=CG=x，CE=GH=x，CE//HG，
∴S△DFH=S四边形DFGH−S△FGH
=12×3(3−x)+12x(x+3)−12×3x
=12x2−32x+92，
当x=−−322×12=32时，△DFH的最小值为：12×94−94+92=278，
∴△DFH的面积的最小值为278；
故答案为：278．
根据正方形的性质和平移的性质得出函数解析式，进而利用函数解析式的取值解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出CF解答．
14.【答案】解：原式= 12−(2− 3)+1
=2 3−2+ 3+1
=3 3−1．
【解析】根据题目逐步计算即可．
本题考查的是实数的运算和零指数幂，正确掌握实数运算的“三个关键”是解题的关键．
15.【答案】解：2x3−6x+16≤1，
去分母得：4x−(6x+1)≤6，
去括号得：4x−6x−1≤6，
移项合并得：−2x≤7，
系数化为1得：x≥−72．
【解析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．
本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答此题要熟知不等式的基本性质，能根据不等式的解集求出符合条件的负整数解，进而求出答案．
16.【答案】解：原方程去分母得：(x+3)2=(x−2)(x+3)−2(x−2)，
整理得：6x+9=−x−2，
解得：x=−117，
检验：当x=−117时，(x−2)(x+3)≠0，
故原方程组的解为x=−117．
【解析】利用去分母的方法将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：如图，以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD，
则AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
即平行四边形ABCD为所求．

【解析】以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD即可．
本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵AB//DE，
∴∠CAB=∠E，
在△ABC和△AED中，
∠CAB=∠EAB=AE∠ABC=∠DAE，
∴△DAE≌△CBA(ASA)，
∴AC=DE，
又∵AE=AC+CE，
∴AE=DE+CE．
【解析】先根据ASA证明△DAE≌△CBA，得到AC=DE，即可求证．
此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的判定方法．
19.【答案】解：设购买物品的人数是x人，
根据题意得，8x−3=7x+4，
解得x=7，
所以这件物品的价格是8x−3=8×7−3=53(元)，
答：购买物品的人数是7人，这件物品的价格是53元．
【解析】根据题干中价格相等的条件列出8x−3=7x+4，求解即可．
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键．
20.【答案】124
【解析】解：(1)由题意得，随机抽取一张卡片，抽到“立春”的概率为124．
故答案为：124．
(2)列树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有2种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为28=14．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列树状图可得出所有等可能的结果数以及三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE=2，CD=2，
∴AB=BC，
过H作HN⊥AB于N，交FG于P，
设AB=BC=x，则HN=BM=x+5.4+0.6=x+6，
AN=x−1.5，FP=0.5，PH=GM=0.6，
∵∠ANH=∠FPH=90°，∠AHN=∠FHP，
∴△ANH∽△FPH，
∴ANPF=NHPH，即x−+60.6，
∴x=39，
∴紫云楼的高AB为39米．
【解析】根据已知条件得到AB=BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB=BC=x，则HN=BM=x+5.4+0.6=x+6，AN=x−1.5，FP=0.5，PH=GM=0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由表格中数据，在坐标系内描点，连线，如图所示：

由图象可知，最符合实际情况的函数类型y=kx+b(k≠0)，
设量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y=kt+b，
把(0,10)，(5,20)代入y=kx+b得：b=105k+b=20，
解得k=2b=10，
∴量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y=2t+10；
(2)一天24小时=1440分钟，
∴当x=1440时，y=2×1440+10=2890，
∴一天量杯中的水量约为2890mL．
【解析】(1)用描点，连线的方法画出函数图象，并用待定系数法求函数解析式；
(2)把x=24小时=1440分钟代入解析式求出y的值．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
23.【答案】36 C
【解析】解：(1)由频数分布直方图可知：C组是10人，
由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，
∴班级人数为：10÷25%=40(人)，
∴B组的人数为：40×20%=8(人)，
∴补全频数分布直方图如图所示：
(2)由频数分布直方图可知：C组是4人，
∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40=10%，
∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%=36°；
本班成绩的中位数在80～90之间，即在C组，
故答案为：36；C；
(3)∵A组中间值为65分，A组有4人，B组中间值为75分，B组有8人，C组中间值为85分，C组有10人，D组中间值为95分，D组有18人，
∴班级的平均成绩为：(65×4+75×8+85×10+95×18)÷40=85.5(分)，
答：估计小明班级的平均成绩为85.5分；
(4)在抽取出的学生中，成绩不低于80分的有：10+18=28(人)，
8000×2840=5600(人)，
答：估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有5600人．
(1)先根据C组是10人，所占班级人数的20%求出班级人数为=40人，由此可求出B组的人数为8人，据此可补全频数分布直方图；
(2)由C组是4人，班级人数为40人求出A组人数占班级人数的百分比，进而可求出A组所对应的圆心角的度数；
(3)分别求出A组，B组，C组，D组的中间值，然后利用加权平均数的计算公式即可求出班级的平均成绩；
(4)利用样本估计总体思想即可求解．
此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，加权平均数的计算，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
24.【答案】(1)证明：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠DAE=ED∠AEB=∠DEC，
∴△AEB≌△DEC(ASA)，
∴EB=EC，
又∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△EBC为等边三角形；
(2)解：作BM⊥AC于点M，

∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=ED=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=52，
∴BM= BC2−CM2=5 32，
∴AM=AC−CM=112，
∴AB= AM2+BM2=7．
【解析】(1)首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；
(2)由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．
25.【答案】解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，
将(8,0)代入y=a(x−3)2+5，得：25a+5=0，
解得：a=−15，
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=−15(x−3)2+5(0(2)当y=1.8时，有−15(x−3)2+5=1.8，
解得：x1=−1，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
(3)当x=0时，y=−15(x−3)2+5=165．
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=−15x2+bx+165，
∵该函数图象过点(16,0)，
∴0=−15×162+16b+165，解得：b=3，
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=−15x2+3x+165=−15(x−152)2+28920．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．
【解析】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8,0)，求出a的值，此题得解；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变，可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=−15x2+bx+165，代入点(16,0)可求出b的值，再利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；(3)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
26.【答案】DE⊥BF
【解析】解：(1)①由题意得：△BDE≌△FDE，
∴DB=DF，EB=EF，
∴DE垂直平分BF．
∴线段DE和线段BF的位置关系是：DE⊥BF．
故答案为：DE⊥BF；
②当点F落在AC边上时，如图，
∵∠ABC=90°，tan∠CAB=34，
∴BCAB=34，
∵AB=8，
∴BC=6，
∵点D为AB中点，
∴BD=AD=12AB=4．
由(1)①知：DB=DF，
∴DF=AD=BD=12AB，
∴∠AFB=90°．
∴BF⊥AC．
∵DE⊥BF，
∴DE/​/AC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BE=12BC=3，
∴△DBE的面积=12×BD⋅BE=12×3×4=6；
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，∠BCD=90°，
∵BC=4 3，
∴tan∠DBC=CDBC=44 3= 33，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDC=60°．
①当⊙O与BD的边相切于点P时，连接CG并延长交BD于点M，设CG与EF交于点N，连接OP，PG，如图，
设FC=FG=x，
由(1)①知：EF⊥CG，
∵EF/​/BD，
∴CM⊥BD，
∴∠MCB=90°−∠DBC=60°，
∵EC=EG，
∴△EGC为等边三角形，
∴∠GEC=∠EGC=60°，
∴∠FEC=12∠GEC=30°，
∴CG=EC= 3x.
∴OG=OP= 32x.
∵⊙O与BD的边相切于点P，
∴OP⊥BD，
∴OP//CM，
∴∠OPG=∠EGC=60°，
∴△OPG为等边三角形，
∴PG=OG= 32x，
∴MG=12PG= 34x，
∴CM=MG+CG=5 34x.
∵CM= 32CD=2 3，
∴5 34x=2 3，
∴x=85．
∴FC=85；
②当⊙O与AD的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，连接PO并延长交BC于点N，如图，
由(1)①知：EF⊥CG，
∵EF/​/BD，
∴CM⊥BD，
∴∠MCB=90°−∠DBC=60°，
∵EC=EG，
∴△EGC为等边三角形，
∴∠GEC=∠EGC=60°，
∴∠FEC=12GEC=30°，
设FC=FG=x，
∴CG=EC= 3x.
∴OG=OP= 32x.
∵⊙O与AD的边相切于点P，
∴OP⊥AD，
∴AD/​/CB，
∴ON⊥EQ，
∴EN=EQ=12EQ，
∵△OEQ为等边三角形，
∴ON= 32× 32x=34x.
∴PN=OP+ON=( 32+34)x．
∵四边形PNCD为矩形，
∴PN=CD=4，
∴4=( 32+34)x，
∴x=32 3−483．
∴FC=32 3−483；
③当⊙O与AB的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，PO，过点O作NH⊥AD于点N，交BC边于点H，如图，
∵AD/​/BC，
∴NH⊥BC，
∴四边形NHCD为矩形，
∴NH=CD=4．
∵⊙O与AB的边相切于点P，
∴OP⊥AB，
∴四边形OPBH为矩形，
∴BH=OP，
由(1)①知：EF⊥CG，
∵EF/​/BD，
∴CM⊥BD，
∴∠MCB=90°−∠DBC=60°，
∵EC=EG，
∴△EGC为等边三角形，
∴∠GEC=∠EGC=60°，
∴∠FEC=12GEC=30°，
设FC=FG=x，
∴CG=EC= 3x.
∴OG=OP= 32x.
∴BH= 32x.
∵△OEQ为等边三角形，
∴GQ=OE= 32x，
∵EH=HQ=12EQ= 34x，
∴BC=EC+BH−EH=5 34x，
∴4 3=5 34x，
∴x=165．
∴FC=165．
综上，CF的长为85或32 3−483或165．
(1)①利用折叠的性质和线段垂直平分线的判定与性质解答即可；
②依题意画出图形，利用直角三角形的边角关系求得线段BC，利用直角三角形的判定定理得到∠AFB=90°，利用三角形的中位线的判定与性质求得BE，再利用三角形的面积公式解答即可；
(2)利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到∠DBC=30°，∠BDC=60°；利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：当⊙O与BD的边相切于点P时，连接CG并延长交BD于点M，设CG与EF交于点N，连接OP，PG，设FC=FG=x，利用等边三角形的判定与性质，圆的切线的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；②当⊙O与AD的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，连接PO并延长交BC于点N，利用①的方法解答即可；③当⊙O与AB的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，PO，过点O作NH⊥AD于点N，交BC边于点H，类比①的方法解答即可．
本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．时间t/min
0
5
10
15
20
25
30
量杯中的水量y/mL
10
20
30
40
50
60
70