【中考二轮】2024年中考数学【热点•重点•难点】（全国通用）重难点03 平行四边形与特殊平行四边形（8大题型 满分技巧 限时分层检测）-专题训练.zip

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中考数学中《平行四边形、矩形、菱形》部分主要考向分为五类：
一、多边形内角和（每年1道，3~4分）
二、平行四边形的性质与判定（每年1道，3~8分）
三、矩形的性质与判定（每年1~2题，3~12分）
四、菱形的性质与判定（每年1~2题，3~12分）
五、正方形的性质（每年1道，3~12分）
平行四边形和特殊平行四边形在中考数学中是占比比较大的一块考点，考察内容主要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用；考察题型上从选择到填空再都解答题都有，题型变化也比较多样；并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度较大，综合性比较强。所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合。
考向一：多边形内角和
【题型1 多边形的内角和的计算】
1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（ ）
A．30°B．150°C．360°D．1800°

2．（2023•襄阳）五边形的外角和等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°

3．（2023•重庆）如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为 ．

4．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．

考向二：平行四边形的性质与判定
【题型2 平行四边形的性质】
1．（2023•益阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（ ）
A．OA＝OBB．OA⊥OBC．OA＝OCD．∠OBA＝∠OBC

2．（2023•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为（ ）
A．6B．4C．D．

3．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4

4．（2023•福建）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE＝10，则CF的长为 ．

5．（2023•聊城）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 ．

6．（2023•哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．

【题型3 平行四边形的判定和性质的综合】
1．（2023•邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD＝BCB．∠ABD＝∠BDCC．AB＝ADD．∠A＝∠C

2．（2023•镇江）如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD．
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形．

3．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．

4．（2023•贵州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接AD，若，求AC的长．

考向三：矩形的性质与判定
【题型4 矩形的性质】
1．（2023•杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．

2．（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A．B．3C．D．

3．（2023•宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积B．△ACD的面积
C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积

4．（2023•西藏）如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，点E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH+EG的值是（ ）
A．2.4B．2.5C．3D．4

5．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 ．
6．（2023•温州）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．
【题型5 矩形的判定与性质的综合】
1．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CDB．AD＝BCC．∠A＝∠BD．∠A＝∠D
2．（2023•雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 ．

3．（2023•新疆）如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形．

4．（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．

考向四：菱形的性质与判定
【题型6 菱形的性质】
1．（2023•湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．60°C．70°D．80°

2．（2023•丽水）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A．B．1C．D．

3．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（ ）
A．（3，3）B．（3，3）C．（3，6）D．（6，3）

4．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ．

5．（2023•临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．

6．（2023•浙江）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．

7．（2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．

【题型7 菱形判定与性质的综合】
1．（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4

2．（2023•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件： ，使四边形ABCD成为菱形．

3．（2023•张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．

4．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．

考向五：正方形的性质
【题型8 正方形的性质】
1．（2023•攀枝花）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连接PC，当PE：PF＝1：2时，则PC＝（ ）
A．B．2C．D．

2．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（ ）
A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣αD．90°﹣α

3．（2023•河北）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（ ）
A．4B．8C．12D．16

4．（2023•绍兴）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

5．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 ．

6．（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．
（1）求证：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的大小．

7．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？

（建议用时：60分钟）
1．（2023•湘西州）一个七边形的内角和是（ ）
A．1080°B．900°C．720°D．540°

2．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 ．

3．（2023•长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为 度．

4．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝BDB．OA＝OCC．AC⊥BDD．∠ADC＝∠BCD

5．（2023•衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．AB∥DCC．AB＝DCD．∠A＝∠C

6．（2023•河北）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45°

7．（2023•潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）

8．（2023•襄阳）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（ ）
A．AC平分∠BADB．AB＝BC
C．AC＝BDD．AC⊥BD

9．如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5

10．（2023•丹东）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．B．C．D．

11．（2023•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（ ）
A．B．9C．15D．30

12．（2023•宜宾）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（ ）
A．3（﹣1）B．3（3﹣2）C．6（﹣1）D．6（3﹣2）

13．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（ ）
A．2B．C．1D．

14．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD＝．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个

15．（2023•凉山州）如图，▱ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶点B的坐标是 ．

16．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延长线上的一点，CD＝2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是 ．

17．（2023•陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 ．

18．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝ ．

19．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．

20．（2023•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 ．

21．（2023•湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 dm2．

22．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 cm．
（2）若，则tan∠DAH的值是 ．

23．（2023•济南）已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．

24．（2023•绵阳）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．

25．（2023•株洲）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．

26．（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．

27．（2023•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．

28．（2023•湘西州）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN．
（1）求证：∠DMN＝∠BNM；
（2）若∠BAC＝∠DAC．求证：四边形BMDN是菱形．

29．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．

30．（2023•北京）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．

31．（2023•绍兴）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．

（建议用时：80分钟）
1．（2023•肥东县模拟）如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠1＝50°，∠2＝70°，则∠3的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°

2．（2023•鹤山市校级二模）若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．十边形B．九边形C．八边形D．七边形

3．（2024•雁塔区校级二模）如图，已知平行四边形ABCD中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣2，﹣1）

4．（2023•广饶县校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，则下列结论：
①∠CAD＝30°；
②OE＝AD；
③S平行四边形ABCD＝AB•AC；
④BD＝2；
⑤S△BEP＝S△APO；
其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5

5．（2023•子洲县校级模拟）如图，点P为▱ABCD 内任意一点，连接PA、PB、PC、PD，将▱ABCD分为4个小三角形，面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列等式成立的是（ ）
A．S1+S4＝S2+S3B．S1+S3＝S2+S4
C．S1+S2＝S3+S4D．S1＝S4+S2+S3

6．（2023•娄星区二模）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．一组对边平行，另一组对边相等

7．（2024•正阳县一模）在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则OA：OB：BC的值可以是（ ）
A．1：1：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5

8．（2024•深圳模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E．已知AE＝4，EC＝6，则的值为（ ）
A．B．C．D．

9．（2023•灵宝市二模）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，已知点A（﹣3，0），B（0，﹣4），E（6，0），点P是菱形ABCD边上的一个动点，连接PE，把PE绕着点E顺时针旋转90°得到EF，连接PF．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿A→D→C→B→A方向运动，则第2023秒时，点F的坐标为（ ）
A．（﹣1，6）B．（﹣2，6）C．（2，6）D．（10，﹣6）

10．（2024•泌阳县一模）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD的周长不变
B．四边形ABCD的面积不变
C．AD＝AB
D．AB＝CD

11．（2023•河北二模）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲B．只有乙
C．甲和乙D．甲乙都不是

12．（2024•道里区模拟）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，则AE的长为（ ）
A．B．C．1D．

13．（2024•江夏区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③；④AF＝AB+CF．其中正确结论的为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．②④

14．（2024•浙江模拟）将两张全等的等腰直角三角形纸片△ABH与△CDF和一张正方形纸片EFGH按照如图所示的方式拼成一个平行四边形ABCD，同时形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道阴影部分的面积，则不能直接求出（ ）
A．△BEF的面积
B．△CDF的面积
C．平行四边形ABCD的面积
D．剩余部分的面积之和与正方形EFGH面积和

15．（2023•鹤山市校级二模）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②③

16．（2023•拱墅区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝ ．

17．（2023•镇平县二模）如图，已知▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，E、F分别是AB，BC上的动点，EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，若△APD是直角三角形，则BF的长为 ．


18．（2023•牡丹区校级一模）在平面直角坐标系中一组菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如图方式放置，已知点A1（1，0），A2（3，0），A3（5，0），…，An（2n﹣1，0），点B1（0，1），B2（0，3），B3（0，5），…，Bn（0，2n﹣1），则菱形A5C5B5C4的面积为 ．

19．（2023•雨山区一模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．
（1）∠DEF＝ ；
（2）若点E是AB的中点，则DF的长为 ．

20．（2023•费县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的有 ．（填写正确结论的序号）

21．（2024•浑南区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝，AB＝1，以AC为边作矩形ACDE（点A，C，D，E按逆时针方向排列），CD＝2，BC和ED的延长线相交于点F，点P从点B出发沿BF向点F运动，到达点F时停止．点Q在线段CD上运动，且始终满足PC＝DQ，连接EP，PQ，QE．当△EPQ 的面积为时，CP的长是 ．

22．（2024•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在CB的延长线上，当BE＝2时，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则BH＝ ．

23．（2023•头屯河区模拟）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．
其中正确结论的序号是 ．

24．（2023•会宁县模拟）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN，延长AD到点G，使DG＝NC，连接CG．
（1）求证：AB＝CM；
（2）试判断△ACG的形状，并说明理由．
（3）若，，则DN＝ ．

25．（2023•灞桥区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．求证：四边形DEFG是平行四边形．

26．（2023•烈山区一模）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）求证：四边形CDMN为菱形；
（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．

27．（2023•花溪区校级一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BE平分∠ABD，交AC于点E，DF平分∠CDB，交AC于点F，点G在BE的延长线上，且BE＝EG，连接DG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，DF＝4，AC＝6，求四边形DGEF的周长．

28．（2023•思明区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接AF，CE相交于点P，连接PD交AC于点G．
（1）求∠APC的大小；
（2）在AD上取点M，使得AM＝AE，过点A作AN⊥AB交PD于点N，求证：C，N，M三点在同一条直线上．

29．（2023•芙蓉区校级三模）如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形CODE是矩形．
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形CODE的周长．

30．（2023•石峰区三模）四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）如图1，若点F在边BC上，求证DE＝EF；
（2）以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①如图2，若AB＝4，CE＝3，求CG的长度；
②当线段DE与正方形ABCD一边的夹角是35°时，直接写出∠EFC的度数．

31．（2023•肥城市一模）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．

满分技巧
多边形内角和公式：
任意多边形的外角和为360°
正多边形的一个内角：
满分技巧
1.平行四边形的性质可以从三个方面记，
①边：对边平行且相等；②角：对角相等，邻角互补； ③对角线：对角线互相平分；
2.平行四边形的问题经常转化为全等三角形的判定与性质类问题来解决。
满分技巧
1、平行四边形的判定也可以从三个方面记，
①边：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；②角：两组对角分别相等；
③对角线：对角线互相平分；
2、平行四边形的判定和性质经常综合在一起考，即先考判定一个四边形是平行四边，然后再利用平行四边形的性质去解剩余的问题。做题时，不要太轻率，要综合考虑用到的考点。

小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可
证明BE⊥CD．
小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE．

满分技巧
1.矩形的性质可以从在平行四边形的基础上增加性质记忆，
①矩形具有平行四边形的一切性质；②增加性质：四个角都是直角、对角线相等；
2.矩形问题的转化方向有直角三角形、等腰三角形。正因此，矩形常和勾股定理结合来求长度。
满分技巧
矩形的判定也可以从两个方向记忆，
①从平行四边形入手判定，把矩形有平行四边形没有的性质加上，就可以证一个平行四边是矩形；
②从普通四边形入手判定则有：
有三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
满分技巧
1、菱形的性质可以从在平行四边形的基础上增加性质记忆，
①菱形具有平行四边形的一切性质；②增加性质：四条边都相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角；
2、菱形问题的转化方向有直角三角形、等腰三角形。也常和勾股定理结合来求长度。
3、菱形面积的特殊计算方法：对角线相乘除以2
满分技巧
类比矩形，菱形的判定也是从两个方向来记。
满分技巧
1、正方向具有矩形和菱形的一切性质；
2、正方形问题的转化方向只有一个——等腰直角三角形；