【导数大题】题型刷题突破 第42讲 三角函数之放缩法

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2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第42讲 三角函数之放缩法
1．已知函数.
(1)设且，求函数的最小值；
(2)当，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过求导来判断函数的单调性进而求出最值；
（2）构造新函数，转化为证明新函数的最小值大于等于0即可.
(1)
，又，
又，，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
的最小值为；
(2)
不等式等价于，
令，
令，，
又，，，所以函数在上单调递增，又，，，
所以函数在区间上单调递增，又，
，所以原不等式成立.
2．已知，，．
（1）若，证明：；
（2）对任意都有，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论.
（2）先判断整数可知，接着证明
在区间上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设，，则．
因为，且
则在，单调递减，，
所以存在唯一零点，使得
则在时单调递增，在上单调递减
又，
所以在上恒成立上，所以在单调递增
则，即，所以．
（2）因为对任意的，
即恒成立
令，则
由（1）知，所以
由于为整数，则
因此
下面证明，在区间上恒成立即可.
由（1）知，则
故
设，，则，
所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.
综上所述, 的最大值为2．
3．已知函数，其中为实数，为自然对数的底数．是的导数．
（1）试讨论的极值点；
（2）①若，证明：当时，恒成立；
②当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ① 证明见解析；②，．
【解析】
【分析】
（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的极值点.
（2）①构造函数，利用导数证得，由此证得.
②构造函数，结合对进行分类讨论，利用导数研究的单调性、最值.由此求得的取值范围.
【详解】（1），则，
当时，，单调递增，无极值点，
当时，令，则，
令，则，单调递增，
令，则，单调递减，
的极小值点为，无极大值点，
综上：当时，无极值点，
当时，的极小值点为，无极大值点．
（2）①证明：当时，设，
，
则，故在，上单调递增，
故当时，，故在，上单调递增，
故当时，，
故当时，恒成立．
②设，
则，且，
则，且，
，，
，则在，上单调递增，
当时，，由于在，上单调递增，
则当时，，则在，上单调递增，
故，则在，上单调递增，
故，符合题意，
当时，，
利用（1）中已证结论可得
由于在，上单调递增，，
故必然存在，使得时，，则在上单调递减，
故当时，，
则在上单调递减，
则当时，，
综上，的取值范围为，．
【点睛】
利用导数证明不等式，可利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、最值，由此来证得不等式成立.
4．已知函数，其中为的导数．
（1）若为定义域内的单调递减函数，求a的取值范围；
（2）当时，记，求证：当时，恒成立．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出，要使为定义域内的单调减函数，需满足，即，令，求的最大值可得答案；
（2）当时，转化为，当时，，而可得答案；当时，令，
利用导数判断出在上单调递增可得答案．
【详解】
（1）因为，所以，
要使为定义域内的单调减函数，需满足，即，
令，，由且函数在上单调递减，又，
所以在上单调递增，在上单调递减，
知的最大值为，
所以当时，在定义域内单调减函数．
综上，a的取值范围是．
（2）当时，，，
要，即证，
当时，，而，
所以成立，
当时，令，
则，
记，
则，
所以当时，单调递增，
，即，
所以在上单调递增，所以，
即有成立．
综上，对任意，恒有成立．
5．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求实数的值；
（2）证明：．
【答案】（1）1；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1），令，，则等价于，对任意恒成立，令，可知当时不恒成立；当时，利用导数求其最大值，由最大值等于0求得值；
（2）由（1）知，当时，，即，可得，把问题转化为证明，即证：，构造函数，再由导数证明即可．
【详解】
（1）解：，令，．
则等价于，对任意恒成立，令，
当时，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，在上递减，在上递增，
的最小值为．
令，则，知在上递增，在上递减，
，要使，当且仅当．
综上，实数的值为1；
（2）证明：由（1）知，当时，，即，
，
下面证明，即证：．
令，．
当时，显然单调递增，，
在，上单调递减，，
当时，显然，即．
故对一切，都有，即．
故原不等式成立．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．6．已知.
（1）当有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）化简，根据题意得有一个非零实根，设，利用导数求得函数的单调性和极值，结合函数的值的变化趋势，即可求解；
（2）化简，根据题意转化为，令，得到新函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
因为有两个零点，又因为时，解得，
所以当有一个非零实根，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，时，；时，，
所以或，即实数a的取值范围是.
（2）由题意，可得，
要证，即证，
令，令，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即.
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
7．已知函数.
（1）判断函数在上的单调性；
（2）若，求证：当时，.
【答案】（1）单调递减；（2）证明见解析
【解析】
（1）求导得到，令，证明在上恒成立，得到答案.
（2）先证明当时，，再证明当时，，得到答案.
【详解】
（1），
令，则，
故当时，，当时，，
故，故在上恒成立，故，
即函数在上单调递减.
（2）依题意，.
下面证明：①当时，；②当时，；
，则，所以在上单调递增，
，则，又，则，
令，则，
由，得的极小值点为，若，则，
则，故，
若，即，则在上单调递减，故.
综上所述，当时，，
则，即.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想.
8．已知函数（）（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）若，证明对于任意的恒成立.
【答案】（1）增函数；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，令，再求导，求得的最小值可证；
（2）先证对任意，，然后利用不等式的性质证明时，不等式成立.
【详解】
解：（1）当时，，，
设，则，令，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即对任意恒成立，
所以函数为增函数；
（2）先证对任意，.
令，，.
令，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，所以在上单调递增，所以，所以，，
当时，，
即对于任意的恒成立.
9．（1）当时，求证：；
（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【解析】
（1）构造函数，转化为函数的最值问题求解；
（2）设，则，分，讨论，通过研究的最小值求解；
（3）求得，令得到，通正切函数的性质可得函数单调性，进而可得极值点．将证明转化为证明，令，则，即证，即证，构造函数利用导数求其最值即可．
【详解】
（1）证明：设，则，
从而在为增函数．所以，
故当时，成立；
（2）解：设，则，
考虑到当时，，
（ⅰ）当时，，则在上为增函数，
从而，此时适合题意．
（ⅱ）当时，，则当时，，从而在上是减函数，
所以当时，，这与“当时，恒成立”矛盾．故此时不适合题意．由（ⅰ）（ⅱ）得所求实数的取值范围为．
（3）证明：，
令，得，当时，可化为，
由正切函数的性质及，得在内必存在唯一的实数，使得，
所以当时，，则在上为增函数：
当时，，则在上为减函数，
所以是的极大值点．且的极大值为．
下面证明：．
当时，由（1）知，由（2）易证．
所以，从而．
下面证明：．令，则，
即证，即证．
令，则，
从而在上为增函数，
所以当，，即．
故成立．
【点睛】
利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
10．已知x为正实数
（1）比较与的大小；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证:．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）作差构造函数，证明即可；
（2）作差可得，对分两种情况讨论，即可得答案；
（3）利用（1）（2）的结论，结合两个常用的不等式，即可得证；
【详解】
（1）令
，在恒成立，
在单调递增，且，
在恒成立，
在单调递增，且，
在恒成立，
.
（2）令，在恒成立，
，，
当，即时，，
在单调递增，
在恒成立，且，
在单调递增，且，
在恒成立，.
当时，即，
，，
在单调递减，且，在恒成立，
在单调递减，且，
在恒成立，这与已知矛盾，
舍去.
综上所述：.
（3）由（1）（2）可得：当时，，
，
只要证，
令，，
，
递增，在递减，且
恒成立，，
令，，
，
在递增，在递减，且，
，，
，，
，
.
【点睛】
本题考查构造函数利用导数证明不等式和比较大小、利用不等式的恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．已知函数，（且，e是自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由，求导得到，再分和讨论求解.
（2）由时，根据，得到．然后令，求导，分和讨论求解.
【详解】
（1）易知
①若，则当时，，当时，，
②若，则当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，
即，所以．
令
，
则，
，
若，则当时，，
所以在上单调递增；
当时，
，
所以当时，单调递增，所以．
若，则，
，
由得，
所以，
所以，使得，
且当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，不合题意．
综上，a的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立以及零点存在定理，还考查了分类讨论思想，运算求解的能力，属于难题.
12．（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
试题分析：（Ⅰ）记，可证在上是减函数，得，记，可在上是减函数，，故可得结论；（Ⅱ）反证法，先证当时，不等式对不恒成立，即存在，即可.【详解】
试题解析：（Ⅰ）记，则.
当时，F′(x)＞0，F(x)在上是增函数；
当时，F′(x)＜0，F(x)在上是减函数．∵F(0)＝0，F(1)＞0，∴当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即.
记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝csx－1＜0，
∴H(x)在[0，1]上是减函数，∴H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x．
综上，．
（Ⅱ）∵当x∈[0，1]时
.
∴当a≤－2时，不等式对x∈[0，1]恒成立．
下面证明：当a＞－2时，不等式对x∈[0，1]不恒成立．
.
∴存在x0∈(0，1)（例如x0取和中的较小者）满足
， 即当a＞－2时，
不等式对x∈[0，1]不恒成立．
综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．
考点：1、利用导数研究函数的单调性及最值；2、利用导数证明不等式及不等式恒成立问题．
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的单调性积最值以、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④直接讨论参数.本题是利用方法④求得的取值范围的.
13．（I）证明当
（II）若不等式取值范围.
【答案】（I）见解析（II）
【解析】
【详解】
（I）令，
即为增函数，即为减函数，
故，为减函数，
（II）
下面证明，
综上
直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决．两种解法各有特点．第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答．
【考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用．
14．已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求导，令导数为0，得，分析导数在定义域内的增减性知时，函数有极小值，再分类讨论极值点处的正负，结合零点存在定理判断即可；
（2）结合（1）知当时， ，要证，
需证，即证，再分段在时和时，结合导数分类讨论即可证明
【详解】
（1）解：因为，所以.
令，得；令，得.所以在上为减函数，在上为增函数，.
当时，，有且只有一个零点；
当时，，没有零点；
当时，，，所以在上有唯一的零点，又，所以在上有唯一的零点.
综上所述，当时，有且只有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点.
（2）证明：由（1）知，当时，，即.要证，需证，
需证，即证.
设.
当时，.
当时，，令，则.
再令，则，
所以在上为增函数，，
所以在上为增函数，，
所以在上为增函数，.
故成立.
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数的零点个数，证明函数不等式恒成立问题，属于难题，讨论零点个数，常用以下基本步骤：
①利用导数判断函数的增减区间；
②求出函数极值点；
③判断（讨论）函数极值与零点个数关系.
对于函数不对等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化.
15．已知函数，.
(1)若，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)对函数f(x)求导，按导函数值恒正、恒负、可正可负三类讨论，求解得a的范围；(2)利用分析法把要证不等式等价转化为，再构造函数，利用函数单调性推理得证.
【详解】
(1)，
当时，，函数在单调递增，故，满足题意；
时，，函数在单调递减，故，不满足题意；
时，令，在上存在，使得成立，
故时，，在单调递减，则，不满足题意，
综上：的取值范围是；
(2)时，，
要证，即证，即证，
设，
则，
，
由(1)得，而，
即，在单调递增，，
所以，时，.
【点睛】
(1)由不等式成立，求参数范围，可以分离参数，转化为恒成立问题；也可以求导，再对参数分类讨论处理.
(2)证明函数不等式，通过等价转化，构造新函数，利用函数的性质解决.