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2023高考数学专题： 素养提升之三角函数与解三角形选填专项冲刺（重难点题型突破）
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这是一份2023高考数学专题： 素养提升之三角函数与解三角形选填专项冲刺（重难点题型突破），文件包含第4讲素养提升之三角函数与解三角形选填专项冲刺原卷版docx、第4讲素养提升之三角函数与解三角形选填专项冲刺解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
第一部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
突破二：弧长与面积
突破三：三角函数中参数ω专题常考小题
角度1：的取值范围与单调性相结合
角度2：的取值范围与对称性相结合
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
突破四：三角函数的实际应用
突破五：利用正余弦解决三角形问题
突破六：解三角形的实际应用
第二部分：冲刺重难点特训
突破一：三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
1．（2022·安徽·高三阶段练习）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由角是第一象限角，有，可得，可知为第一或第三象限角，又由，可得为第三象限角.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边过点，则可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可知角为第四象限角，则A、B错误
过作轴，垂足为，则
∴
结合象限角的概念可得：可以为
故选：C．
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角，角，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，即点在第三象限，
且，且，
所以.
故选：D
4．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为为其终边上的一点，且，
所以，解得，
因为是第二象限角，所以，
故选：C
5．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，
所以．
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则___________.
【答案】
【详解】由得，，即，
所以.
因为，所以，
则，
所以，
因此.
联立解得，
所以.
故答案为：
7．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）若， 且， 则_______．
【答案】##-0.2
【详解】由得，故，
所以，解得，或.
因为，所以，
所以
.
故答案为：
8．（2022·北京·东直门中学高三期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则____________．
【答案】
【详解】由余弦值的定义得，则.
故答案为：.
9．（2022·江苏·楚州中学高三开学考试）已知，求_________.
【答案】
【详解】，
.
故答案为：.
突破二：弧长与面积
1．（2022·江苏常州·高三期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当时，，则的值约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，则，
，，
∴，
故选：D
2．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】A
【详解】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点
圆心角为，则
所以弦
又弧长
所以弦长与弧长之比为
故选：C
4．（2022·上海市延安中学高三期中）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）
【答案】##
【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径，
此扇形的面积.
故答案为：
5．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为_________.
【答案】25
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为25，
所以扇形面积的最大值为25.
故答案为：25.
突破三：三角函数中参数ω专题常考小题
角度1：的取值范围与单调性相结合
1．（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）已知函数在区间上单调，且当时，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【详解】.
因为，
所以，则，从而.
因为，所以.
因为在区间上单调，所以，.
解得.
因为，所以.
因为，所以或，所以或.
因为，，所以.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得：，当时，，
在上单调递增，，又，解得：，
的最大值为.
故选：B.
3．（2022·河南河南·三模（理））已知函数（，），将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】依题意，为奇函数，
所以，
由于，所以.
，
，
由于在上单调递增，
所以，所以的最大值为.
故选：C
4．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】解：因为函数在上单调递减，
所以，解得，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以，函数在上单调递减，则有，解得，
所以的取值范围是，即的最大值为.
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为______．
【答案】
【详解】对应的增区间应满足
，解得，当
时， ，要使在上是增函数，则应满足，，解得，则的最大值是1
故答案为：1
角度2：的取值范围与对称性相结合
1．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）．
A．2B．C．5D．8
【答案】C
【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，
所以有，解得，
由，当时，有最小值5.
故选：C
2．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知.
将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到.若图像关于对称，
则，所以.
故，又因为，所以.
故选：B
3．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，化简得，函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，根据所得图象关于轴对称，可得，，，
则的一个可能取值为，
故选：B.
4．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
解得．
故选：C.
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，得，，
，
因为存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，
故选：C．
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【详解】∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意的实数a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，则整数的最小值是______.
【答案】4
【详解】由题意可得
，
则的最小正周期.
因为对任意的实数a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，
所以，解得.
因为，所以整数的最小值是4.
故答案为：.
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
1．（2022·河南·一模（理））把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数的图象与直线在上至少有3个交点，则正数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到，
再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
∵，，则，
若函数的图象与直线在上至少有3个交点，则，解得，
故正数的取值范围是.
故选：D.
2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由正切型函数的性质可知，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：B.
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】因为经过点，
所以，因为，所以，
即，令，
因为，所以，
因为在上只有一个零点，
所以有，所以的最大值为，
故选：C
4．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
5．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．[，）B．[，）C．[，）D．[，）
【答案】D
【详解】因为，当时，，
因为函数在上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知，解得.
故选：D．
6．（2022·四川·遂宁绿然学校高三开学考试（理））已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵，则，
由题意可得：，则，
故的取值范围为.
故答案为：.
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
1．（2022·四川绵阳·一模（理））若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当，，
由于（）在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，
故选：C
2．（2022·江苏扬州·高三阶段练习）定义在[0，π]上的函数(ω> 0)存在极值点，且值域，则ω的范围是（ ）
A．[,2]B．C．D．[]
【答案】B
【详解】定义在[0,π]上的函数,
,
因为函数存在极值点，所以，即.
又因为值域，所以，
即有：,
综上：.
故选：B
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
突破四：三角函数的实际应用
1．（2022·江苏南通·高三期中）如图，由于建筑物AB的底部B是不可能到达的，A为建筑物的最高点，需要测量AB，先采取如下方法，选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在一条直线上在G，H两点用测角仪测得A的仰角为，，，测角仪器的高度是h，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，可得，，，，，，，
故选：C.
2．（2022·江西·高三开学考试（理））天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，,故 ，解得，
故选：A．
3．（2022·四川绵阳·一模（理））某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．
【答案】10.5
【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，
建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，
根据三角函数的定义有，
地面与坐标系交线方程为 ，
则第10分钟时他距离地面的高度大约为米.
故答案为：
4．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为_______.
【答案】
【详解】解：因为过点，
所以，
则，即，
所以，即，
因为葫芦曲线上一点到轴的距离为，
所以，
所以，
，
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
且如图所示的函数模型为.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据：)
【答案】6
【详解】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
所以有，解得，解得.
因为，所以n的最小值为6.
故答案为：6
突破五：利用正余弦解决三角形问题
1．（2022·山东菏泽·高三期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆面积与面积之比的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由可得：，
所以，
因为，所以，所以，
所以或，则或（舍去），
设外接圆半径为，
则外接圆面积为：，
面积为
所以，
而
，
因为，所以，
，
当时，即时，
.
故选：B.
2．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【详解】如图所示：设.
由题意可得，，化简可得，由是三角形的外心可得，是三边中垂线交点，
则，代入上式得，，即
依据题意，为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入得，则
结合不等式可得，的最大值为3
故选：D
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，c＝2b－2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由a＝4，c＝2b－2得，．
由余弦定理知，.
令b－1＝m，则，b＝m＋1，
所以，（当且仅当，即，，时取等号）．
故选：C．
4．（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，故三角形外接圆直径为，
所以，所以，，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
所以
故的取值范围为，
故选：A.
5．（2022·湖北·高三期中）在中，角 ，，，所对的边分别为，，，，点为上一点且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，设 ，由于，则 ， ，
因为，故,
在中，由正弦定理得,
即；
在中，由正弦定理得,
即；
故
，
因为，所以，则，
故当，即时，取到最小值，
即的最小值为，
故选：B.
6．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））钝角的内角的对边分别是，已知，且，则的周长为（ ）
A．9B．C．6D．或9
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，根据正弦定理边化角得，
因为，
所以，即
所以，当为钝角时，，即，解得，，周长为；
当为钝角时，，即，解得，，此时与为钝角时矛盾，故不成立；
综上，的周长为.
故选：A
7．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）在中，点D在边BC上，且，，记中点分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
在中，，
因为，所以，
所以，可整理得
即，
所以整理得，
因为，中点分别为，
所以
，
所以在中，，
因为，且即，
所以，
所以，
故选：A
8．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故选：A.
9．（2022·辽宁·沈阳二中高三期中）在中，为的中点，若，，，则______．
【答案】
【详解】由得
在中，利用正弦定理得,
在中利用余弦定理得
故答案为：.
10．（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由
∴
得
，
所以，
因为所以，所以，
而，所以．
又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
的面积取值范围为．
故答案为：.
突破六：解三角形的实际应用
1．（2022·全国·模拟预测（文））某学习小组的学习实践活动是测量图示塔的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得，，且基点，间的距离为，同时在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设则.
由题得.
.
在△中，由正弦定理得.
所以塔高m.
故选：A
2．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．海里B．海里C．海里D．40海里
【答案】A
【详解】由题意可知，
所以，
在中，由正弦定理得，得，
在中，因为，
所以，
在中，由余弦定理得
，
故选：A
3．（2022·河南郑州·三模（理））位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（ ）（其中，）
A．9.27米B．9.33米C．9.45米D．9.51米
【答案】C
【详解】解：如图，，
设表高，则由题知，，
所以，
因为，，，
所以，解得，
所以，表高（即的长）约为米.
故选：C
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
5．（2022·全国·模拟预测（理））如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
则，
在中，，
在中，因为，
所以，
所以，
又，
所以（米）.
故选：C.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是_________（千米）.
【答案】2
【详解】在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是2.
故答案为：2
7．（2022·全国·高三专题练习）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1=7 km，∠B1A1C=120°．则CA1的长为________km．（参考数据：）
【答案】10
【详解】解：如图：
设，过点作的垂线，垂足为，
由题意得，，，则，
平面，平面，
，
又，平面，
，，
因为，
所以，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，
，
平面，平面，，
，
在△中，，
由余弦定理得，
化简得，
或（舍去）．
的长为．
故答案为：10.
8．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造
【答案】
【详解】在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
设，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，
又因为，
所以
所以，
即观光线路长的最大值为，
该景区预算需投入元万元．
故答案为：265.
9．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度为_______米． (参考值：)
【答案】29.4
【详解】设旗杆高为米，最后一排为点，第一排为点，旗杆顶端为点，则，在中，,, ,即，
由正弦定理可得，
所以 ，解得：
故答案为：29.4
10．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注：）
【答案】
【详解】由题可得，，在中，由余弦定理可得 ，代入得，即，因为，故，故
故答案为：
第二部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
所以，解得：.
故选：C
2．（2022·广西北海·一模（理））已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：D．
3．（2022·广西北海·一模（理））如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为的等腰三角形．如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为，则圆的面积为，
所以，四个三角形的面积为，
因为，在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为
所以，，解得，
因为，所以．
故选：A
4．（2022·河南河南·一模（文））把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变， 得到函数的图象. 若函数在上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到，
再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
∵，，则，
令则，，
若函数的图象在上恰有3个交点，则.
故正数的取值范围是.
故选：B.
5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，若点A到直线BC的距离为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为点A到直线BC的距离为，所以的面积，又，所以，故，又，所以；由及正弦定理可得，故，故．
故选：A．
6．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】，化简得．
由正弦定理、余弦定理，得，化简得，
由，展开整理得，
则，即，
所以，
故选：B．
7．（2022·广西南宁·三模（理））函数，则的图象在内的零点之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，
由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测（理））如图所示，在△ABC中，，，记△ABC外接圆的面积为，取△ABC三边的中点分别为D，E，F，记△DEF外接圆的面积为，再取△DEF三边的中点分别为P，Q，R，记△PQR外接圆的面积为，依次类推，若△ABC的内切圆半径为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
如图连接，
因为，为的中点，
所以平分，，的内切圆圆心在上，设为，
因为，所以，
因为△ABC的内切圆半径为，
所以，
所以，
设△ABC的外接圆半径为，则由正弦定理得
，，解得，
所以
因为分别为的中点，
所以∥，，
所以△DEF外接圆的半径为1，
所以，
同理可得△PQR外接圆的半径为，则，
，，
故选：D
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
C．若在上有且仅有4个零点，则
D．若，且在区间上有最小值无最大值，则
【答案】BC
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，当时，，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向左平移个单位后得函数，
依题意，，解得：，因此的最小值为2，B正确；
对于C，当时，，因在上有且仅有4个零点，
则，解得：，C正确；
对于D，因，且在区间上有最小值无最大值，则直线是图象的对称轴，
且在处取得最小值，，因此，，且，
即，且，所以或，D不正确.
故选：BC
10．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】AD
【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；
因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；
因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，
所以，D正确.
故选：AD
三、填空题
11．（2022·辽宁·鞍山一中二模）若，且，则______．
【答案】
【详解】解：因为，且，
所以，
所以
故答案为：
12．（2022·河南濮阳·模拟预测（理））已知a,b,c分别为的三个内角A,B,C的对边,且,则的最小值为______．
【答案】
【详解】由正弦定理得
所以,所以.
因为所以,所以.
所以.
所以的最小值为
故答案为：
13．（2022·上海普陀·二模）若，则等式成立的一个的值可以是________.
【答案】##
【详解】可得，
即，所以（舍去）
或，解得，，
当时，，
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD面积的最大值为______．
【答案】
【详解】在中，，；；
在中，，
化简得：，即：，
；
四边形的面积最大为：；
故答案为：.驾驶行为类别
阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
第一部分：重难点题型突破
突破一：三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
突破二：弧长与面积
突破三：三角函数中参数ω专题常考小题
角度1：的取值范围与单调性相结合
角度2：的取值范围与对称性相结合
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
突破四：三角函数的实际应用
突破五：利用正余弦解决三角形问题
突破六：解三角形的实际应用
第二部分：冲刺重难点特训
突破一：三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系
1．（2022·安徽·高三阶段练习）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】由角是第一象限角，有，可得，可知为第一或第三象限角，又由，可得为第三象限角.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知角的终边过点，则可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可知角为第四象限角，则A、B错误
过作轴，垂足为，则
∴
结合象限角的概念可得：可以为
故选：C．
3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角，角，终边上有一点，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，即点在第三象限，
且，且，
所以.
故选：D
4．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为为其终边上的一点，且，
所以，解得，
因为是第二象限角，所以，
故选：C
5．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，
所以．
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则___________.
【答案】
【详解】由得，，即，
所以.
因为，所以，
则，
所以，
因此.
联立解得，
所以.
故答案为：
7．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）若， 且， 则_______．
【答案】##-0.2
【详解】由得，故，
所以，解得，或.
因为，所以，
所以
.
故答案为：
8．（2022·北京·东直门中学高三期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则____________．
【答案】
【详解】由余弦值的定义得，则.
故答案为：.
9．（2022·江苏·楚州中学高三开学考试）已知，求_________.
【答案】
【详解】，
.
故答案为：.
突破二：弧长与面积
1．（2022·江苏常州·高三期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当时，，则的值约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，则，
，，
∴，
故选：D
2．（2022·河北沧州·高三阶段练习）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则母线长为（ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】A
【详解】如图，弧长为，弧长为，因为圆心角为，，，则母线.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点
圆心角为，则
所以弦
又弧长
所以弦长与弧长之比为
故选：C
4．（2022·上海市延安中学高三期中）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为_________.（结果保留π）
【答案】##
【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径，
此扇形的面积.
故答案为：
5．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为_________.
【答案】25
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的面积为：
，
当时，取得最大值，最大值为25，
所以扇形面积的最大值为25.
故答案为：25.
突破三：三角函数中参数ω专题常考小题
角度1：的取值范围与单调性相结合
1．（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）已知函数在区间上单调，且当时，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【详解】.
因为，
所以，则，从而.
因为，所以.
因为在区间上单调，所以，.
解得.
因为，所以.
因为，所以或，所以或.
因为，，所以.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意得：，当时，，
在上单调递增，，又，解得：，
的最大值为.
故选：B.
3．（2022·河南河南·三模（理））已知函数（，），将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，若是奇函数，在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】依题意，为奇函数，
所以，
由于，所以.
，
，
由于在上单调递增，
所以，所以的最大值为.
故选：C
4．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））若函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】解：因为函数在上单调递减，
所以，解得，
因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以，函数在上单调递减，则有，解得，
所以的取值范围是，即的最大值为.
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为______．
【答案】
【详解】对应的增区间应满足
，解得，当
时， ，要使在上是增函数，则应满足，，解得，则的最大值是1
故答案为：1
角度2：的取值范围与对称性相结合
1．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）．
A．2B．C．5D．8
【答案】C
【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，
所以有，解得，
由，当时，有最小值5.
故选：C
2．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知函数，将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若图像关于对称，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知.
将的图像先向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度.
得到.若图像关于对称，
则，所以.
故，又因为，所以.
故选：B
3．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，化简得，函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，根据所得图象关于轴对称，可得，，，
则的一个可能取值为，
故选：B.
4．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数在内恰有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
解得．
故选：C.
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，得，，
，
因为存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，
故选：C．
角度3：的取值范围与三角函数的最值相结合
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【详解】∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意的实数a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，则整数的最小值是______.
【答案】4
【详解】由题意可得
，
则的最小正周期.
因为对任意的实数a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，
所以，解得.
因为，所以整数的最小值是4.
故答案为：.
角度4：的取值范围与三角函数的零点相结合
1．（2022·河南·一模（理））把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数的图象与直线在上至少有3个交点，则正数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到，
再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
∵，，则，
若函数的图象与直线在上至少有3个交点，则，解得，
故正数的取值范围是.
故选：D.
2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由正切型函数的性质可知，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：B.
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】因为经过点，
所以，因为，所以，
即，令，
因为，所以，
因为在上只有一个零点，
所以有，所以的最大值为，
故选：C
4．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
5．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．[，）B．[，）C．[，）D．[，）
【答案】D
【详解】因为，当时，，
因为函数在上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知，解得.
故选：D．
6．（2022·四川·遂宁绿然学校高三开学考试（理））已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】∵，则，
由题意可得：，则，
故的取值范围为.
故答案为：.
角度5：的取值范围与三角函数的极值相结合
1．（2022·四川绵阳·一模（理））若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当，，
由于（）在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，
故选：C
2．（2022·江苏扬州·高三阶段练习）定义在[0，π]上的函数(ω> 0)存在极值点，且值域，则ω的范围是（ ）
A．[,2]B．C．D．[]
【答案】B
【详解】定义在[0,π]上的函数,
,
因为函数存在极值点，所以，即.
又因为值域，所以，
即有：,
综上：.
故选：B
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
突破四：三角函数的实际应用
1．（2022·江苏南通·高三期中）如图，由于建筑物AB的底部B是不可能到达的，A为建筑物的最高点，需要测量AB，先采取如下方法，选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在一条直线上在G，H两点用测角仪测得A的仰角为，，，测角仪器的高度是h，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，可得，，，，，，，
故选：C.
2．（2022·江西·高三开学考试（理））天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展．10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作．比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形ABCD测得一座山的高（如图①），再于山顶T处悬一直径为SP且可以转动的圆环（如图②），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得．由此可以算得地球的半径（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，,故 ，解得，
故选：A．
3．（2022·四川绵阳·一模（理））某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．
【答案】10.5
【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，
建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，
根据三角函数的定义有，
地面与坐标系交线方程为 ，
则第10分钟时他距离地面的高度大约为米.
故答案为：
4．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为_______.
【答案】
【详解】解：因为过点，
所以，
则，即，
所以，即，
因为葫芦曲线上一点到轴的距离为，
所以，
所以，
，
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见下表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图"见图.
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
且如图所示的函数模型为.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则n的值为___________.(参考数据：)
【答案】6
【详解】由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
所以有，解得，解得.
因为，所以n的最小值为6.
故答案为：6
突破五：利用正余弦解决三角形问题
1．（2022·山东菏泽·高三期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆面积与面积之比的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由可得：，
所以，
因为，所以，所以，
所以或，则或（舍去），
设外接圆半径为，
则外接圆面积为：，
面积为
所以，
而
，
因为，所以，
，
当时，即时，
.
故选：B.
2．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【详解】如图所示：设.
由题意可得，，化简可得，由是三角形的外心可得，是三边中垂线交点，
则，代入上式得，，即
依据题意，为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入得，则
结合不等式可得，的最大值为3
故选：D
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝4，c＝2b－2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由a＝4，c＝2b－2得，．
由余弦定理知，.
令b－1＝m，则，b＝m＋1，
所以，（当且仅当，即，，时取等号）．
故选：C．
4．（2022·贵州遵义·高三期中（理））已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，故三角形外接圆直径为，
所以，所以，，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
所以
故的取值范围为，
故选：A.
5．（2022·湖北·高三期中）在中，角 ，，，所对的边分别为，，，，点为上一点且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，设 ，由于，则 ， ，
因为，故,
在中，由正弦定理得,
即；
在中，由正弦定理得,
即；
故
，
因为，所以，则，
故当，即时，取到最小值，
即的最小值为，
故选：B.
6．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））钝角的内角的对边分别是，已知，且，则的周长为（ ）
A．9B．C．6D．或9
【答案】A
【详解】解：因为，
所以，根据正弦定理边化角得，
因为，
所以，即
所以，当为钝角时，，即，解得，，周长为；
当为钝角时，，即，解得，，此时与为钝角时矛盾，故不成立；
综上，的周长为.
故选：A
7．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）在中，点D在边BC上，且，，记中点分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
在中，，
因为，所以，
所以，可整理得
即，
所以整理得，
因为，中点分别为，
所以
，
所以在中，，
因为，且即，
所以，
所以，
故选：A
8．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
在中，；
在中，；
，，又，
，
整理可得：，即，
，；
在中，，
，解得：（舍）或，
.
故选：A.
9．（2022·辽宁·沈阳二中高三期中）在中，为的中点，若，，，则______．
【答案】
【详解】由得
在中，利用正弦定理得,
在中利用余弦定理得
故答案为：.
10．（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由
∴
得
，
所以，
因为所以，所以，
而，所以．
又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
的面积取值范围为．
故答案为：.
突破六：解三角形的实际应用
1．（2022·全国·模拟预测（文））某学习小组的学习实践活动是测量图示塔的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，测得，，且基点，间的距离为，同时在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设则.
由题得.
.
在△中，由正弦定理得.
所以塔高m.
故选：A
2．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．海里B．海里C．海里D．40海里
【答案】A
【详解】由题意可知，
所以，
在中，由正弦定理得，得，
在中，因为，
所以，
在中，由余弦定理得
，
故选：A
3．（2022·河南郑州·三模（理））位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为14米，则表高（即的长）约为（ ）（其中，）
A．9.27米B．9.33米C．9.45米D．9.51米
【答案】C
【详解】解：如图，，
设表高，则由题知，，
所以，
因为，，，
所以，解得，
所以，表高（即的长）约为米.
故选：C
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，
所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，
有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，
令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.
故选：B.
5．（2022·全国·模拟预测（理））如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11B．20.8C．25.4D．31.8
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
则，
在中，，
在中，因为，
所以，
所以，
又，
所以（米）.
故选：C.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是_________（千米）.
【答案】2
【详解】在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是2.
故答案为：2
7．（2022·全国·高三专题练习）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1=7 km，∠B1A1C=120°．则CA1的长为________km．（参考数据：）
【答案】10
【详解】解：如图：
设，过点作的垂线，垂足为，
由题意得，，，则，
平面，平面，
，
又，平面，
，，
因为，
所以，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，
，
平面，平面，，
，
在△中，，
由余弦定理得，
化简得，
或（舍去）．
的长为．
故答案为：10.
8．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造
【答案】
【详解】在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
设，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，
又因为，
所以
所以，
即观光线路长的最大值为，
该景区预算需投入元万元．
故答案为：265.
9．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（文））国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度为_______米． (参考值：)
【答案】29.4
【详解】设旗杆高为米，最后一排为点，第一排为点，旗杆顶端为点，则，在中，,, ,即，
由正弦定理可得，
所以 ，解得：
故答案为：29.4
10．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））《九章算术》是中国古代第一部数学专著．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为______．（注：）
【答案】
【详解】由题可得，，在中，由余弦定理可得 ，代入得，即，因为，故，故
故答案为：
第二部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
所以，解得：.
故选：C
2．（2022·广西北海·一模（理））已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：D．
3．（2022·广西北海·一模（理））如图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为的等腰三角形．如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：设圆的半径为，则圆的面积为，
所以，四个三角形的面积为，
因为，在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为
所以，，解得，
因为，所以．
故选：A
4．（2022·河南河南·一模（文））把函数的图象向左平移个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍， 纵坐标不变， 得到函数的图象. 若函数在上恰有 3 个零点， 则正数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到，
再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
∵，，则，
令则，，
若函数的图象在上恰有3个交点，则.
故正数的取值范围是.
故选：B.
5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知中，内角A，B，C的对边分別为a，b，c，若点A到直线BC的距离为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为点A到直线BC的距离为，所以的面积，又，所以，故，又，所以；由及正弦定理可得，故，故．
故选：A．
6．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】，化简得．
由正弦定理、余弦定理，得，化简得，
由，展开整理得，
则，即，
所以，
故选：B．
7．（2022·广西南宁·三模（理））函数，则的图象在内的零点之和为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】由可得，
则函数与函数的图象在内交点的横坐标即为函数的零点，
又函数与函数的图象都关于点对称，
作出函数与函数的大致图象，
由图象可知在内有四个零点，则零点之和为4．
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测（理））如图所示，在△ABC中，，，记△ABC外接圆的面积为，取△ABC三边的中点分别为D，E，F，记△DEF外接圆的面积为，再取△DEF三边的中点分别为P，Q，R，记△PQR外接圆的面积为，依次类推，若△ABC的内切圆半径为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
如图连接，
因为，为的中点，
所以平分，，的内切圆圆心在上，设为，
因为，所以，
因为△ABC的内切圆半径为，
所以，
所以，
设△ABC的外接圆半径为，则由正弦定理得
，，解得，
所以
因为分别为的中点，
所以∥，，
所以△DEF外接圆的半径为1，
所以，
同理可得△PQR外接圆的半径为，则，
，，
故选：D
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
C．若在上有且仅有4个零点，则
D．若，且在区间上有最小值无最大值，则
【答案】BC
【详解】依题意，，即，而，则，，
对于A，当时，，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向左平移个单位后得函数，
依题意，，解得：，因此的最小值为2，B正确；
对于C，当时，，因在上有且仅有4个零点，
则，解得：，C正确；
对于D，因，且在区间上有最小值无最大值，则直线是图象的对称轴，
且在处取得最小值，，因此，，且，
即，且，所以或，D不正确.
故选：BC
10．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】AD
【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；
因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；
因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，
所以，D正确.
故选：AD
三、填空题
11．（2022·辽宁·鞍山一中二模）若，且，则______．
【答案】
【详解】解：因为，且，
所以，
所以
故答案为：
12．（2022·河南濮阳·模拟预测（理））已知a,b,c分别为的三个内角A,B,C的对边,且,则的最小值为______．
【答案】
【详解】由正弦定理得
所以,所以.
因为所以,所以.
所以.
所以的最小值为
故答案为：
13．（2022·上海普陀·二模）若，则等式成立的一个的值可以是________.
【答案】##
【详解】可得，
即，所以（舍去）
或，解得，，
当时，，
故答案为：
14．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD面积的最大值为______．
【答案】
【详解】在中，，；；
在中，，
化简得：，即：，
；
四边形的面积最大为：；
故答案为：.驾驶行为类别
阈值
饮酒驾车
醉酒驾车
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