江苏省建湖高级中学2023-2024学年高一下学期期初学情检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省建湖高级中学2023-2024学年高一下学期期初学情检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,且,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知,则“”是“”的( )条件.
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
3．函数的零点所在的区间为( )
A.B.C.D.
4．已知点在幂函数的图象上,设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化:如果物体初始温度为,则经过一定时间t(单位:分钟)后的温度T满足,其中是环境温度,h为常数,现有一杯80的热水用来泡茶,研究表明,此茶的最佳饮用口感会出现在55.经测量室温为25,茶水降至75大约用时一分钟,那么为了获得最佳饮用口感,从泡茶开始大约需要等待(参考数据:,,,.)( )
A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟
7．已知向量与是非零向量,且满足在上的投影向量为,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为R,且为偶函数,若,则( )
A.116B.115C.114D.113
二、多项选择题
9．列命题中错误的有( )
A.的充要条件是且B.若,,则
C.若,则存在实数,使得D.
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(图1),明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).一半径为2米的筒车水轮如图3所示,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计时,则( )
A.点P再次进入水中时用时30秒
B.当水轮转动50秒时,点P处于最低点
C.当水轮转动150秒时,点P距离水面2米
D.点P第二次到达距水面米时用时25秒
11．已知函数,则下列结论正确的有( ).
A.,
B.方程有唯一解
C.函数有且仅有2个零点
D.直线与的图象有3个交点
三、填空题
12．函数的定义域为________.
13．已知,是非零向量,,,则______.
14．已知函数,若方程在内有两个不同的解,则实数m的取值范围为______.
四、解答题
15．已知.
（1）化简函数;
（2）若,求.
16．已知向量,满足,,.
（1）求与夹角的余弦值;
（2）求;
（3）在平行四边形ABCD中,若,,求平行四边形ABCD的面积.
17．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式;
（2）求在上的最大值和最小值;
（3）若在区间上恰有两个零点,,求.
18．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值并用定义证明函数在R上单调递增;
（2）若方程在内有解,求实数b的取值范围.
19．对于函数.
（1）若,且为奇函数,求a的值;
（2）若方程恰有一个实根,求实数a的取值范围;
（3）设,若对任意,当,时,满足,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,,
则实数a的取值范围是,
故选:B.
2．答案：A
解析：由于,当时,则,
当时,则;
故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：B
解析：连续函数在上单调递增,
,,
的零点所在的区间为,
故选B.
4．答案：D
解析：点在幂函数的图像上,
,
,在上单调递减,,
,,,
,
,
即,
故选:D.
5．答案：A
解析：,设,,令,,把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.选A.
6．答案：C
解析：根据题意可知,,,
因为茶水降至75℃大约用时一分钟,即,,
所以,解得,则,
所以要使得该茶降至,即,则有,得,
故,
所以大约需要等待6分钟.
故选:C.
7．答案：A
解析：设与的夹角为,
在上的投影向量为
所以,
所以,,
所以为钝角,且.
故选:A
8．答案：C
解析：由,得,
即,
所以,
所以函数的周期为4,
又为偶函数,
则,
所以,
所以函数也为偶函数,
又,
所以,,
所以,
又,即,所以,
又,,
,
所以
故选:C.
9．答案：ABC
解析：
10．答案：ACD
解析：由题意,角速度弧度/秒,
又由水轮的半径为2米,且圆心O距离水面1米,可知半径与水面所成角为,点P再次进入水中用时为秒,故A错误;
当水轮转动50秒时,半径转动了弧度,而,点P正好处于最低点,故B正确;
以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,设点P距离水面的高度,
由,所以,
又角速度弧度/秒,时,,所以,,
所以点P距离水面的高度,当水轮转动150秒时,将代入,得,点P距离水面2米,故C正确;
将代入中,得,或,即,或.
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：由题意,
A项,在中,作出函数图象如下图所示,
由上图可知,,故正确;
B项,在中,当时,,
即与交点,
作出函数图象如下,
可知函数有且仅有2个零点,B正确;
C项,在中,,
作出两函数的图象如下图所示,
两函数有4个交点,方程有4解,
方程不止有唯一解,故C错误;
D项,
由图可知,直线与的图象有3个交点,D正确;
故选:ABD.
12．答案：
解析：因为,
所以,解得且,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
13．答案：
解析：,则,
则.
14．答案：
解析：当时,的图象如图所示,
则,令,则方程为,即,,
又,当时,若方程在内有两个不同的解,只需只有一解,即函数与,只有一个交点,
又函数在上单调递减,所以,
即;
当时,,方程的解为和,
当时,,当时,无解,显然方程只有一解,不合题意;
当时,,方程的解为和,
当时,,当时,无解,显然方程只有一解,不合题意;
当时,若方程在内有两个不同的解,
只需有两个不同的解,
即函数与,有两个不同的个交点,
又函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以;
综上所述,实数的取值范围为.
故答案为:
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）
（2）因为,则,
所以.
16．答案：（1）
（2）
（3）12
解析：（1）因为,所以,又,,
设与夹角为,
所以,
所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以.
（3）由（1）知,
所以,
所以平行四边形ABCD的面积为.
17．答案：（1）
（2）最大值为2,最小值为
（3）
解析：（1）由图象可知,函数的最小正周期T满足,则,,
所以,,则,可得,
因为,则,所以,,解得,
因此,.
（2）因为,则,所以,,即,
所以的最大值为,最小值为.
（3）因为,当时,,
令,所以,
因为在区间上恰有两个零点,,
函数图象在区间内的对称轴为直线,
由正弦型函数对称性可知,点,关于直线对称,则,
所以,
由得,,
所以,
所以.
18．答案：（1）,证明见解析
（2）
解析：（1）因为函数是R上的奇函数,则,
于是得,解得,所以,
满足,
函数在R上单调递增,证明如下:,,,,
因为函数在R上单调递增,又,则,于是得,
即,所以在R上单调递增.
（2）由是R上的奇函数,可化为,
由在R上单调递增可得,即,
,则,令,
当,即时,,又,
所以当时,,所以实数的取值范围是.
19．答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）,
,又奇函数,
,
,对定义域内任意x恒成立,
,解得,
此时,定义域为符合奇函数的条件,
所以;
（2）方程,
所以,
由①可得,,即,
当时,方程有唯一解,满足②,
所以符合条件;
当时,方程有两相等解,满足②,
所以符合条件;
当且时,方程有两不等解,,
若满足②,则,
若满足②,则,
所以当时方程恰有一个实根;
综上,实数a的取值范围为;
（3）令,则在上为减函数,在上为增函数,
函数在上为减函数,
当时,满足,
则,
,即对任意的恒成立,
设,又,所以函数在单调递增,
所以,
.