【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题10 复数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题10 复数 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，满足的点的轨迹是（ ）.
A．圆B．椭圆
C．一段圆弧D．双曲线
【答案】C
【详解】设、、，对应的点为.由，
可得.
由托勒密逆定理知，的轨迹为外接圆上不含点的那一段.
故答案为C
2．（2020·北京·高三强基计划）设a，b，c，d是方程的4个复根，则（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】利用换元法将原方程转化为高次方程，再结合高次方程的韦达定理可求代数式的值.
【详解】法1：设，则，
类似的，定义，
则是方程，
即的4个复根，
方程左侧中的系数为，
的系数为
根据韦达定理，有．
法2：题中代数式也即，
因此是关于x的方程，
即的4个复根，
故为方程的4个复根，
从而，
原式为．
故选：A.
3．（2020·北京·高三校考强基计划）已知复数在复平面内对应的点为，O为坐标原点．若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用复数乘法的几何意义可求的面积.
【详解】根据题意，有，故，
故可看出由旋转并伸长为倍后所得，且旋转角的正弦值的绝对值为，
故
故选：A
4．（2020·北京·高三强基计划）已知复数z满足，则中不同的数有（ ）
A．4个B．6个C．2019个D．以上答案都不正确
【答案】B
【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数.
【详解】根据题意，有，
于是中有6个不同的数．
故选：B.
二、多选题
5．（2020·北京·高三校考强基计划）设复数z满足，令，则的（ ）
A．最大值为B．最大值为
C．最小值为D．最小值为
【答案】AD
【分析】利用复数差的几何意义可求的最值
【详解】根据题意，有，且，
于是为以点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，
其取值范围是，因此的最小值为，最大值为．
故选：AD.
6．（2020·北京·高三校考强基计划）已知，则（ ）
A．存在实数解
B．共有20个不同的复数解
C．的复数解的模长都等于1
D．存在模长大于1的复数解
【答案】BC
【分析】设，利用换元法可求得，从而可判断的20个复数解的模都是1.
【详解】设，则，
于是，这两个t的取值都在区间内．
故有解，
因此有20个不同的复数解．
当时，由于，
因此的复数解的模长都等于1．
综上所述，选项BC正确．
故选：BC.
7．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（ ）
A．最小值为B．没有最小值C．最大值为2D．没有最大值
【答案】AD
【分析】在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，将进行等价变形，然后结合已知条件及均值不等式即可判断的最值情况.
【详解】解：在复平面内（为坐标原点），设复数对应的点分别为，
因为是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，
所以，从而有），
所以
，
又由均值不等式有，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当，且（比如）时等号成立.
故选：AD.
8．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）设复数的实部和虚部都是整数，则（ ）
A．的实部都能被2 整除
B．的实部都能被3 整除
C．的实部都能被4 整除
D．的实部都能被5 整除
【答案】BD
【分析】设分别计算出代入化简即可.
【详解】设则
因为
可以被2整除，当为奇数时不能被2整除，故排除A.
因为，由费马小定理得能被3整除，故B对.
的实部为，当为奇数时也为奇数，故不能被4整除，C排除.
的实部为，由费马小定理能被5整除，故能被5整除，故D对.
故选：BD
三、填空题
9．（2018·辽宁·高三竞赛）设、b均为实数，复数与的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____.
【答案】
【详解】由题设知，且为纯虚数，故.因此或解得或，故.
故答案为
10．（2019·全国·高三竞赛）已知虚数、满足，，.则实数______.
【答案】1
【详解】由，知.
又由方程解的定义知，、是二次方程的两个虚根，则有
.
解方程得.
于是，.解得.
故答案为1
11．（2022·广西·高二统考竞赛）若复数满足，则的虚部为______．
【答案】0或1
【详解】设i,则i.
设，
，
，
或1，
故答案为：0或1.
12．（2019·全国·高三竞赛）复平面上动点的轨迹方程为______.
【答案】
【详解】注意到，则.
故答案为
13．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数满足，则的最大值为__________．
【答案】3
【详解】解析：由题意可得
，
则表示复平面上点到的距离．
如图所示，，由此可得．故的最大值为3．
故答案为：3.
14．（2019·全国·高三竞赛）设，其中， ．则____________．
【答案】
【详解】注意到，
所以，且
.
故答案为
15．（2019·全国·高三竞赛）设是复数,关于的一元二次方程的两个复数根为.若,则_____.
【答案】0或或
【详解】因为，所以，
.
从而，
.
代入，得
或（当时）.
当时，把代入，
得 .
解得.
综上所述，或.
故答案为0或或
16．（2021·浙江·高二竞赛）设复数的实虚部，所形成的点在椭圆上.若为实数，则复数______.
【答案】或.
【详解】由，所以，则，
所以或.
故答案为：或.
17．（2022·福建·高二统考竞赛）已知复数､在复平面上对应的点分别为A､B，且，，O为坐标原点，则△OAB的周长为___________.
【答案】
【详解】由，得，所以，
所以，，
又，所以，，
所以△OAB的周长为，
故答案为：.
18．（2019·全国·高三竞赛）已知正实数满足，复数满足，若，那么，当的辐角主值最小时，的值为______．
【答案】
【详解】由，知,
于是，在复平面上，对应的点在以对应的点为圆心、3为半径的圆上,
当的辐角主值最小时，与圆相切，而，，则,
于是，,
而的辐角主值，又，，
于是，,
因此，.
19．（2019·全国·高三竞赛）复数列满足，.若，则可以有_________种取值.
【答案】
【详解】显然，对任意的非负整数均有.
设.则
.
由，得，即.
由，得 .
因此，满足条件的共有（个）.
故答案为
20．（2021·浙江·高三竞赛）复数，满足，，则______.
【答案】
【详解】如图所示，设在复平面内对应的点分别为,
由已知得,
由余弦定理得向量所成的角为,
不妨设,
,
,,
,,
,
.
故答案为：.
21．（2021·全国·高三竞赛）设复数､､满足，则___________.
【答案】2
【详解】解析：.
故答案为：2.
22．（2021·北京·高三强基计划）已知复数z满足，则满足条件的z有_________个．
【答案】1
【分析】将题设中的方程化为，再根据10，11均与111互质可得满足条件的z的个数.
【详解】根据题意，有，
于是，
因此，
从而，
注意到10，11均与111互质，因此满足条件的z只有1个，为．
故答案为：1.
23．（2021·全国·高三竞赛）已知实数x、y满足，则__________．
【答案】
【详解】解析：令，则
原方程组
（令）
（舍）或．
故答案：.
四、解答题
24．（2018·全国·高三竞赛）已知求的值.
【答案】0
【详解】令.
又,，.则
.
同理,.
故
则.
所以,且.
25．（2019·全国·高三竞赛）已知、、是互不相等的复数，满足，.求证：.
【答案】见解析
【详解】由已知条件知，复数、、两两不等，且皆不为0.对题中比例式用合比、分比可得
.
设，则，，.
但，故（但），有
.
同理，.
因此，.
26．（2019·全国·高三竞赛）设．证明：为纯虚数．
【答案】见解析
【详解】首先证明：若，则 ①
令.
则是一个次多项式，其首项系数为.
又当时，
.
所以，.
由因式定理得.
在式①中令.则
.
.
命题获证.
27．（2021·全国·高三竞赛）设，复数.求所有的，使得､､依次成等比数列.
【答案】答案见解析
【详解】因为，所以：，
整理得：，
所以
（1）或，
时，代入得；
时，代入得；
（2）若，则有：
，
故，故的值为或或或，
对于的分别为、、、，
故所有的为：
.
28．（2019·全国·高三竞赛）设，其中为质数．对的一个子集，如果中所有元素的和（空集的元素和规定为）为的倍数，则称是的一个“倍子集”．试求的所有倍子集的个数．
【答案】
【详解】当时，，此时，有个倍子集：、，所以，.
当时，为奇质数，令
考察的元素和为的所有子集的个数.
当时，它就是不定方程的正整数解的个数，也就是的展开式中的系数；
当时，其和为的子集只有空集，子集的个数为.
所以，的所有倍子集的个数，就是的展开式中那些次数为的倍数的项的系数和，即.
设.
当是的倍数时，；
当不是的倍数时，有.
于是，由，
得

.
又，则
其中，.
注意到当时，，所以，是模的完系.而，则是的一个排列.故
，
.又，而为奇数，取，得.
故，.
则
比较两式的右边得.
故，.
综上，
29．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．
【答案】证明见解析
【详解】用表示对所有数组的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：
①
(1)当时，①式显然成立；
当时，，即①式成立．
（2）假设时，①式成立，则时，我们有
，
即时①式成立．
由（1）（2）可得：．
回到原题，由，可得，
即，
所以存在数组（其中，使得，即．
30．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：
（1）；
（2）数列恒为常数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意和韦达定理可得，取模得，若，结论显然成立，否则，由于数列恒为常数，则，即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨设为和，依据题意即可证明.
【详解】由题意和韦达定理得,
则，即． ①
（1）由①取模得，若，结论显然成立；
否则，由于数列恒为常数，则，即有．
（2）由（1）知，对任意的，又数列恒为常数，因此只有互为共轭的两种取值和．若存在，使得，不妨设，则．若，则，即或2；若，则
，且．
因此，要么，要么呈、周期．故显然是常数，即证数列恒为常数.
【点睛】关键点点睛：
本题主要考查数列不等式的证明，解题关键在于利用韦达定理得出，再取模，对这种特殊情形和一般情形讨论即可证明结论成立；
（2）本题主要考查常数列的证明，解题关键在于的取值情况和的假设，由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨记为和，若存在，使得，不妨设，则，对分类讨论即可证明.