2024年山西省临汾市洪洞县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 计算的结果是（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
2. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．若不考虑图中阴影及拼接线的情况下，下列由七巧板拼成的图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意，
选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘除法法则，合并同类项，积的乘方运算法则，熟练掌握这些知识点是解题关键．
【详解】解：A、，故A选项符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、和不是同类项，无法进行合并，故C选项不符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
故选：A．
4. 瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.

【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图求解即可．
【详解】解：从正面看，可得如下图形：
故选：B．
5. 在数学实践课上，“智慧小组”将边长为的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个平行四边形．如图所示，通过表示图中几何图形面积的方法进行推导和验证平方差公式，将抽象的数学知识变得直观，这种方法体现的数学思想是（ ）
A. 数形结合思想B. 分类讨论思想C. 方程思想D. 统计思想
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的推导以及数学思想，根据图形中的等量关系推导出平方差公式，属于数形结合思想．结合图象可以知道前后两个图形的面积相等，即两种不同的面积表示方式，根据面积相等即可推导出平方差公式，属于数形结合的数学思想．
【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出平方差公式，属于数形结合思想．
故选：A．
6. 不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选：C．
7. 平遥古城历史悠久，是我国保存完整的历史文化名城之一，被列为世界文化遗产，其主要景点有县衙、城楼、日升昌、城隍庙、清虚观、文庙等．如图，若景点A“日升昌”的坐标为，景点B“清虚观”的坐标为，则景点C“文庙”的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查建立平面直角坐标系，根据“日升昌”“清虚观”的坐标建立平面直角坐标系，以此即可得到“文庙”的坐标．熟练掌握点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：∵“日升昌”的坐标为，“清虚观”的坐标为，
∴可以建立如图所示的平面直角坐标系，
∴“文庙”的坐标可能是．
故选：D．
8. “四大古典名著”是中国文学史中的经典作品，是宝贵的世界文化遗产．小沈同学收集到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀后，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取另一张，则抽到的两张卡片恰好是“水浒传”和“西游记”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【详解】解：“红楼梦”、“三国演义”、“水浒传”、 “西游记”分别用、、、表示，
根据题意画图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“水浒传”和“西游记”的有2种，
则抽到的两张卡片恰好是“水浒传”和“西游记”的概率是．
故选：D．
9. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图像，则莴笋成长的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．由题意知，，，待定系数法求线段的解析式为，将代入，计算求解即可．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：由题意知，，，
设线段的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴线段的解析式为，
将代入，
∴，
∴娃娃菜幼苗的高度最高为，
故选：B．
10. 如图，线段，分别为的弦，，，平分，若，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键．
【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，
∵平分，，
∴，，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，则，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
∴，
故选：D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 据新闻网报道：截止2023年12月底，我国在轨运行的北斗系列卫星已经达到48颗，完成组网已覆盖全球．北斗导航系统的建成，是我国经济增长的催化剂，预计2025年，北斗导航对我国经济的贡献可达156亿美元．将“156亿”美元用科学记数法表示为______美元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：156亿．
故答案为：．
12. 化简的结果是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算．熟记运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一，“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打______折．
【答案】九##9
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题目意思列出不等式是本题的关键，注意公式：利润率利润成本．
【详解】解：设打折，由题意可得：，
解得：，
故至多可打九折，
故答案为：九．
14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在y轴上，轴于点A，反比例函数的图像经过点D，，，则k的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，连接，，结合题意可得，，再由平行可知，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线得．
【详解】解：连接，，
∵，，
∴，
又∵轴，则，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
15. 如图所示，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，证明，得出即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作，取，连接，，
则，
四边形是正方形，
，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，解二元一次方程组：
（1）先计算立方根和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
17. 在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：
（1）该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；
（2）当时，求此电磁波的波长．
【答案】（1）反比例函数关系，
（2）
【解析】
【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
（1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．
【小问1详解】
解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值，
∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，
设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
【小问2详解】
当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
18. “美丽乡村”建设是实施乡村振兴战略的重要内容，山西省依托“黄河、长城、太行”三大旅游板块为抓手，传承农耕文明、展示民俗文化、保护传统民居、发展休闲农业，全面建设美丽乡村．某校“综合与实践”小组为了解全校学生对“美丽乡村”建设的了解情况，通过发放纸质问卷的形式，对本校部分学生进行了调查，制作了如下统计表格并绘制了如图所示的扇形统计图（不完整）．
图1 图2
请你解答以下问题：
（1）请你根据统计表格中的数据补全扇形统计图，并求出c所对应的扇形圆心角的度数；
（2）若该校学生总数为500人，请你估计：该校认为“改善交通出行条件”是美丽乡村建设最需要解决的问题的人数；
（3）该小组某位同学根据上面表格中的数据绘制了如右图所示的条形统计图，请你指出该条形统计图存在的问题，并就绘制条形统计图提一条合理化建议．
【答案】（1）统计图见解析，
（2）55人 （3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体等等：
（1）分别求出b、d人数所占百分比，然后补全统计图，再用360度乘以c的人数占比求出对应的圆心角度数即可；
（2）用500乘以样本中d的人数占比即可得到答案；
（3）观察可知，该条形统计图没有0刻度线，且没有标题等等，据此从制作条形统计图注意事项出发进行描述即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，
补全统计图如下：
c所对应的扇形圆心角的度数为；
【小问2详解】
解：人，
∴估计：该校认为“改善交通出行条件”是美丽乡村建设最需要解决的问题的人数为55人；
小问3详解】
解：观察可知，该条形统计图没有0刻度线，且没有标题等等；
在制作条形统计图时，数量轴上刻度长短要保持一致，每格单位数量一致，要表明刻度数量以及0刻度线等等．
19. 如图，是半的直径，一直尺的顶点D在的延长线上移动，移动过程中，使边与半相切，C为切点，连接．
（1）当时，求证：；
（2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．（结果用含的式子表示）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积公式以及含直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质可求得，进而求得，即可求解；
（2）根据含直角三角形的性质可得，则，再结合阴影部分的面积为，即可求解．
小问1详解】
证明：连接，
∵与半相切，为切点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，即，
∴，则，
∴阴影部分的面积
．
20. 项目化学习
项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而
变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图．
成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务：
任务一：
填空：如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆与伞体支架的关系是______．
任务二：
请你参照“创新小组”的项目结果进行计算：（注意：计算结果均精确到米）
①如图2，求立柱上的滑动调节点P离地面的距离约多少米．
②如图3，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子的长．
【答案】任务一：；任务二：①米；②米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等：
任务一：先证明得到，则，再证明，推出，再由，得到，，进而得到，即可得到；
任务二：①如图所示，过点P作交于H，过点F作于G，由题意得，，，求出，进而得到；由三线合一定理得到，解得到米，则米，即可得到米；②如图所示，过点P作交于H，过点D作于K，由三线合一定理得到，解，得到米，则米，再解得到米，证明四边形是平行四边形，得到米，则伞体在地面上留下的影子的长为米．
【详解】解：任务一：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵米，点F为的中点，
∴米，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴：
任务二：①如图所示，过点P作交于H，过点F作于G，
由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
由任务一可知，米，
又∵，
∴；
∵米，，
∴，
在中，米，
∴米，
∴米，
∴立柱上的滑动调节点P离地面的距离约米；
②如图所示，过点P作交于H，过点D作于K，
∵，
∴，
在中，米，
∴米，
在中，米，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴米，
∴伞体在地面上留下的影子的长为米．
21. 列方程解应用题：
山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？
【答案】16元或19元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每份刀削面的价格是元，则销售量为份，设再根据净利润总收入总成本其它各种费用列出方程求解即可．理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：每份刀削面的价格是元，
由题意可得，，
整理得：，
解得：或，
答：每份刀削面的价格是16元或19元时，该面馆才能实现每天800元的净利润．
22. 综合与实践
问题情境：
在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，．
猜想证明：
（1）如图1，试判断四边形形状，并说明理由；
实践探究：
（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离；
问题拓展：
（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明．
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）；（3）当点平移至中点时，四边形是矩形，作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质及平移的性质即可证明四边形是平行四边形；
（2）连接交于，由菱形的性质可得，在根据矩形的性质结合含的直角三角形可得，即可求解；
（3）由平移可知，，，由菱形的性质可知，，添加条件“点平移至中点”，可得，，即可得四边形是矩形．
【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
由平移可知，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）连接交于，
∵四边形是菱形，
∴，，，
则，，
∴，
当四边形为矩形时，，
∴，则，
∴，
则，
即：沿射线方向平移；
（3）如图，当点平移至中点时，四边形是矩形，
理由如下：由平移可知，，，
由菱形的性质可知，，
当点平移至中点时，，则，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，含的直角三角形的性质，平行四边形的判定及性质，平移的性质等，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
23. 综合与探究
如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线．
备用图
（1）求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为，
（2）面积的最大值为4，此时点P的坐标为
（3）或
【解析】
【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于D，设，则，可得；再由，得到，利用二次函数的性质即可求出答案；
（3）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；求出直线与y轴的交点坐标为；取，则直线解析式为，由对称性可得，则射线与抛物线的交点即为点M，同理可得点M的坐标为．
【小问1详解】
解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图所示，过点P作轴交于D，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为4，
∴此时点P的坐标为
【小问3详解】
解：如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，
，
∴，，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴点M的坐标为；
在中，当时，，
∴直线与y轴的交点坐标为；
取，则直线解析式为，
由对称性可得，
∴射线与抛物线的交点即为点M，
联立，解得或，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关键在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角．频率f（）
5
10
15
20
25
30
波长
60
30
20
15
12
10
调查问卷
美丽乡村建设最需要解决哪一方面问题（只选一项）
a．发展休闲农业 □
b．完善公共服务设施 □
c．展示民俗文化 □
d．改善交通出行条件 □
需要解决的问题
频数
a
63
b
36
c
168
d
33
项目主题
遮阳伞下的影子
项目素材
我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角a参照表：
时刻
太阳光线与地面的夹角a（度）
90
80
65
50
35
20
参考数据：，，，，，，，
示意图
图1 图2 图3
测量数据
如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，P为立柱上的滑动调节点，为悬托支杆，F为的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，为伞体支架，且，测量得到米，米，米，．
项目结果
“智慧小组”
“创新小组”
“奋斗小组”
中午时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使，遮阳效果最佳．
下午时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳．
下午时，……
项目反思
……