2023-2024学年广东省韶关市乐昌一中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省韶关市乐昌一中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数：3，0，−5，0.48，−(−7)，−|−8|，(−4)2中，负数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 22a−4B. a2a2−2aC. a+1a2+1D. a−1a2−1
3.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a3·a3=a9C. (a3)2=a6D. (ab)2=ab2
4.实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a−b|− a2的结果是 ( )
A. 2a−bB. b−2aC. bD. −b
5.已知一个函数满足如表(x为自变量)，则这个函数的表达式为( )
A. y=9xB. y=−9xC. y=x9D. y=−x9
6.不等式组x−1≤0x+3>0中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知x=−1y=2是二元一次方程组3x+2y=mnx−y=1的解，则m−n的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.一次函数y=cx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能为( )
A. B.
C. D.
9.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，设这个班有学生x人，下列方程正确的是( )
A. 3x+20=4x−25B. 3x−25=4x+20
C. 4x−3x=25−20D. 3x−20=4x+25
10.若二次根式 2−m有意义，且关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正数解，则符合条件的整数m的和是( )
A. −7B. −6C. −5D. −4
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.当x ______时，代数式 1x+3有意义．
12.若 m+2+(n−3)2=0，则mn的值是______．
13.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=______．
14.不等式3x−15−x−12≥1的最小整数解是______．
15.若方程组3x−y=t2x+5y=6t，则xy=______．
16.二次函数的图象经过点(4,−3)，且当x=3时，有最大值−1，则该二次函数解析式为 ．
17.若a3+3a2+a=0，则2023a2a4−2023a2+1= ______．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
2sin60°−| 3−2|+(π− 10)0− 12+(−12)−2．
19.(本小题6分)
因式分解：
(1)2x(x+y)−6y(x+y)．
(2)(5m+n)2−(m−5n)2．
20.(本小题6分)
若关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=3x+2无解，求m的值．
21.(本小题10分)
在坐标系中作出函数y=2x+6的图象，利用图象解答下列问题：
(1)求方程2x+6=0的解；
(2)求不等式2x+6>4的解集；
(3)若−2≤y≤2，求x的取值范围．
22.(本小题10分)
列方程解应用题：
初二(1)班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
(1)大巴与小车的平均速度各是多少？
(2)张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
23.(本小题12分)
对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin(180°−α)，csα=−cs(180°−α)
(1)求sin120°，cs120°，sin150°的值；
(2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，csB是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
24.(本小题12分)
如图，对称轴为直线x=−1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−3,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+bx+c上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线与y轴的交点；
①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：负数有−5，−|−8|共2个．
故选：B．
简化可得：3，0，−5，0.48，7，−8，16.结果小于0的数是负数．
正确理解正、负数的概念，区分正、负数的关键就是看它的值是大于0还是小于0，不能只看前面是否有负号．
2.【答案】C
【解析】解：A、该分式的分子和分母中含有公因数2，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、该分式的分子和分母中含有公因式a，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、该分式的分子和分母(除1外)没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意；
D、该分式的分子和分母中含有公因式(a−1)，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简分式的定义(分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式)逐个判断即可．
本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】
解：∵a2与a3不是同类项，∴选项A不正确；
∵a3·a3=a6≠a9，∴选项B不正确；
∵(a3)2=a3×2=a6，∴选项C正确；
∵(ab)2=a2b2≠ab2，∴选项D不正确．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得：a∴a−b<0，
∴|a−b|− a2=|a−b|−|a|=(b−a)−(−a)=b−a+a=b．
故选：C．
首先由数轴可得a此题考查了数轴、二次根式与绝对值的性质．此题难度适中，注意 a2=|a|．
5.【答案】B
【解析】解：由表格知，两个变量的积一定，则两变量成反比例函数关系，
设函数的解析式为y=kx(k≠0)，
把x=−3，y=3代入得，k=−9，
∴该函数的解析式为：y=−9x，
故选：B．
由于表中每对变量的积都为−9不变，则这个两个变量成反比例函数关系，设此反比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，再把x=−3，y=3代入求出k的值即可．
本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：解不等式x−1≤0得x≤1，
解不等式x+3>0得x>−3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是：．
故选：A．
先分别解两个不等式得到−3本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
将x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可确定出m−n的值．
【解析】
解：将x=−1，y=2代入方程组得：−3+4=m−n−2=1，
解得：m=1，n=−3，
则m−n=1−(−3)=1+3=4．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，由直线可知，b>0，错误；
B、由抛物线可知，a>0，b<0，c>0，由直线可知，c>0，b<0，正确；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c<0，由直线可知，c>0，b>0，错误；
D、由抛物线可知，a<0，b=0，c>0，由直线可知，c>0，b>0，错误．
故选：B．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=cx+b图象相比较看是否一致．
本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9.【答案】A
【解析】解：设这个班有学生x人，
由题意得，3x+20=4x−25．
故选：A．
设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
10.【答案】D
【解析】解：去分母得，−m+2(x−1)=3，
解得，x=m+52，
∵关于x的分式方程m1−x+2=3x−1有正数解，
∴m+52>0，
∴m>−5，
又∵x=1是增根，当x=1时，m+52=1，即m=−3
∴m≠−3，
∵ 2−m有意义，
∴2−m≥0，
∴m≤2，
因此−5∵m为整数，
∴m可以为−4，−2，−1，0，1，2，其和为−4，
故选：D．
根据二次根式 2−m有意义，可得m≤2，解出关于x的分式方程m1−x+2=3x−1的解为x=m+52，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，整数m的意义是正确解答的关键．
11.【答案】x>−3
【解析】解：由题意得：x+3>0，
解得：x>−3，
故答案为：x>−3．
根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0，进行解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是要注意x应同时满足这两个条件．
12.【答案】−8
【解析】解：∵ m+2+(n−3)2=0，， m+2≥0，(n−3)2≥0，
∴m+2=0，n−3=0，
解得m=−2，n=3，
∴mn=(−2)3=−8，
故答案为：−8．
根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．
本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．
13.【答案】−2
【解析】解：∵2是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴m+n=−2，
故答案为：−2．
根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得m+n=−2．
本题考查了一元二次方程的解(根)：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
14.【答案】7
【解析】解：6x−2−5x+5≥10
x≥7
∴不等式3x−15−x−12≥1的最小整数解是7，
故答案为：7．
先求出不等式的解集，即可得出答案．
本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式的整数解的应用，关键是求出不等式的解集．
15.【答案】1116
【解析】解：3x−y=t ②2x+5y=6t ①
①+②×5得：17x=11t，
解得：x=11t17，
把x=11t17代入②得：33t17−y=t，
解得：y=16t17，
所以xy=1116，
故答案为：1116．
把t当成已知数，求出方程组的解，再代入求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，能求出二元一次方程组的解是解此题的关键．
16.【答案】y=−2(x−3)2−1
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意设出函数的顶点式，代入点(4,−3)，根据待定系数法即可求得．
【解答】
解：设二次函数的解析式为y=a(x−3)2−1，
把点(4,−3)代入得：−3=a(4−3)2−1，
解得a=−2，
∴y=−2(x−3)2−1．
故答案为y=−2(x−3)2−1．
17.【答案】0或−20232016
【解析】解：∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0，
当a=0时，
2023a2a4−2023a2+1
=2023×0204−2023×02+1
=01
=0；
当a2+3a+1=0时，
a+1a=−3，
∴(a+1a)2=a2+2+1a2=(−3)2=9，
∴a2+1a2=9−2=7，
∴a4−2023a2+12023a2
=a22023−1+12023a2
=12023(a2+1a2)−1
=12023×7−1
=72023−1
=−20162023，
∴2023a2a4−2023a2+1=−20232016，
故答案为：0或−20232016．
由题意得a=0或a2+3a+1=0，再分情况进行代入求解．
此题考查了分式化简求值问题的解决能力，关键是能准确变形、计算．
18.【答案】解：2sin60°−| 3−2|+(π− 10)0− 12+(−12)−2
=2× 32−(2− 3)+1−2 3+4
= 3−2+ 3+1−2 3+4
=3．
【解析】先根据特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质熟知以上知识是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2(x+y)(x−3y)；
(2)原式=[(5m+n)+(m−5n)][(5m+n)+(m−5n)]
=(5m+n+m−5n)(5m+n−m+5n)
=(6m−4n)(4m+6n)
=4(3m−2n)(2m+3n)．
【解析】(1)利用提公因式法因式分解即可；
(2)利用提公因式法及平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：2x−2+mxx2−4=3x+2，
2(x+2)+mx=3(x−2)，
2x+4+mx=3x−6，
x−mx=10，
x=101−m，
∵当x=2时分母为0，方程无解，
即101−m=2，m=−4时方程无解；
当x=−2时分母为0，方程无解，
即101−m=−2，m=6时方程无解，
当m=1时，x=101−m无意义，方程无解，
故m的值为：−4或1或6．
【解析】本题须先求出分式方程的解，再根据分式方程无解的条件列出方程，最后求出方程的解即可．
本题主要考查了分式方程的解，在解题时要能灵活应用分式方程无解的条件，列出式子是本题的关键．
21.【答案】解：如图，
(1)当x=−3时，y=0，所以方程2x+6=0的解为x=−3；
(2)当x>−1时，y>4，所以不等式2x+6>4的解集为x>−1；
(3)当−4≤x≤−2时，−2≤y≤2．
【解析】利用描点法画出函数y=2x+6的图象．
(1)找出函数图象与x轴的交点的横坐标；
(2)找出函数值大于4所对应的自变量的取值范围；
(3)观察函数图象，找出当−2≤y≤2时自变量所对应的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
22.【答案】解：(1)设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得：60x=601.5x+14+14，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
1.5x=1.5×40=60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；
(2)设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
14+60−y60=60−y40，
解得：y=30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【解析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中的等量关系列出方程．
(1)根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；
(2)根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
23.【答案】解：(1)由题意得，
sin120°=sin(180°−120°)=sin60°= 32，
cs120°=−cs(180°−120°)=−cs60°=−12，
sin150°=sin(180°−150°)=sin30°=12；
(2)∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为12，−12，
将12代入方程得：4×(12)2−m×12−1=0，
解得：m=0，
经检验−12是方程4x2−1=0的根，
∴m=0符合题意；
②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为 32， 32，不符合题意；
③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为12， 32，
将12代入方程得：4×(12)2−m×12−1=0，
解得：m=0，
经检验 32不是方程4x2−1=0的根．
综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．
【解析】(1)按照题目所给的信息求解即可；
(2)分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
24.【答案】解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
又∵点A(−3,0)与(2,5)在抛物线上，
∴9a−3b+c=04a+2b+c=5−b2a=−1，
解得a=1b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3;
(2)①由(1)知，二次函数的解析式为y=x2+2x−3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,−3)，与x轴的另一交点为B(1,0)，
则OC=3，OB=1，
设P点坐标为(x,x2+2x−3)，
∵S△POC=4S△BOC，
∴12×3×|x|=4×12×3×1，
∴|x|=4，
则x=±4，
当x=4时，x2+2x−3=16+8−3=21，
当x=−4时，x2+2x−3=16−8−3=5，
∴点P的坐标为(4,21)或(−4,5)；
②设直线AC的解析式为y=kx+t，
将A(−3,0)，C(0,−3)代入得−3k+t=0t=−3，
解得k=−1t=−3，
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
设Q点坐标为(x,−x−3)，−3≤x≤0，
则D点坐标为(x,x2+2x−3)，
∴QD=(−x−3)−(x2+2x−3)=−x2−3x=−(x+32)2+94，
∴当x=−32时，线段QD的长度有最大值94．
【解析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质和二次函数的最值，以及三角形面积．
(1)因为抛物线的对称轴为直线x=−1，点A(−3,0)与(2,5)在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
(2)①先由二次函数的解析式为y=x2+2x−3，得到B，C点坐标，然后设P点坐标为(x,x2+2x−3)，根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=−x−3，再设Q点坐标为(x,−x−3)，则D点坐标为(x,x2+2x−3)，然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．x
−3
−2
−1
1
2
3
y
3
4.5
9
−9
−4.5
−3