2023-2024学年山东省青岛十七中高二（下）期初数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛十七中高二（下）期初数学试卷(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
29148 66252 36936 87203 76621 13990
68514 14225 46427 56788 96297 78822
已知甲班有60位同学，编号为01−60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机方法在甲班中抽取4位同学，得到下列四组数据，则抽到的4位同学的编号不可能是( )
A. 08，01，51，27B. 27，02，52，25
C. 15，27，18，74D. 14，22，54，27
2.2022年普通高中招生体育考试满分确定为100分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到满分的概率分别是0.7，0.8，0.75，则三人中至少有一人满分的概率为( )
A. 0.015B. 0.985C. 0.995D. 0.42
3.已知O是坐标原点，F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，P(x0,4)是C上一点，且|PF|=4，则△POF的面积为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
4.若直线a与b是异面直线，直线b与c是平行直线，则直线a与c的位置关系是( )
A. 相交B. 平行C. 相交或异面D. 平行或异面
5.在同一个直角坐标系下，函数y=xa，y=ax，y=lgax(a>0且a≠1)的图像可能是( )
A. B.
C. D.
6.已知集合M={y|y=3x,x>0}，N={x|y=lg(3x−x2)}，则M∩N为( )
A. ⌀B. (1,+∞)C. [3,+∞)D. (1,3)
7.已知向量a=(1,m)，向量b=(−1,m).若向量3a−b与向量b垂直，则|a|=( )
A. 3B. 5C. 3D. 5
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为( )
A. 35B. 45C. 23D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z+z−=−4，z⋅z−=5，则z可能为( )
A. −2−iB. 2+iC. −2+iD. −2−2i
10.已知a>0，b>0，直线l1：x+(a−4)y+1=0，l2：2bx+y−2=0，且l1⊥l2，则( )
A. 011.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9<0，a10>0，则下列结论正确的是( )
A. S10>S9B. S17<0C. S18>S19D. S19>0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知三棱锥S−ABC的体积为1，E是SA的中点，F是SB的中点，则三棱锥F−BEC的体积是______．
13.在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A(1,0)、B(3,0)两点，且与直线x−y+1=0相切，则圆C的标准方程为______．
14.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若sinA=35，13(a+b)2=13c2+36ab，则csA= ______，sinB= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=S3，a4=2a2−2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1Sn+2，求其前n项和为Tn．
16.(本小题15分)
(1)已知csα=45，求sin4α+cs4α的值；
(2)已知sinα+csα=12，求sin2α的值；
(3)已知α∈(3π2,2π).化简 1−sinα+ 1+sinα；
(4)已知tan(α−β2)=12，tan(β−α2)=−13，求tan(α+β)的值．
17.(本小题15分)
(1)求值0.027−13−(−17)−2+25634−3−1+1；
(2)设0≤x≤2，求函数y=4x−12−2x+1+5的最大值和最小值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足OM⋅ON=2(O为坐标原点)若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AE/​/DF．
(1)证明：平面AEC⊥平面CEF；
(2)求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为60位同学的编号为01−60号，
所以利用随机数表法抽到的4位同学的编号不可能大于60，
即不可能是选项C中的74．
故选：C．
根据60位同学的编号为01−60号，得出抽到的4位同学的编号不可能大于60．
本题考查了简单随机抽样应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：三人中至少有一人满分的对立事件是三人中一个满分也没有，
三人中一个满分也没有的概率为0.3×0.2×0.25=0.015，
则三人中至少有一人满分的概率P=1−0.015=0.985．
故选：B．
利用相互独立事件和对立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，找出所求事件的对立事件，是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，P(x0,4)是C上一点，且|PF|=4，
∴x0+p2=416=2px0，解得x0=2p=4，
∴△POF的面积为12×2×4=4．
故选：C．
根据已知条件，结合P(x0,4)是C上一点，以及抛物线的定义，即可求解．
本题主要考查抛物线的定义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
在正方体AC1中，取直线AB为直线a，直线DD1为直线b，直线BB1为直线c，
AB和DD1是异面直线，DD1/​/BB1，有AB与BB1相交；
在正方体AC1中，取直线AB为直线a，直线DD1为直线b，直线CC1为直线c，
AB和DD1是异面直线，DD1/​/CC1，AB与CC1是异面直线．
∴两直线a与b是异面直线，b/​/c，则a、c的位置关系是异面或相交．
故选：C．
借助于正方体中直线与直线的位置关系即可得答案．
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论，
当a>1时，在第一象限，y=xa为增函数，y=ax为增函数，y=lgax也为增函数，
没有选项符合，
当0B选项符合，
故选：B．
根据题意，分a>1与0本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象，注意对a分情况讨论，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：已知集合M={y|y=3x,x>0}=(1，+∞)，
N={x|y=lg(3x−x2)}=(0,3)，
则M∩N=(1,3)，
故选：D．
求出集合A，B，再计算即可．
考查集合的交集运算，考查了指数与对数函数定义域，中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(1,m)，向量b=(−1,m)，且向量3a−b与向量b垂直，
所以(3a−b)⋅b=3a⋅b−b2=0，
即3(−1+m2)−(1+m2)=0，
解得m2=2，
所以|a|= 1+m2= 3．
故选：A．
根据平面向量的数量积运算，利用两向量垂直时数量积为0列方程求出m2，再计算|a|．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±bax，
设y=bax的倾斜角为θ，
若双曲线的离心率e= 5，则e=ca= 5，即c= 5a，
则b= c2−a2=2a，则有ba=tanθ=2，
∴cs2θ=cs2θ−sin2θ=cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−41+4=−35，
故两条渐近线所成的锐角的余弦值为35．
故选：A．
由双曲线的方程分析其渐近线方程为y=±bax，设y=bax的倾斜角为θ，由离心率公式可得c= 5a，求出ba=tanθ=2，由三角函数恒等变形公式可得cs2θ的值，进一步得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
∵z+z−=−4，z⋅z−=5，
∴a+bi+a−bi=2a=−4a2+b2=5，解得a=−2，b=±1，
故z=−2−i或−2+i．
故选：AC．
结合复数相等的条件，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，以及共轭复数的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由l1⊥l2，得2b+a−4=0，即a+2b=4，
a>0，b>0，则a+2b=4≥2 2ab，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时等号成立，
所以0由a+2b=4，有16=(a+2b)2=a2+4b2+4ab≤2(a2+4b2)，
当且仅当a=2b，即a=2，b=1时等号成立，所以有a2+4b2≥8，B选项成立；
由a+2b=4，有a=4−2b，a>0，b>0，则0a2+b2=(4−2b)2+b2=5b2−16b+16，
对称轴为b=85时，由二次函数的性质可知，
a2+b2有最小值165，C选项错误；
由a+2b=4，有(a+1)+2b=5，
1a+1+12b=15(1a+1+12b)[(a+1)+2b]=15(2+2ba+1+a+12b)≥15(2+2 2ba+1⋅a+12b)=45，
当且仅当2ba+1=a+12b，即a=32,b=54时等号成立，D选项正确．
故选：ABD．
由l1⊥l2，得a+2b=4，利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等式是否成立．
本题主要考查不等式及其应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据题意可知数列为递增数列，a9<0，a10>0
∴前9项的和最小，故A正确，
S17=(a1+a17)×17 2=2a9×172=17a9<0，故B正确，
S19=(a1+a19)×19 2=2a10×192=19a10>0，故D正确．
∵a19>0
∴S18=S19−a19
∴S18故选：ABD．
先根据题意可知前9项的和最小，判断出A正确；根据题意可知数列为递减数列则a19>0，又S18=S19−a19，进而可知S15>S16，判断出C不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知S17=(a1+a17)×17 2=2a9×172=17a9 <0，S19=(a1+a19)×19 2=2a10×192=19a10>0，故BD正确．
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生分析问题和演绎推理的能力．综合运用基础知识的能力．
12.【答案】14
【解析】解：如图，
三棱锥S−ABC的体积为1，即三棱锥A−SBC的体积为1，
设平面SBC的面积为S，A到平面SBC的距离为h，则13Sh=1．
∵F为SB的中点，∴S△BCF=12S，
又E为SA的中点，∴E到平面BCF的距离为12h，
∴VF−BEC=VE−BCF=13×12S×12h=14×13Sh=14．
故答案为：14．
由题意画出图形，由F为SB的中点，得三角形BCF的面积是三角形SBC面积的一半，由E为SA的中点，得E到平面BCF的距离为A到平面BCF的距离的一半，然后利用等积法得答案．
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，训练了等积法求多面体的体积，是中档题．
13.【答案】(x−2)2+(y−1)2=2
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
由已知条件设圆心坐标为(2,b)(b>0)，由圆与直线x−y+1=0相切，求出圆C的圆心和半径r.由此能求出圆C的标准方程．
【解答】
解：∵圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴相交于A(1,0)、B(3,0)两点，
∴设圆心坐标为(2,b)(b>0)，
∵圆与直线x−y+1=0相切，
∴ (2−1)2+b2=|2−b+1| 2，
∴b2+6b−7=0，解得b=1或b=−7，
∵b>0，∴b=1
∴圆C的圆心C(2,1)，半径r= (2−1)2+12= 2．
∴圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=2
故答案为：(x−2)2+(y−1)2=2．
14.【答案】45 6365
【解析】解：由13(a+b)2=13c2+36ab，得13(a2+2ab+b2)=13c2+36ab，
整理可得：13(a2+b2−c2)=10ab，
由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcsC，
所以13×2abcsC=10ab，
可得csC=513，又C∈(0,π)，
所以sinC= 1−(513)2=1213>35=sinA，
由正弦定理可得：c>a；
因为三角形中，大边对大角，所以C>A，因此A为锐角，
所以csA= 1−(35)2=45；
又sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=35×513+45×1213=6365．
故答案为：45；6365．
由题意及余弦定理可得csC的值，进而求出sinC的值，由sinC>sinA，可得A角为锐角，可得csA的值，再由sinB=sin(A+C)，展开整理可得sinB的值．
本题考查余弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an的通项公式为an=a1+(n−1)d，前n项和公式为Sn=na1+n(n−1)2d，
由题意得a1+7d=3a1+3×22da1+3d=2a1+2d−2，解得a1=4d=2.所以an=4+(n−1)×2=2n+2；
(2)由(1)得Sn=n(4+2n+2)2=n(n+3)，所以bn=1n(n+3)+2=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
因此，Tn=b1+b2+b3+⋅⋅⋅+bn=12−13+13−14+14−15+⋅⋅⋅+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2)．
【解析】(1)根据题意，将已知条件化成关于a1、d的方程组，解出a1、d，可得等差数列{an}的通项公式；
(2)化简得bn=1n+1−1n+2，从而采用裂项求和的方法求出数列{bn}的的前n项和．
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项法求数列的前n项和等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为csα=45，所以sinα=±35，所以sin2α=2sinαcsα=±2425，
所以sin4α+cs4α=(sin2α+cs2α)2−2sin2αcs2α=1−12sin22α=1−12×(±2425)2=337625；
(2)因为sinα+csα=12，所以(sinα+csα)2=14，即1+sin2α=14，解得sin2α=−34；
(3)因为α∈(3π2,2π)，所以α2∈(3π4,π)，所以 1−sinα+ 1+sinα= (sinα2−csα2)2+ (sinα2+csα2)2
=|sinα2−csα2|+|sinα2+csα2|，因为α2∈(3π4,π)，所以sinα2−csα2>0，sinα2+csα2<0，
所以原式=sinα2−csα2−(sinα2+csα2)=−2csα2；
(4)因为tan(α−β2)=12，tan(β−α2)=−13，
所以tanα+β2=tan[(α−β2)+(β−α2)]=tan(α−β2)+tan(β−α2)1−tan(α−β2)tan(β−α2)=12+(−13)1−12×(−13)=17，
所以tan(α+β)=2tanα+β21−tan2α+β2=2×171−(17)2=724．
【解析】(1)由同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式计算即可；
(2)由同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式计算即可；
(3)由同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式计算结合α的取值范围计算即可；
(4)由两角和的正切公式可求得tanα+β2，再由二倍角的正切公式计算即可．
本题考查利用三角恒等变换知识求三角函数值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)0.027−13−(−17)−2+25634−3−1+1=((0.3)3)−13−(−7)2+(44)34−3−1+1=103−49+64−13+1=19；
(2)令t=2x，因为0≤x≤2，所以t∈[1,4]．
则函数y=4x−12−2x+1+5可化为y=12t2−2t+5,(1≤t≤4)．
因为y=12(t−2)2+3在t∈[1,2]上单调递减，在t∈[2,4]上单调递增，
所以当t=2，即x=1时，y=12(2−2)2+3=3最小；
当t=4，即x=2时，y=12(4−2)2+3=5最大．
所以函数y=4x−12−2x+1+5的最大值为5，最小值为3．
【解析】(1)利用幂的运算性质直接求解；
(2)利用复合函数的值域求解方法直接求解．
本题考查实数指数幂的运算以及复合函数的值域求解，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得：2b=2 3a=2ca2=b2+c2，解得a=2b= 3
∴椭圆C的标准方程是x24+y23=1；
(2)当直线l的斜率不存在时，M(0, 3)，N(0,− 3)OM⋅ON=−3，不符合题意
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)
由x24+y23=1y=kx+2消y整理得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，
△=(16k)2−16(3+4k2)>0，
解得k<−12或k>12x1+x2=−16k3+4k2，x1x2=43+4k2
∴OM⋅ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=4(1+k2)3+4k2−32k23+4k2+4=16−12k23+4k2，
∵OM⋅ON=2∴16−12k23+4k2=2
解得k=± 22，满足△>0，
所以存在符合题意的直线，其方程为k=± 22x+2．
【解析】(1)由椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
(2)当直线l的斜率不存在时，M(0, 3)，N(0,− 3)OM⋅ON=−3，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)由x24+y23=1y=kx+2，得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出结果．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)证明：如图，取EC的中点H，连结BD交AC于点O，连结HO、HF，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AE⊥BD，
∵AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，且AE∩AC=A，
∴BD⊥平面AEC，
∵H、O分别为EC、AC的中点，
∴HO//EA，且HO=12EA，∵AE/​/DF，且DF=12EA．
∴HO//DF，且HO=DF，∴四边形HODF为平行四边形，
∴HF//OD，即HF/​/BD，∴HF⊥平面AEC．
∵HF⊂平面CEF，∴平面AEC⊥平面CEF．

(2)取CD中点M，连接AM，∵菱形 ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ACD为正三角形，又M 为CD中点，∴AM⊥CD，
∵AB/​/CD，∴AM⊥AB，∵AE⊥平面ABCD，AB，AM⊂平面ABCD，
∴AE⊥AB，AE⊥AM，以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，如图，

设AB=AD=AE=2DF=2，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1, 3,0)，D(−1, 3,0)，E(0,0,2)，F(−1, 3,1)，
∵AM⊥平面ABE，∴AM=(0, 3,0)为平面ABE的一个法向量，
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z)，
∵CE=(−1,− 3,2),CF=(−2,0,1)，
∴n⋅CE=−x− 3y+2z=0n⋅CF=−2x+z=0⇒y= 3xz=2x，取x=1，得n=(1, 3,2)．
设平面 ABE与平面CEF 夹角为θ，
则csθ=csn,AM=|n⋅AM||n|⋅|AM|=32 2× 3= 64，
∴平面 ABE 与平面CEF夹角的余弦值为 64．
【解析】(1)通过证明BD⊥平面AEC，HF/​/BD，可证明结论；如图建立空间直角坐标系，算出平面CEF的一个法向量，利用向量方法可得答案．
(2)以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，利用平面ABE与平面CEF夹角的余弦值．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．